三維坐標轉(zhuǎn)換模型的原理

于思研

(黑龍江省水利水電勘測設計研究院，哈爾濱150080)

假設有兩個空間直角坐標系QA-XAYAZA與OBXBYBZB，這兩個坐標系具有不同的原點以及不相互平行的坐標軸，因此這兩套坐標系統(tǒng)間存在3 個旋轉(zhuǎn)角與2 個不同的坐標系尺度，即角度?X、?Y、?Z、尺度因子1與1+δu，δu即為兩個坐標系的尺度變化常數(shù)。通常稱空間中任意一點Pt 在兩種坐標系中的坐標，即(Xt1、Yt1、Zt1)與(Xt2、Xt2、Xt2)兩者之間的關(guān)系為三維轉(zhuǎn)換模型。

1 布爾莎模型

布爾莎模型即七參數(shù)模型，如圖1 所示。

圖1 兩個空間直角坐標系間的關(guān)系

圖中顯示有兩個定向的直角坐標系，即O－XYZ與Q1-X1Y1Z1，兩坐標系的原點不相同，即存在3個平移的參數(shù)△X、△Y、△Z;兩個坐標系的坐標軸不相互平行，從而產(chǎn)生3 個旋轉(zhuǎn)參數(shù);兩個坐標系尺度的不同，使得必須引入一個尺度變化因子，得到如下:

而當mx、my、mz很小時，其旋轉(zhuǎn)矩陣R 可以寫成:

上式也稱之為布爾莎七參數(shù)公式。式中的7 個未知參數(shù)一般由一個點在兩套空間系統(tǒng)中的坐標(X、Y、Z)與(X1、Y1、Z1)采用最小二乘法求得。上式改寫成矩陣形式如下:

以此寫成如下誤差方程式的形式:

根據(jù)最小二乘原理要求VTTPV 最小，從而求得參數(shù)向量的解X=(ATPA)-1(ATPω)-1A 為系數(shù)矩陣。此模型比較適用于高斯平面坐標換算、小區(qū)域地方坐標系以及國家坐標系之間的換算。

WGS84 坐標系和地方獨立坐標系以及國家坐標系是不同假定參數(shù)下的坐標系，其共同的特點是都強調(diào)整體性，前兩者強調(diào)與地表的符合度，而后者則是以整個地球橢球為基準。對于四參數(shù)模型來說，類似的“差分”原理的應用減少了相關(guān)變量的相互影響，而且通過限制一定的區(qū)域使得點坐標值的平移相關(guān)性在互減中得到了一定的克服［1］。因此在某些條件下，四參數(shù)模型比七參數(shù)模型具有更高的精度。

2 莫洛金斯基模型

為了消除布爾莎模型中平移以及旋轉(zhuǎn)參數(shù)之間的強相關(guān)性，進而引入了一個新的旋轉(zhuǎn)中點，即旋轉(zhuǎn)中心由以前的地心坐標原點變換為一個特定的位置，其轉(zhuǎn)換公式如下:

式中:dX、dY、dZ 表示兩個坐標系中原點的平移矢量，原坐標系中點的矢量加上原點，也就是該點在新坐標系中的矢量位置。平移參數(shù)也就是原坐標系的原點在新坐標系中的坐標值。RX、RY、RZ表示坐標參考框架的旋轉(zhuǎn)角，其符號定義為:以直角坐標系的原點為起點，沿軸正向看，其坐標參考框架繞軸順時針旋轉(zhuǎn)為正。從原坐標變換到新坐標，如果繞Z 軸的旋轉(zhuǎn)其角度為正，那么變換后的坐標經(jīng)度將會變小。XP、YP、ZP表示坐標參考框架的旋轉(zhuǎn)中心，在原直角坐標系中定義。M 表示位置矢量的比例因子，是位置矢量從原坐標系變換到新坐標系的尺度伸縮量。M=(1+Ds×10-6)，式中的dS 代表著尺度校正量，以百萬分之一計。

應用此模型的特點在于受到旋轉(zhuǎn)以及尺度影響的僅僅是P 點與S 點之間的坐標差，P 點并不受到轉(zhuǎn)換參數(shù)的影響。

3 武測模型

對于布爾莎模型，從理論方面來講，兩坐標系原點軸向定義后，其坐標系的變換參數(shù)就能夠唯一確定，呈現(xiàn)出一種相似變換的關(guān)系，但是當網(wǎng)中存在一定的系統(tǒng)誤差時，這種相似變換的關(guān)系就會被破壞，此時采用分區(qū)變換模型能夠有效的提高坐標變換精度。根據(jù)全國多普勒網(wǎng)與GPS 網(wǎng)對參心坐標系求解的變換參數(shù)的實際結(jié)果表明，大約能夠提高精度的30%左右。

七參數(shù)法的特點體現(xiàn)在時間性以及區(qū)域性，如果地形是從平原到山區(qū)這些變化劇烈的地方，那么其高層異常值的變化就會非常大，這就要求在GPS多種處理軟件中輸入相對的大地水準面差距值，所以很難做到兼顧到整個的測區(qū)，這就是所說的額區(qū)域性;當然隨著測繪技術(shù)的發(fā)展以及測量數(shù)據(jù)的不斷積累，在未來對大地水準面的研究與認識會更加的深入與透徹，高程異常值的確定一定會在更大范圍內(nèi)以更加精確、完善的數(shù)學模型來表示。

綜上所述，三維坐標系的轉(zhuǎn)換在測量工程占有著重要的作用，就目前來看其轉(zhuǎn)換模型各具特點，同時在精度上還有著一定的提升空間，相信在未來我們將研究、建立出更加科學、精確的轉(zhuǎn)換模型。

［1］蔡昌盛，高井祥，張華海，等.大范圍GPS 三維坐標轉(zhuǎn)換方法探討［J］.礦山測量，2005(12):4－5