任意邊界條件三維彈性矩形厚板結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析

張羽飛，杜敬濤，楊鐵軍，朱明剛，劉志剛

(哈爾濱工程大學(xué)動(dòng)力與能源工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

在工程實(shí)際中，研究矩形板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問題具有重要意義，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者開展了研究工作。在現(xiàn)有研究中，大多數(shù)分析方法都是基于經(jīng)典板理論或相關(guān)近似算法，如經(jīng)典板理論、一階剪切變形板理論以及高階剪切變形板理論。

近幾十年來，忽略剪切變形的經(jīng)典薄板理論廣泛用于板結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析，Leissa等［1-2］基于該理論在研究任意邊界條件薄板振動(dòng)特性領(lǐng)域做出了卓越貢獻(xiàn)。然而，隨著板厚度增加，經(jīng)典板理論由于忽略剪切變形將會(huì)導(dǎo)致計(jì)算頻率高于振動(dòng)系統(tǒng)的真實(shí)頻率。1951年，Mindlin等首先提出采用三維彈性理論分析板振動(dòng)問題［3-4］，他在經(jīng)典理論基礎(chǔ)上引入修正系數(shù)κ近似剪切變形。但是這種假設(shè)與板結(jié)構(gòu)厚度方向剪切應(yīng)力的實(shí)際分布存在差異，計(jì)算結(jié)果不包括系統(tǒng)在厚度方向的對(duì)稱模態(tài)，分析厚板振動(dòng)特性效果較差。

基于三維彈性理論厚板結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析日益為人們所關(guān)注。雖然有限元法能夠?qū)Υ祟悊栴}求解，然而由于隨著分析頻率升高需要網(wǎng)格加密，以及幾何參數(shù)改變時(shí)需要重新建模等不足，不能很好滿足人們對(duì)三維厚板振動(dòng)問題的分析與優(yōu)化。文獻(xiàn)［5-12］應(yīng)用微分求積法分析了經(jīng)典邊界條件板結(jié)構(gòu)三維振動(dòng)特性。Leissa等［13-14］使用里茲法求解了矩形厚板模態(tài)特性。楊正光等［15］采用狀態(tài)方程法獲得了簡(jiǎn)支邊界功能梯度三維矩形板自由振動(dòng)精確解。楊亞政等［16］給出了四邊簡(jiǎn)支各向同性層合板自由與強(qiáng)迫振動(dòng)表達(dá)式。現(xiàn)有研究多是針對(duì)對(duì)稱經(jīng)典邊界，選取適當(dāng)?shù)幕瘮?shù)以滿足邊界條件，并不能靈活地適應(yīng)邊界條件的改變及約束剛度變化。

近來，文獻(xiàn)［17-18］采用二維改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法對(duì)彈性邊界約束下矩形薄板結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)與彎曲振動(dòng)問題進(jìn)行了分析。本文將二維改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法擴(kuò)展為三維，對(duì)矩形厚板結(jié)構(gòu)沿3個(gè)坐標(biāo)軸方向的位移場(chǎng)進(jìn)行建模，并應(yīng)用瑞利－里茲法求解未知傅里葉系數(shù)，分析了三維彈性矩形厚板的自由及強(qiáng)迫振動(dòng)特性。通過與現(xiàn)有文獻(xiàn)中的結(jié)果以及NASTRAN軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本方法的有效性和正確性，并且不受邊界條件的限制。

1 三維彈性矩形厚板建模

1.1 問題描述

如圖1所示，矩形厚板長(zhǎng)度為a，寬度為b，厚度為c(在三維彈性理論框架下，當(dāng)厚度很大時(shí)，可以代表更為一般的三維彈性體)。根據(jù)三維彈性理論應(yīng)力狀態(tài)，在邊界表面任一點(diǎn)處存在正應(yīng)力和另外2個(gè)方向的切應(yīng)力，為此相應(yīng)引入3個(gè)方向的線性彈簧，以實(shí)現(xiàn)邊界約束的平衡/協(xié)調(diào)條件，通過調(diào)節(jié)彈簧的剛度值可以實(shí)現(xiàn)任意經(jīng)典邊界條件及其組合。其中，約束邊界表面上的任意點(diǎn)位置均存在沿3個(gè)坐標(biāo)軸方向分布的3種類型約束彈簧。例如，k1y1和k3y1表示分布在y=b邊界上的切向約束彈簧，k2y1表示法向約束彈簧。

圖1 三維彈性矩形厚板模型及坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.1 Three-dimensional elastic thick plate and the coordinate system

在矩形板三維振動(dòng)分析中，邊界約束通常施加在x=0，a和y=0，b這4個(gè)側(cè)面位置，其余2個(gè)面處于自由狀態(tài)。以y=b邊界表面為例，各種經(jīng)典邊界條件表示如下:

1.2 三維位移場(chǎng)的改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)描述

最近，文獻(xiàn)［19］以封閉艙室空間噪聲預(yù)報(bào)為背景，成功地提出任意阻抗壁面條件下矩形封閉空間聲學(xué)特性分析的三維改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法，本文將該方法進(jìn)一步拓展應(yīng)用至矩形厚板結(jié)構(gòu)的三維振動(dòng)分析問題，即矩形厚板結(jié)構(gòu)中沿3個(gè)不同坐標(biāo)軸方向的振動(dòng)位移場(chǎng)函數(shù)可以表示為

式中:λamx=mxπ/a，λbmy=myπ/b，λcmz=mzπ/c。這里引入6個(gè)補(bǔ)充函數(shù)是為了克服三維厚板結(jié)構(gòu)的位移函數(shù)在6個(gè)邊界表面可能存在的求導(dǎo)不連續(xù)，這樣，位移函數(shù)就可以滿足任意的邊界條件，并且將顯著改善解的收斂性。

1.3 三維板結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題求解

本文將采用基于能量原理的瑞利－里茲方法對(duì)未知系數(shù)進(jìn)行求解。三維矩形厚板系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)可以寫為

式中:V表示系統(tǒng)總勢(shì)能，T表示系統(tǒng)總動(dòng)能，Wext表示外部激勵(lì)對(duì)板結(jié)構(gòu)所做的功。

根據(jù)三維彈性力學(xué)理論，總勢(shì)能可以表示為

式中:G為剪切剛度，μ為泊松比。在任意邊界條件下分析厚板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性僅需改變上式中的邊界約束彈簧剛度系數(shù)即可。

厚板結(jié)構(gòu)的總動(dòng)能為

式中:ρ為板結(jié)構(gòu)的密度，ω表示振動(dòng)角頻率。

在板結(jié)構(gòu)上施加一個(gè)集中力F，則外部激勵(lì)對(duì)板結(jié)構(gòu)所做的功可以表示為

式中:Fx、Fy及Fz分別表示力向量沿x、y及z軸方向的分量，(xe，ye，ze)表示其作用位置。

將位移函數(shù)(4)代入系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)(5)中，通過瑞利－里茲法即可得到關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)的未知系數(shù)的21個(gè)線性方程。厚板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)振動(dòng)微分方程可以進(jìn)一步寫成矩陣的形式:

通過求解系統(tǒng)方程(9)，即可獲得板結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)函數(shù)中的所有未知系數(shù)，進(jìn)一步將方程等號(hào)右邊的力向量設(shè)置為零，通過求解標(biāo)準(zhǔn)矩陣特征值問題，還可以求得三維矩形厚板結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。將各階特征向量代入式(4)的位移函數(shù)中，便可得到各個(gè)固有頻率下的模態(tài)振型分布。

2 計(jì)算結(jié)果及分析

本節(jié)將會(huì)給出一些具體的數(shù)值算例，首先對(duì)本方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，接著再對(duì)矩形厚板結(jié)構(gòu)的三維振動(dòng)進(jìn)行進(jìn)一步的分析。在所有算例中，矩形厚板在x軸方向的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，材料參數(shù)分別為:楊氏模量 E=7×1010N/m2;密度 ρ= 2 700 kg/m3以及泊松比μ=0.3。頻率參數(shù)采用文獻(xiàn)中通常使用的γ，其定義為

式中:D=Ec3/[12( 1－μ2)]表示板結(jié)構(gòu)的抗彎剛度。

2.1 全自由邊界下矩形厚板自由振動(dòng)

首先考慮完全自由的邊界條件，即所有邊界約束彈簧的剛度值設(shè)置為零的情況。在實(shí)際計(jì)算中，3個(gè)方向上的位移僅包括前(Mx+1)×(My+1)×(Mz+ 1)項(xiàng)，一般來講，如果模型的三邊相對(duì)幾何尺寸增大，某一方向上的傅里葉級(jí)數(shù)截?cái)鄶?shù)也要隨之增加，以保證解的快速收斂性。表1中的數(shù)值計(jì)算結(jié)果為滿足2種不同厚寬比的FFFF方形板的頻率參數(shù)，截?cái)鄶?shù)設(shè)置為Mx=My=10，Mz=5。通過對(duì)比可見，現(xiàn)有理論計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中數(shù)據(jù)及有限元計(jì)算結(jié)果吻合良好，而與經(jīng)典板理論計(jì)算結(jié)果相差較大;當(dāng)厚度進(jìn)一步增加至一般彈性體情況時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)本文方法依然有效，而經(jīng)典板理論已不能給出此種情況的正確模態(tài)參數(shù)。

表1 不同厚寬比下FFFF方形板頻率參數(shù)Table 1 Frequency parameters for square FFFF plate of different aspect ratios

2.2 鉗支邊界下板自由振動(dòng)的收斂性

為了檢驗(yàn)本方法的收斂性，任意厚寬比下的CCCC方形板模態(tài)特性參數(shù)列于表2。通過設(shè)置所有邊界約束彈簧的剛度值為無窮大(實(shí)際計(jì)算中采用1015)，即可模擬鉗支邊界。通過與文獻(xiàn)［14］及NASTRAN計(jì)算的結(jié)果對(duì)比可見，對(duì)于任意厚度的CCCC方形板，本方法結(jié)果收斂迅速。為了獲得較為精確的結(jié)果，傅里葉級(jí)數(shù)的截?cái)鄶?shù)應(yīng)隨著板結(jié)構(gòu)厚度方向的幾何尺寸一同改變。表中還給出了經(jīng)典板理論計(jì)算結(jié)果，通過對(duì)比可見，不考慮板結(jié)構(gòu)厚度方向分布的剪切應(yīng)力會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果偏大。

表2 任意厚寬比下CCCC方形板頻率參數(shù)Table 2 Frequency parameters for square CCCC plate of different aspect ratios

2.3 簡(jiǎn)支邊界下矩形厚板自由振動(dòng)

另一種經(jīng)典邊界即為簡(jiǎn)支邊界，表3給出了任意厚寬比下SSSS方形板的頻率參數(shù)。該結(jié)果與文獻(xiàn)［20］結(jié)果和NASTRAN計(jì)算結(jié)果能夠很好的吻合，最大偏差不超過1.4%。

表3 任意厚寬比下SSSS方形板頻率參數(shù)Table 3 Frequency parameters for square SSSS plate of different aspect ratios

2.4 經(jīng)典組合邊界下矩形厚板振動(dòng)分析

在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中，矩形厚板的三維振動(dòng)分析主要針對(duì)于對(duì)稱邊界條件，并且計(jì)算過程中，當(dāng)厚板結(jié)構(gòu)的邊界條件發(fā)生改變時(shí)，需要修改位移函數(shù)或理論方程，對(duì)問題進(jìn)行重新推導(dǎo)與求解。本文在矩形板結(jié)構(gòu)的各個(gè)邊界表面均引入3種約束彈簧，可以簡(jiǎn)單方便地描述任意類型邊界條件，當(dāng)結(jié)構(gòu)邊界條件發(fā)生改變時(shí)，無需對(duì)問題重新推導(dǎo)。接下來給出了厚板結(jié)構(gòu)在非對(duì)稱邊界條件FSSS下的振動(dòng)特性，見表4。

由表4中的數(shù)據(jù)可以看出，采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法計(jì)算的結(jié)果與NASTRAN計(jì)算結(jié)果吻合良好，證明該方法的有效性和正確性。如理論部分所述，在求解結(jié)構(gòu)模態(tài)過程中，將系統(tǒng)控制方程特征向量代入至位移函數(shù)中，便可得到各個(gè)固有頻率下的模態(tài)振型分布，圖3給出厚寬比c/b=0.3時(shí)，F(xiàn)SSS方形板的前6階模態(tài)振型。

表4 任意厚寬比下FSSS方形板頻率參數(shù)Table 4 Frequency parameters for square FSSS plate of different aspect ratios

圖3 厚寬比c/b=0.3的FSSS方形板前6階振型Fig.3 The first six mode shapes of FSSS square plates with the aspect ratio c/b=0.3

2.5 彈性約束邊界下矩形厚板振動(dòng)分析

為了更全面地分析矩形厚板結(jié)構(gòu)的三維振動(dòng)，在下面的算例中，進(jìn)一步考慮彈性約束邊界條件。假設(shè)在板結(jié)構(gòu)的4個(gè)邊界表面上，存在法向約束為零，切向約束為彈性約束，這種彈性約束邊界條件表示為SSSS(k)。表5給出了當(dāng)約束彈簧剛度系數(shù)k=1011N/m時(shí)，任意厚寬比下SSSS(k)方形板結(jié)構(gòu)的頻率參數(shù)。表中本方法計(jì)算結(jié)果與有限元法計(jì)算結(jié)果吻合良好，這表明，針對(duì)彈性約束邊界條件來說，本方法是準(zhǔn)確有效的，并且具有計(jì)算時(shí)間短，收斂速度快等優(yōu)勢(shì)。

表5 任意厚寬比下SSSS(k)方形板頻率參數(shù)Table 5 Frequency parameters for square SSSS(k)plate of different aspect ratios

圖4給出了厚寬比c/b=0.2的SSSS(k)方形板結(jié)構(gòu)在外力激勵(lì)下強(qiáng)迫振動(dòng)加速度響應(yīng)。其中，F(xiàn)的大小為1 N，沿x軸方向作用于(3a/10，3b/10，0)處。為了避免模態(tài)共振處發(fā)生數(shù)值不穩(wěn)定的問題，在仿真計(jì)算中通過復(fù)楊氏模量引入結(jié)構(gòu)阻尼η= 0.01，即ê=E(1+jη)。通過對(duì)比可見，本文方法與有限元法曲線基本吻合，差異主要集中在共振峰處，并且隨著頻率升高，差距加大，原因是為了縮短計(jì)算時(shí)間，在使用有限元軟件時(shí)，不能將網(wǎng)格劃分過細(xì)，影響了計(jì)算精度。

圖4 厚寬比c/b=0.2的SSSS(k)方形板(9a/10，9b/ 10，c)處振動(dòng)加速度響應(yīng)Fig.4 Vibrational acceleration response at point(9a/ 10，9b/10，c)of SSSS(k)square plates with the aspect ratio c/b=0.2

3 結(jié)論

將一種三維改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法拓展應(yīng)用于任意邊界條件下矩形厚板的振動(dòng)特性分析，基于三維彈性理論并結(jié)合瑞利－里茲法求解了任意邊界條件下矩形厚板的自由與強(qiáng)迫振動(dòng)問題，獲得了可靠而有效的計(jì)算結(jié)果，并得到如下結(jié)論:

1)基于三維彈性理論應(yīng)力狀態(tài)，為滿足彈性邊界約束的平衡/協(xié)調(diào)條件，引入3種類型的線性彈簧，相應(yīng)改變邊界彈簧剛度系數(shù)即可實(shí)現(xiàn)各種邊界條件的任意切換。

2)所構(gòu)建的改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)位移形式具有良好的收斂特性與預(yù)報(bào)精度，當(dāng)厚度進(jìn)一步增加至一般彈性體時(shí)，通過相應(yīng)增加此方向上的截?cái)囗?xiàng)數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)本文方法對(duì)三維彈性體的振動(dòng)特性預(yù)報(bào)。

3)給出了三維矩形厚板在非對(duì)稱邊界條件下的模態(tài)數(shù)據(jù)，本文方法成功避免了當(dāng)邊界條件改變時(shí)其它方法所需要對(duì)位移函數(shù)和理論描述的形式修改與重新推導(dǎo)，相比文獻(xiàn)中的計(jì)算方法更加簡(jiǎn)便直觀，更為適合三維矩形厚板振動(dòng)特性分析。

4)求解了矩形厚板結(jié)構(gòu)在彈性約束邊界條件下自由及強(qiáng)迫振動(dòng)問題的解析解，為后續(xù)工程中相關(guān)厚板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性分析及響應(yīng)快速預(yù)報(bào)提供了有力手段。

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