高速公路上汽車防追尾系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立

徐 煌

（南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210023）

近年來，高速公路交通安全形勢(shì)惡化，交通事故發(fā)生頻繁，且大多為重、特大交通事故。在眾多的高速公路交通事故中，追尾碰撞引起的事故占大多數(shù)，因此，高速公路汽車防追尾碰撞的數(shù)學(xué)模型一直是大家研究的熱門課題。目前防追尾的碰撞的前提條件是只考慮前車運(yùn)動(dòng)狀況且認(rèn)為自車勻速問題，而忽略很多其它方面原因，使得防追尾碰撞的數(shù)學(xué)模型計(jì)算不精確，不能有效避免惡性追尾事故的發(fā)生。

1 汽車制動(dòng)過程

制動(dòng)距離的概念：它是指汽車開始時(shí)刻為某一速度，從駕駛員踩著制動(dòng)踏板開始到汽車停住為止所駛過的距離，這一距離就是汽車的制動(dòng)距離。由圖1可知，汽車的制動(dòng)過程可以分為以下四個(gè)階段。

圖1 汽車制動(dòng)過程分析圖

（1）駕駛員反應(yīng)時(shí)間t1，包括發(fā)現(xiàn)障礙物并做出判斷和把腳從加速踏板換到制動(dòng)踏板上的時(shí)間。

（2）制動(dòng)器協(xié)調(diào)時(shí)間t2，包括消除各鉸鏈和軸承間間隙的時(shí)間以及制動(dòng)摩擦片完全貼靠在制動(dòng)盤上的時(shí)間。

（3）減速度增長時(shí)間t3，指制動(dòng)減速度從零增加到最大值的時(shí)間。

（4）持續(xù)制動(dòng)時(shí)間t4，指汽車以一個(gè)恒定的減速度減速到車速為零的時(shí)間。

2 防追尾數(shù)學(xué)模型的建立原理

圖2 同向兩車行駛狀態(tài)示意圖

通過制動(dòng)的過程分析，將兩車行駛狀態(tài)分解如圖2所示，表明了由預(yù)警開始，四個(gè)不同時(shí)刻兩車發(fā)生位移的變化情況，從圖2可以看出，兩車在高速公路上同向行駛，若自車的車速大于前車的車速，兩車將會(huì)不斷接近，在車速很高的情況下，就有可能發(fā)生追尾事故，這樣就需要實(shí)時(shí)判斷兩車的相對(duì)距離S0是否為安全距離，故兩車不發(fā)生追尾的條件為S0≥S*，式中的S*這臨界安全車距（是指兩車不致相撞的最短距離）對(duì)此過程進(jìn)行分析可得：

假設(shè)報(bào)警時(shí)間兩車之間的距離為S0，自車的車速為v10，前車的車速為v20，自車的加速度為a1，前車的加速度為a2，在汽車的防追尾預(yù)警系統(tǒng)發(fā)出報(bào)警后，駕駛員經(jīng)過反應(yīng)時(shí)間t1和制動(dòng)協(xié)調(diào)時(shí)間t2后開始制動(dòng)，經(jīng)過減速度增長時(shí)間t3和持續(xù)制動(dòng)時(shí)間t4后兩車處于安全狀態(tài)，這四個(gè)時(shí)間段內(nèi)自車行過的路程分別為S11、S12、S13和S14，則前車行駛相應(yīng)的距離分別為S21、S22、S23和S24，在計(jì)算時(shí)認(rèn)為兩車為點(diǎn)目標(biāo)。

2.1 當(dāng)a1≥0時(shí)

當(dāng)a1≥0時(shí)，自車在未報(bào)警前處于加速狀態(tài)，所以當(dāng)?shù)谝淮螆?bào)警后，在t1時(shí)間和t2時(shí)間內(nèi)，自車一直處于加速狀態(tài)，為了方便，我們認(rèn)為當(dāng)t2時(shí)間終點(diǎn)時(shí)，自車的加速度變?yōu)榱悖趖3時(shí)間內(nèi)，自車加速度由零呈線性遞增到a10做變減速直線運(yùn)動(dòng)。

根據(jù)以上分析可得：

（1）在t1時(shí)間內(nèi)。t1時(shí)間為駕駛員的反應(yīng)時(shí)間，在這段時(shí)間內(nèi)自車保持原來的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可得：

（2）在t2時(shí)間內(nèi)。t2時(shí)間為制動(dòng)協(xié)調(diào)時(shí)間，在這段時(shí)間內(nèi)自車仍認(rèn)為自車保持原來的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，所以：

（3）在t3時(shí)間內(nèi)。t3為制動(dòng)力增長時(shí)刻，在此時(shí)間內(nèi)，自車的制動(dòng)力加速度由零增長到最大制動(dòng)減速度a10，前車仍為勻變度直線運(yùn)動(dòng)，因此：

（4）在t4時(shí)間內(nèi)。t4時(shí)間為持續(xù)制動(dòng)時(shí)間，在此時(shí)間內(nèi)自車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，前車仍做加速度為a2勻變速直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)a2≥0時(shí)，前車在做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，這時(shí)只要保證兩車達(dá)到相同的速度即可，即v14=v24

2.2 當(dāng)a2<0時(shí)

當(dāng)a2<0時(shí)，由于a2大小的不同也會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果，當(dāng)a2的模比較大時(shí)，前車先停止，自車到最后必須停止才能避免相撞，當(dāng)a2的模不大時(shí)，自車到達(dá)與前車速度相同時(shí)就可避免相撞。

（1）當(dāng)a2≤a*2時(shí)，前車和后車到最后都停止。則：

可得出：

2.3 當(dāng)a1<0時(shí)

當(dāng)a1<0時(shí)，自車開始的時(shí)候就處于制動(dòng)減速狀態(tài)，這樣就不需要將t2計(jì)入制動(dòng)過程內(nèi)，自車在t3時(shí)刻做加速度由a1線性遞增到最大制動(dòng)減速度a10的變減速直線運(yùn)動(dòng)。

在駕駛員反應(yīng)時(shí)間內(nèi)

制動(dòng)協(xié)調(diào)時(shí)間 t2為零，v12=v11，S12=0，v22=v21，S22=0

制動(dòng)力增長時(shí)間t3內(nèi)，制動(dòng)力由a1增長到a10，則：

在持續(xù)制動(dòng)時(shí)間t4。當(dāng)a2≥0時(shí)，前車加速或勻速（前車速小天自車車速），自車減速，只要使兩車達(dá)到相同的距離既可避免發(fā)生碰撞。

即：v14=v24，v14=v13+a10t4，v24=v23+a2t4

當(dāng)a2<0時(shí)，可求得：

當(dāng)a*2

以上即為兩車在不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，所能求得的數(shù)學(xué)模型。

3 防追尾模型的建立

圖3 為前車與自車相對(duì)位置示意圖

圖3中為X1自車制動(dòng)距離，X2為前車制動(dòng)距離，d0為安全車距，d報(bào)警距離,由圖可知：d=X1-X2+d0

v1為自車速度，m/s；v2為前車速度，m/s；a10為自車制動(dòng)減速度，a10=7.8 m/s2；a2為前車制動(dòng)減速度，m/s2；db為制動(dòng)報(bào)警距離，m；dw為提醒報(bào)警距離，m；S1為自車的制動(dòng)距離，m；S2為前車的制動(dòng)距離，m；X1為自車的制動(dòng)距離，m；X2為前車的制動(dòng)距離，m。

3.1 當(dāng)a1≥0，可知自車為加速或勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

（1）當(dāng)a2≥0，前車為加速或勻速狀態(tài)，可得在自車加速或勻速狀態(tài)，前車在加速或勻速狀態(tài)下的數(shù)學(xué)模型為：

可得提醒報(bào)警距離：

危險(xiǎn)報(bào)警距離：危險(xiǎn)報(bào)警距離即不考慮自車駕駛員的反應(yīng)時(shí)間所得到的距離。則：由t1=0可得

當(dāng)a2<0時(shí)，自車加速，前車減速的數(shù)學(xué)模型。

當(dāng)a2≤時(shí)，前車和自車到最后都停止，

可得提醒報(bào)警距離：

危險(xiǎn)報(bào)警距離：

可得提醒報(bào)警距離：

危險(xiǎn)報(bào)警距離：

3.2 當(dāng)a1<0時(shí)，自車為減速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

當(dāng)a2≥0，前車為加速或勻速，可得到自車在減速前車在加速或勻速的狀態(tài)下的數(shù)學(xué)模型：

提醒報(bào)警距離模型：

危險(xiǎn)報(bào)警距離，t1=0：

當(dāng)a2<0時(shí)，自車減速，前車減速的數(shù)學(xué)模型的建立

（1）當(dāng)a2≤a*2時(shí)，前車和自車到最后都停止。

提醒報(bào)警距離：

危險(xiǎn)報(bào)警距離，t1=0：

提醒報(bào)警距離：

危險(xiǎn)報(bào)警距離：

4 結(jié)論

目前防追尾模型大多數(shù)建立在自車勻速的工況下，對(duì)其它情況不考慮或考慮極少，認(rèn)為在、時(shí)間內(nèi)，自車加速度變化極小，認(rèn)為勻速。由于現(xiàn)代汽車飛速發(fā)展，速度更是倍增于以前，只考慮自車的勻速不再適應(yīng)現(xiàn)代汽車的要求。

本文主要工作是解決了在考慮自車速度與加速度的情況下，得出了自車與前車在高速公路上各種運(yùn)動(dòng)狀況下的防追尾模型，確定了各種運(yùn)動(dòng)狀況下第一次提醒報(bào)警與第二次危險(xiǎn)報(bào)警安全距離數(shù)學(xué)模型，此模型主要在我國高速公路的特點(diǎn)下建立，適合在我國高速公路上行車時(shí)對(duì)可能生的情況做出反應(yīng)。

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