冪律流體在裂縫介質中滲流特性的分形分析

王世芳， 吳 濤， 鄧永菊， 鄭秋莎

(1.湖北第二師范學院 物理與機電工程學院， 武漢 430205;2.武漢工程大學 理學院， 武漢 430074)

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王世芳1*， 吳 濤2， 鄧永菊1， 鄭秋莎1

(1.湖北第二師范學院 物理與機電工程學院， 武漢 430205;2.武漢工程大學 理學院， 武漢 430074)

非牛頓流體在多孔介質/裂縫介質中的輸運特性已成為許多應用科學及工程技術領域的研究熱門問題.本文基于分形理論和廣義達西定律研究了冪律流體在裂縫巖石中流動特性，得到了冪律流體在裂縫介質中總流量和有效滲透率的分形解析表達式.研究結果表明，冪律流體有效滲透率是裂縫網絡結構參數和冪指數的函數.該模型計算結果與已有的模擬實驗數據相比較吻合較好，證實了本模型的有效性.

裂縫介質； 分形理論； 冪律流體； 有效滲透率

多孔介質/裂縫介質廣泛存在于大自然界中，譬如油氣藏、頁巖氣藏、地下水資源、土壤等.非牛頓流體在多孔介質/裂縫介質中的流動特性吸引了石油工程師、采礦工程師、水文學者等研究人員的關注與興趣[1-4].目前有大量的文獻報道了非牛頓流體在多孔介質中流動特性.員美娟[5]基于毛細管模型和分形理論研究了卡森流體在多孔介質中的流動行為，給出了其流量、啟動壓力梯度和滲透率的解析表達式.同時，員美娟[6]還研究了Sisko流體在多孔介質的滲流特性，給出了流量和平均流速的分形表達式.張斌[7]通過分形理論給出了冪律流體在多孔介質中的滲透率表達式，清楚地揭示影響滲透率的物理機制.Wang[8]采用毛細管模型，利用分形理論方法計算了冪律流體在樹狀分叉網絡的滲透率，給出了絕對滲透率及相對滲透率表達式.王世芳[3]基于廣義達西定律和分形理論研究了Bingham流體在點到圓形樹狀分叉網絡中的啟動壓力梯度和滲透率，分析了網絡結構參數及流體特性行為參數對啟動壓力梯度的影響.盡管對非牛頓流體流動行為的研究文獻比較多，但是他們大多數采用毛細管模型，即把多孔介質的孔隙看成是一束平行的圓形毛細管.然而，自然界中巖石裂縫往往是不規則的，不能簡單地看成橫截面為圓形毛細管.已有大量文獻表明[9-12]，巖石裂縫可以簡化成一對平行平板，流體在裂縫巖石中流動看成是流體在橫截面為矩形的裂縫(即平行平板模型)中流動.早在20世紀70年代，Bear[11]利用平行平板模型提出了牛頓流體在單個矩形裂縫中流動的流量表達式——著名的“Cubic Law”.然而，在大自然界和實際工程應用領域，還存在各種非牛頓流體，冪律流體就是一種常見的非牛頓流體.在石油工程領域為了提高石油開采率，往往在油氣田開采時采用冪律流體灌注方式來提高其采收率.Vittorio Di Federicos[13]對Cubic Law進一步擴展，分析了非牛頓冪律流體在可變孔徑單個裂縫中的流動行為，給出了其流量的表達式.后來，考慮了裂縫迂曲度之后，他利用等效裂縫孔徑概念推導了冪律流體在可變孔徑單個裂縫的流動控制方程[14].然而，油氣藏、頁巖等中裂縫網絡是由無序、不規則的狹長裂縫網絡構成的.已有文獻表明裂縫介質(包含裂縫巖石、油氣藏、礦藏、地下水資源)中裂縫寬度和裂縫數量呈冪指數關系，即巖石裂縫寬度滿足分形標度律[15-17].本文主要工作是基于分形理論，提出冪律流體在裂縫巖石中的有效滲透率分形模型.

1 冪律流體在單個矩形管道中的流動

首先，考慮冪律流體在單根矩形管道沿x軸方向流動.設矩形管道上下表面均為光滑平面，它們之間間距為b(裂縫孔徑為b)，矩形寬度為w，如圖1所示.為了簡化分析問題，假設冪律流體是在一維平面內沿x軸流動，即w≥b.

圖1 管壁光滑的矩形管道結構示意圖Fig.1 A sketch of a parallel plate fracture with smooth walls

由于非牛頓冪律流體在平板內沿x軸流動，其Navier-Stokes方程可以寫成：

(1)

(2)

冪律流體的本構關系為：

(3)

(4)

式中，n為冪指數，C為表示流體流動行為的常數.當n<1，流體為偽塑性流體；當n=1時表示牛頓流體；當n>1 時為膨脹性流體.將方程(4)代入方程(2)，可以得到

(5)

注意方程(5)的左邊僅僅是y的函數，而方程(5)右邊是x的函數，對方程(5)依次積分兩次，分別得到：

(6)

(7)

其邊界條件為

(8)

根據邊界條件(8)，確定出積分常數

于是，冪律流體在單個矩形管道中流速可表示為

(9)

因此冪律流體通過單根矩形管道的流量可以通過下列積分得到：

(10)

當n=1時，方程(10)可以化簡成著名的“Cubic Law”，其中常數C對應牛頓流體的粘度系數；n≠1 就是非牛頓冪律流體滿足的廣義cubic law.

大量實驗表明裂縫介質的裂縫寬度滿足分形分布，裂縫寬度大于或等于w的裂縫數目為[15]：

(11)

式中，Df為裂縫寬度分形維數，在二維空間，0

裂縫孔徑與裂縫寬度之間滿足如下關系[15，18]：

b=βw.

(12)

對方程(11)兩邊微分，得到裂縫寬度在w和w+dw之間的裂縫數目為：

(13)

假設裂縫介質可以近似看作是由一束裂縫寬度滿足分形分布的平行矩形管道組成，那么流過裂縫介質的總流量為：

(14)

(15)

(15)式代表冪律流體通過裂縫介質的總流量，它是裂縫介質參數與流體特性的函數.令n=1，則(15)化簡為：

(16)

此表達式正是牛頓流體在裂縫介質中的流量.

牛頓流體是冪律流體冪指數n=1時的一種特例，它的流動行為較為牛頓流體復雜.冪律流體在單根矩形管道中的剪切速率為：

(17)

冪律流體在單根矩形管道的平均剪切速率可以表示為：

(18)

通過對(18)式積分，得到冪律流體在裂縫介質中總剪切速率為

(19)

冪律流體在裂縫介質中等效視粘度可定義為

(20)

根據冪律流體滿足的廣義達西定律：

(21)

其中,A為裂縫介質的橫截面，K為冪律流體的等效滲透率.

聯立方程(21)、(20)與(14)，得到冪律流體在裂縫介質中的等效滲透率：

(22)

(22)式表示冪律流體通過裂縫介質的等效滲透率，它是裂縫介質結構參數(wmax、wmin、Df和A)的函數，不含其它經驗常數，每個參數都有明確的物理意義，清晰地揭示影響冪律流體在裂縫介質中滲流特性的物理機制.

如果令(22)式中n=1 ，則冪律流體在裂縫介質中的有效滲透率可以簡化成

(23)

式(23)正是牛頓流體在裂縫介質中有效滲透率的解析表達式.

2 結果分析與討論

下面分析裂縫介質結構參數對冪律流體等效滲透率的影響.裂縫寬度分形維數可以由下式給出：

(24)

裂縫介質單元面積為[15]

(25)

圖2顯示了冪律流體等效滲透率在不同冪指數下隨裂縫介質孔隙率變化關系曲線圖.從圖2可以看出：冪指數n越大，其等效滲透率越大；同時冪律流體等效滲透率還隨孔隙率的增大而增大，這可解釋為孔隙率越大，其在裂縫介質中的流動阻力越小，導致等效滲透率越大，這與實驗事實相吻合.

圖2 冪律流體在裂縫介質中有效滲透率隨孔隙率的變化關系，其中β=0.002，wmin=10 μm，wmax=1 mmFig.2 The effective permeability for power law fluid in porous fractures versus the porosity at β=0.002，wmin=10 μm and wmax=1 mm

為了驗證本文提出新模型的正確性，下面將滲透率模型(方程(23))與已有的模擬實驗數據[19]比較.在文獻[19] 中，Jafari等人所選用實驗巖石樣品均采自土耳其西南部地熱田，他們證實了裂縫巖石滿足分形分布并采用計盒數法計算了巖石樣品的分形維數，同時利用商業軟件(裂縫油藏建模軟件，簡稱FRACA軟件)計算了巖石樣品等效滲透率.圖3顯示了有效滲透率隨分形維數的增加而增加，這可解釋為分形維數越大，裂縫網絡占據的份額就越大，冪律流體的流動阻力越小，所以有效滲透率越大，這與實際情況相一致.從圖3中還可以看出在新的預測等效滲透率的分形模型里，其等效滲透率隨分形維數變化趨勢與文獻[19]模擬結果大致相同.

圖3 冪律流體在裂縫介質中有效滲透率隨分形維數的變化關系，其中β=0.004，wmin=10 μm，wmax=1 mmFig.3 The effective permeability for power law fluid in porous fractures versus the fractal dimension at β=0.004，wmin=10 μm，wmax=1 mm

3 結論

本文基于裂縫介質為一束大小不一、滿足分形分布的矩形管道假設，利用分形理論與廣義達西定律，研究了冪律流體在裂縫介質中的滲流特性，推導得到冪律流體在裂縫介質中的總流量和有效滲透率的分形解析表達式，它們是裂縫網絡結構參數和冪律流體流動特性的函數，各參數物理意義明確，清楚地揭示了影響冪律流體在裂縫網絡中滲流特性的物理機制.

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The fractal analysis of the flow characteristics of the power law fluid in fracture medium

WANG Shifang1, WU Tao2, DENG Yongju1, ZHENG Qiusha1

(1.Department of Physics and Mechanical & Electrical Engineering, Hubei University of Education, Wuhan 430205;2.Laboratory of Optical Information and Technology, School of Science,Wuhan Institute of Technology, Wuhan 430073)

The transport phenomena in porous media/fracture medium for non-Newtonian fluid have become hot issues in many fields of applied science and engineering technology. Based on the fractal theory and the generalized Darcy law, the flow properties for non-Newtonian fluid in fracture medium are investigated. The analytical expressions of flow rate and effective permeability for the power law fluid in fracture medium are obtained. The results show that the effective permeability is a function of the microstructural parameters of fracture medium and the properties for non-Newtonian power-law fluid. The new model is verified through comparing present results to the available simulation data, and a fair agreement between them is obtained.

fracture medium; fractal theory; power law fluid; the effective permeability

2015-05-06.

國家自然科學基金項目(11402081,11304235)；西南石油大學油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室開放基金項目(PLN1205).

1000-1190(2015)06-0872-04

O357.3

A

*E-mail: flatime@163.com.