廣義Lehmer矩陣求逆問題研究

鄧 勇

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 新疆 喀什 844006)

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鄧 勇*

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 新疆 喀什 844006)

利用矩陣的LU和Cholesky分解推導(dǎo)出Lehmer矩陣行列式和逆的解析表達式.在此基礎(chǔ)上,定義了廣義Lehmer矩陣,并獲得了其LU分解和Cholesky分解公式,進而簡化了廣義Lehmer矩陣行列式和求逆的計算問題.

遞歸數(shù)列; 廣義Lehmer矩陣; 逆矩陣; LU分解; Cholesky分解

從20世紀(jì)初至今,非負(fù)矩陣、M矩陣、H矩陣以及與之密切相關(guān)的其他特殊矩陣的應(yīng)用日益廣泛.有關(guān)研究已成為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、計算數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)中較為活躍的領(lǐng)域之一[1].Lehmer矩陣也是一類特殊矩陣,由于其逆矩陣是已知的,所以在矩陣計算中其常被作為一種測試矩陣,用來評估逆矩陣算法的精確度[2].所謂的Lehmer矩陣[3]是指n×n階對稱矩陣A=(aij),其(i,j)元aij為:

廣義Lehmer矩陣是指n×n階對稱矩陣Gn=(gij)1≤i,j≤n,其(i,j)元gij為:

本文分別討論Lehmer矩陣和廣義Lehmer矩陣的LU分解、行列式和求逆公式.

1 Lehmer矩陣的LU和Cholesky分解

于是,有以下定理1.

定理1n×n階Lehmer矩陣A的LU分解為A=LU,其中L和U如上定義.

若i>j,則直接計算,可得

若j>i,則直接計算,可得

作為定理1的一個直接結(jié)果,有推論1.

證明 若i>j,則

若i=j,則

若i

證畢.

2 Lehmer矩陣的逆

利用A=LU,可得A-1=U-1L-1.為此,要求A-1,必須先推導(dǎo)L-1和U-1.

引理1若用L-1=(tij)表示L的逆矩陣,則

引理2若用U-1=(wij)表示U的逆矩陣,則

利用矩陣乘法的定義可直接驗證引理1及引理2的正確性[4-5].

定理3已知A為n×n階Lehmer矩陣(n>0).若用A-1=(bij)n×n表示A的逆矩陣,則

證明 因A-1=U-1L-1,故由引理1和引理2可知,當(dāng)1≤i≤n-1時,有

注1由定理3可知,Lehmer矩陣的逆矩陣是對稱三對角矩陣[6].

3 廣義Lehmer矩陣

本節(jié)用與第3節(jié)相同的方法推導(dǎo)廣義Lehmer矩陣Gn=(gij)的LU分解,其中g(shù)ij如第1節(jié)所定義.

定理4廣義Lehmer矩陣Gn=(gij)的LU分解為Gn=L2U2,(n>0).其中，L2和U2如上所定義.

證明 設(shè)L2U2=(hij).分別考慮i>j和i≤j兩種情況.

若i>j,則直接計算hij,可得

若i≤j,則同樣可得

證畢.

證明 參見文獻[7],并利用L2和U2的定義,直接計算可得證.

最后,定義下三角形矩陣L3=(mij),其中,

證明 參見文獻[8-10],類似定理4的證明同樣可以得證.

4 廣義Lehmer矩陣的逆

5 結(jié)語

[1] 黃廷祝, 楊傳勝. 特殊矩陣分析及應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社, 2007.

[2]NEWMANM,TODD.J.Theevaluationofmatrixinversionprograms[J].JournaloftheSocietyforIndustrialandAppliedMathematics,1958, 6(4):466-476.

[3]LEHMERDH.ProblemE710 [J].AmericanMathematicalMonthly,1946, 53(97): 354-355.

[4] 王美蓮, 何翠竹. 一類特殊矩陣的逆矩陣特點及其求逆公式[J].忻州師范學(xué)院學(xué)報, 2010, 26(2):41-43.

[5] 王群英. 矩陣分解方法的探究[J].長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2011, 32(1):95-101.

[6] 冉瑞生, 黃廷祝. 三對角矩陣的逆[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2006, 38(5):815-817.

[7] 千國有, 譚千蓉. 關(guān)于矩陣LU分解的注記(英文)[J].四川大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2012, 49(2):273-279.

[8]STANICAP.Choleskyfactorizationsofmatricesassociatedwithr-orderrecurrentsequences[J].Integers:ElectronicJournalofCombinatorialNumberTheory, 2005, 5(2):1-10.

[9] 顧江永. 矩陣的三角分解與應(yīng)用[J].吉首大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2012, 33(1):23-25.

[10] 李 琳, 袁修久, 趙學(xué)軍. 柯西矩陣的三角分解及應(yīng)用[J].高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報, 2011, 33(1):90-98.

The investigation on inverse problem of generalized Lehmer matrix

DENG Yong

(College of Mathematics and Statistics, Kashgar University， Kashgar, Xinjiang 844006)

In this paper, the Lehmer matrix and its recursive sequence is derived by its LU and Cholesky factorizations. Based on these, a generalized Lehmer matrix is defined. Furthermore, the LU and Cholesky factorizations of analogous matrixes are derived, making the calculation problem more simplified.

recursive sequence; generalized Lehmer matrix; inverse matrix; LU decomposition; Cholesky decomposition

2015-03-11.

新疆維吾爾自治區(qū)高校科研計劃重點項目(XJEDU2008Ⅰ31).

1000-1190(2015)06-0827-04

O151.2

A

*E-mail: dengy-ks@sohu.com.