橫向地震作用下橋梁下部結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)

羅富元 赫中營(yíng) 葉愛(ài)君

(同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092)

1 引言

由于在橋梁震害調(diào)查中，因橋梁下部結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞的情況很少見(jiàn)，因此，目前針對(duì)地震作用下橋梁結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的研究很少，而現(xiàn)有的研究對(duì)橫向地震作用下橋梁下部結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的產(chǎn)生及影響更是沒(méi)有涉及［1］，此外，現(xiàn)行的《公路橋梁抗震設(shè)計(jì)細(xì)則》(JTG/TB02—01—2008)［2］和《城市橋梁抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(CJJ 166—2011)［3］對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)構(gòu)件抗震驗(yàn)算的規(guī)定，也并沒(méi)有考慮地震作用下產(chǎn)生的扭矩對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)構(gòu)件的影響。

對(duì)于建筑結(jié)構(gòu)，由于歷次震害調(diào)查結(jié)果表明，建筑結(jié)構(gòu)在地震作用下的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)是造成結(jié)構(gòu)抗震性能退化，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞甚至倒塌的重要原因［4］。所以在《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50011—2010)［5］和《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》(JGJ 3—2010)［6］中均有關(guān)于地震作用下考慮扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的相關(guān)規(guī)定。而其中主要考慮的受力構(gòu)件為剛性樓板下的邊緣柱、墻等抗側(cè)力構(gòu)件。對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)，由于在結(jié)構(gòu)形式上，橋梁的承臺(tái)和群樁基礎(chǔ)的外圍單樁與房屋結(jié)構(gòu)的剛性樓板和邊緣柱、墻等抗側(cè)力構(gòu)件有相似性，且群樁基礎(chǔ)的外圍單樁通常也是橋梁結(jié)構(gòu)在地震作用下的最不利受力單樁［7］，那么，如果在地震作用下橋梁下部結(jié)構(gòu)產(chǎn)生很大的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)，則按照規(guī)范而進(jìn)行的抗震驗(yàn)算，顯然會(huì)由于忽略扭轉(zhuǎn)效應(yīng)而存在導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果偏不安全的可能。同時(shí)，由于樁基的隱蔽性，導(dǎo)致對(duì)樁基震害調(diào)查的困難，所以不能根據(jù)以往的橋梁震害調(diào)查結(jié)果而忽視橋梁下部結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)。因此，針對(duì)地震作用下橋梁下部結(jié)構(gòu)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)效應(yīng)進(jìn)行研究是十分必要的。

針對(duì)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)而言，橋梁結(jié)構(gòu)和房屋結(jié)構(gòu)的區(qū)別主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面:①房屋結(jié)構(gòu)的樓板在自身平面內(nèi)是無(wú)限剛性的，而橋梁結(jié)構(gòu)的上部結(jié)構(gòu)則一般是柔性的;②房屋結(jié)構(gòu)的樓板和柱、墻等抗側(cè)力構(gòu)件是固結(jié)的，所以樓板的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)是一定會(huì)有效地傳遞到這些抗側(cè)力構(gòu)件，而橋梁結(jié)構(gòu)，除剛構(gòu)橋及拱腳固結(jié)的拱橋外，其上部結(jié)構(gòu)和下部結(jié)構(gòu)之間的內(nèi)力傳遞是通過(guò)支座實(shí)現(xiàn)的，所以支座可能對(duì)下部結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)有一定的影響。

由于橋梁結(jié)構(gòu)的質(zhì)量在縱橋向和橫橋向的分布一般是對(duì)稱的，而在縱橋向，梁墩交接處的縱向約束布置通常也是對(duì)稱的，且縱橋向的縱向抗彎剛度可視為無(wú)限大，所以在縱向水平地震作用下，其上部結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可視為剛體運(yùn)動(dòng)，即縱向擺動(dòng)，不會(huì)使下部結(jié)構(gòu)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)效應(yīng)。

基于以上幾點(diǎn)，本文只對(duì)橫向水平地震作用下橋梁下部結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)進(jìn)行以下兩部分研究:①橫向地震作用下橋梁下部結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響因素;②橋梁下部結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)對(duì)最不利單樁的受力影響。本文首先通過(guò)簡(jiǎn)化的力學(xué)模型，運(yùn)用力學(xué)方法，求解出在橫向地震作用下，橋梁下部結(jié)構(gòu)扭矩的計(jì)算公式，通過(guò)公式得出橫向地震作用下橋梁下部結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響因素，然后結(jié)合一個(gè)實(shí)際橋梁工程，通過(guò)建立有限元模型分析其橫向地震作用下橋梁下部結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響因素。通過(guò)簡(jiǎn)化力學(xué)模型和有限元模型分析結(jié)果的相互印證，最終確定橫向地震作用下橋梁下部結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響因素。最后以同一個(gè)實(shí)際橋梁工程為背景，分析橋梁下部結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)對(duì)最不利單樁的受力影響。

2 基于簡(jiǎn)化力學(xué)模型的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)分析

橋梁的墩梁可以通過(guò)固結(jié)和設(shè)置支座兩種方式實(shí)現(xiàn)力的傳遞，為了研究支座對(duì)橋梁下部結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響，需要建立兩個(gè)簡(jiǎn)化力學(xué)模型:墩梁固結(jié)力學(xué)模型和實(shí)際橋梁工程常用支座布置形式下的一個(gè)簡(jiǎn)化力學(xué)模型。這兩個(gè)模型除了墩梁連接方式不同外，其他參數(shù)均相同，而扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的其他影響因素將主要在設(shè)置支座的力學(xué)模型中進(jìn)行探討。

2．1 模型一:墩梁固結(jié)力學(xué)模型

不考慮支座的影響，并為了簡(jiǎn)化分析，選取門(mén)式剛架作為墩梁固結(jié)力學(xué)模型進(jìn)行理論分析。如圖1所示，以主梁模擬橋梁的上部結(jié)構(gòu)，墩柱模擬橋梁的下部結(jié)構(gòu)，以X軸方向?yàn)榭v向，Y軸方向?yàn)闄M向，Z 軸為豎向，其中，EI1Z，EI1Y，GI1P分別為主梁截面的橫向抗彎剛度、豎向抗彎剛度以及抗扭剛度;EI2X，EI2Y，GI2P分別為墩柱截面的橫向抗彎剛度、縱向抗彎剛度、抗扭剛度。P為作用于主梁上的均布水平力，用于模擬橫向地震作用下。墩柱高為H，主梁跨徑為L(zhǎng)。

圖1 簡(jiǎn)化力學(xué)模型一Fig．1 Simplified mechanical model No．1

由于圖1為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，且作用荷載也是正對(duì)稱的，故可取其一半作為基本體系進(jìn)行計(jì)算［8］，由于基本體系中反對(duì)稱多余力為零，故最終可簡(jiǎn)化為如圖2所示的基本體系。

圖2 基本體系Fig．2 Basic system

由力法計(jì)算出多余力的結(jié)果為:

最終，求得梁端的內(nèi)力為:梁端橫向剪力:

梁端橫向彎矩:

式中，T為墩柱抗扭剛度，即T=GI2P/H;γ為主梁截面橫向抗彎剛度與柱抗扭剛度之比，即γ=EI1Z/T。

梁端的橫向彎矩即為墩柱的扭矩。由式(5)可以看出，墩梁固結(jié)時(shí)，在橫向水平力作用下橋梁下部結(jié)構(gòu)將會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)效應(yīng)，下部結(jié)構(gòu)的扭矩大小與主梁截面橫向抗彎剛度和墩柱抗扭剛度的比值有關(guān)，γ越大，墩柱的扭矩值越小。由于實(shí)際工程中存在基礎(chǔ)柔性的影響，故式(5)中墩柱的抗扭剛度應(yīng)取為橋墩和基礎(chǔ)組成的聯(lián)合剛度，這里稱其為墩柱的等效抗扭剛度。

2．2 模型二:設(shè)置支座力學(xué)模型

本文主要討論不限制轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的常規(guī)支座，一般分為四種類型:①雙向固定支座;②縱向滑動(dòng)，橫向固定支座，簡(jiǎn)稱橫向固定支座;③橫向滑動(dòng)，縱向固定支座，簡(jiǎn)稱縱向固定支座;④雙向滑動(dòng)支座。

通常橋梁在橫向會(huì)布置兩個(gè)或者兩個(gè)以上支座，故本文采用具有代表性的橫向布置兩個(gè)支座作為單墩的支座布置形式。在橫向水平荷載作用下，單墩橫向布置的兩個(gè)支座的縱向約束實(shí)際組成了一個(gè)限制梁端繞豎向轉(zhuǎn)動(dòng)的約束，這里將這個(gè)約束定義為RZ，其中，RZ的剛度為墩柱的抗扭剛度，梁的橫向彎矩通過(guò)RZ可以有效地傳遞到墩柱，使墩柱產(chǎn)生扭矩。而支座的橫向約束(橫向約束剛度為墩柱的橫向抗推剛度)則實(shí)現(xiàn)了主梁橫向剪力的有效傳遞。

表1中列出了實(shí)際橋梁工程中支座橫向布置的常用組合及其約束的自由度。

表1 支座組合Table 1 Bearing combination

從表1可以看出，實(shí)際橋梁工程中支座橫向布置的常用組合中只有固定墩可以有效地將上部結(jié)構(gòu)的橫向彎矩傳遞給下部結(jié)構(gòu)，使得下部結(jié)構(gòu)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)效應(yīng)。

在縱橋向，由于需要適應(yīng)上部結(jié)構(gòu)在溫度、徐變等因素影響下產(chǎn)生的的縱向變形，故一般不會(huì)在一跨的內(nèi)設(shè)置兩個(gè)固定墩，即在一跨內(nèi)兩個(gè)墩柱的支座布置是不對(duì)稱的，通常為一個(gè)固定墩和一個(gè)非固定墩的組合方式。所以本文基于實(shí)際工程情況，選取最常用的支座布置形式，得到如圖3所示的設(shè)置支座力學(xué)模型。

由力法求得其固定墩扭矩計(jì)算結(jié)果:

式中，K為墩柱的橫向抗推剛度，即K=3EI2X/H3;β為主梁截面橫向抗彎剛度與墩柱橫;向抗推剛度之比，即β=EI1X/K。

由于實(shí)際工程中存在支座的抗剪剛度、基礎(chǔ)柔性等影響，故公式(6)中墩柱的抗扭剛度和橫向抗推剛度應(yīng)取為支座、橋墩和基礎(chǔ)組成的聯(lián)合剛度，這里稱其為墩柱的等效抗扭剛度和等效橫向抗推剛度。

通過(guò)上述計(jì)算結(jié)果可以看出，模型二在橫向地震作用下墩柱的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響因素有上部結(jié)構(gòu)的橫向抗彎剛度、支座布置形式、墩柱的等效抗扭剛度和墩柱的等效橫向抗推剛度。當(dāng)墩柱為固定墩時(shí)，在橫向地震作用下，橋梁下部結(jié)構(gòu)將會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)效應(yīng)，主梁的橫向抗彎越小，墩柱產(chǎn)生的扭矩越大;墩柱的等效抗扭剛度和等效橫向抗推剛度越大，墩柱產(chǎn)生的扭矩越大。從定性上可以得到這樣的結(jié)論:對(duì)于大跨度橋梁，尤其是固定墩為矮粗墩的大跨度橋梁，在其固定墩處將會(huì)產(chǎn)生很大的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)。通過(guò)模型一和模型二的分析結(jié)果可以看出，由于設(shè)置了支座，使得在扭轉(zhuǎn)效應(yīng)只產(chǎn)生在固定墩中。

圖3 簡(jiǎn)化力學(xué)模型二Fig．3 Simplified mechanical model No．2

3 實(shí)際橋梁工程的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)分析

下面將通過(guò)一個(gè)橋梁工程實(shí)例的有限元模型分析支座、墩柱的等效抗扭剛度和墩柱的等效橫向抗推剛度對(duì)橋梁下部結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響。最后，通過(guò)BCAD_PILE軟件軟件，根據(jù)承臺(tái)底部的內(nèi)力反推在忽略扭矩和計(jì)入扭矩時(shí)最不利單樁的受力，進(jìn)而分析扭轉(zhuǎn)效應(yīng)對(duì)樁基礎(chǔ)的影響。

3．1 橋梁工程概況及模型介紹

春曉大橋主橋?yàn)?80+336+80)m中承式雙層鋼桁拱橋，上層為機(jī)動(dòng)車道，下層為非機(jī)動(dòng)車道;邊、中跨跨度比為0．24。主桁由兩片鋼桁架組成，桁寬27．8 m，寬跨比為1/12。主橋主墩(10#，11#)墩高3 m，截面直徑8 ～10 m，長(zhǎng)細(xì)比小于2．5，屬于大直徑矮墩。主橋在拱腳處設(shè)支座，10#雙柱墩為固定墩，其余墩柱為非固定墩。

圖4為以春曉大橋?yàn)楸尘肮こ蹋赏ㄓ糜邢拊浖AP2000建立的三維有限元模型。參照實(shí)際結(jié)構(gòu)的布置，上部結(jié)構(gòu)中橋面主梁主要采用雙主梁模式，程序中用梁?jiǎn)卧M;鋼橫梁用梁?jiǎn)卧M;混凝土橋面板用在系梁、橫梁及小縱梁組成的梁格上布置的板單元模擬;整個(gè)拱圈(包括風(fēng)撐)以及下部結(jié)構(gòu)中的橋墩都是用梁?jiǎn)卧M;吊桿與水平系桿用桁架單元模擬，承臺(tái)也用梁?jiǎn)卧M模擬。樁基礎(chǔ)的處理方法是在承臺(tái)底部加上六個(gè)方向的彈簧來(lái)模擬樁基礎(chǔ)的作用，彈簧剛度根據(jù)土層狀況和樁的布置形式按靜力等效的原則確定，其中土性資料一般根據(jù)m法確定。

地震動(dòng)輸入采用浙江省工程地震研究所提交的《寧波春曉大橋工程場(chǎng)地地震安全評(píng)價(jià)報(bào)告》提供的，所對(duì)應(yīng)的反應(yīng)譜曲線見(jiàn)圖5。

圖4 春曉大橋主橋動(dòng)力計(jì)算模型圖式Fig．4 Finite element model of Chunxiao Bridge

3．2 支座對(duì)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響

表2為該橋在橫向地震作用下由反應(yīng)譜分析得到的承臺(tái)底的內(nèi)力最大值。從表中可以看出，設(shè)置支座時(shí)，10#固定墩的承臺(tái)底的扭矩值很大，約為橫向彎矩的0．6倍，而其他非固定墩承臺(tái)底的扭矩幾乎為零。拱腳固結(jié)時(shí)，10#主墩和11#主墩的承臺(tái)底均產(chǎn)生很大的扭矩，而設(shè)置支座的非固定墩承臺(tái)底的扭矩值也幾乎為零。由于設(shè)置了支座，使得下部結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)只在固定墩中產(chǎn)生，而非固定墩的支座布置形式，在橫向地震作用中橋梁下部結(jié)構(gòu)將不會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)效應(yīng)。

圖5 加速度反應(yīng)譜曲線Fig．5 Acceleration response spectrum curve

表2 各承臺(tái)底內(nèi)力最大值Table 2 Maximal value of the internal force at the bottom of different bearing platform

3．3 墩柱等效抗扭剛度對(duì)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響

在設(shè)置支座時(shí)，墩柱等效抗扭剛度為支座、橋墩和基礎(chǔ)組成的聯(lián)合剛度，當(dāng)改變其中某一部分的抗扭剛度時(shí)，墩柱的等效抗扭剛度也會(huì)相應(yīng)改變，且兩者的關(guān)系是正相關(guān)的。由于梅山春曉大橋主橋主墩屬于大直徑矮墩，且和承臺(tái)連接之后的整體的剛度很大，可以視為剛性構(gòu)件。所以墩柱等效抗扭剛度對(duì)基礎(chǔ)繞豎向轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的改變更為敏感，故采用基礎(chǔ)繞豎向轉(zhuǎn)動(dòng)剛度代替墩柱等效抗扭剛度進(jìn)行分析。從圖6可以看出，隨著固定墩等效抗扭剛度的增加，固定墩承臺(tái)底的扭矩也隨之增大。

3．4 墩柱等效橫向抗推剛度對(duì)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響

在設(shè)置支座時(shí)，墩柱等效橫向抗推剛度為支座、橋墩和基礎(chǔ)組成的聯(lián)合剛度，基于上述同樣的原因，這里同樣采用基礎(chǔ)橫向剛度代替墩柱等效橫向抗推剛度進(jìn)行分析。從圖7可以看出，隨著固定墩等效橫向抗推剛度的增加，固定墩承臺(tái)底的扭矩也隨之增大。

通過(guò)以上有限元模型分析的結(jié)果可以看出，基于簡(jiǎn)化力學(xué)模型分析得到的結(jié)論與對(duì)實(shí)際橋梁工程的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)進(jìn)行分析所得到的結(jié)論是一致的。

3．5 扭轉(zhuǎn)效應(yīng)對(duì)樁基礎(chǔ)的影響

由表2可以看出，在橫向地震作用下，固定墩處的承臺(tái)底產(chǎn)生了很大的扭矩，而在橋梁抗震驗(yàn)算中，對(duì)橋梁基礎(chǔ)地震反應(yīng)進(jìn)行驗(yàn)算時(shí)，一般只是根據(jù)承臺(tái)底的彎矩、剪力、軸力來(lái)驗(yàn)算承臺(tái)底單樁的抗彎和抗剪強(qiáng)度，而不計(jì)入扭矩的影響。但是并沒(méi)有相關(guān)研究表明在抗震驗(yàn)算時(shí)忽略扭矩是否合理，故本文采用BCAD_PILE軟件分別計(jì)算春曉大橋主橋固定墩在考慮扭矩和忽略扭矩時(shí)，最不利單樁的受力情況，得到結(jié)果如圖8所示。通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，橋梁下部結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)對(duì)于最不利單樁的受力有很大的影響，所以橫向地震作用下橋梁下部結(jié)構(gòu)產(chǎn)生很大扭轉(zhuǎn)效應(yīng)時(shí)，橋梁基礎(chǔ)地震反應(yīng)的驗(yàn)算應(yīng)計(jì)入扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響。

圖6 基礎(chǔ)抗扭剛度對(duì)扭矩影響示意圖Fig．6 Effect of torsion stiffness of foundation on torsional moment

圖7 基礎(chǔ)橫向剛度對(duì)扭矩影響示意圖Fig．7 Effect of lateral rigidity of foundation on torsional moment

圖8 計(jì)入扭轉(zhuǎn)效應(yīng)和忽略扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的最不利單樁受力比較Fig．8 Comparison of the most dangerous pile’s force condition in different cases

4 結(jié)論

本文通過(guò)簡(jiǎn)化的力學(xué)模型結(jié)合實(shí)際橋梁工程有限元分析模型，分析了橋梁結(jié)構(gòu)在橫向地震作用下，其下部結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響因素。通過(guò)理論推導(dǎo)和實(shí)例分析，得到以下結(jié)論:

(1)對(duì)于墩梁固結(jié)體系，在橫向地震作用下，橋梁下部結(jié)構(gòu)將會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)效應(yīng);對(duì)于設(shè)置支座體系，在橫向地震作用下，在橋梁固定墩處將會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)效應(yīng)，而非固定墩，由于橫向支座布置不能形成繞豎向轉(zhuǎn)動(dòng)的約束，故非固定墩處無(wú)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)。

(2)橫向地震作用下，上部結(jié)構(gòu)的橫向抗彎剛度越小，則橋梁下部結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)越顯著;墩柱等效抗扭剛度越大，橋梁下部結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)越顯著;墩柱等效橫向抗推剛度越大，橋梁下部結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)越顯著。

(3)橋梁下部結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)很大時(shí)，將會(huì)對(duì)樁基礎(chǔ)的受力產(chǎn)生較大的影響，在進(jìn)行橋梁基礎(chǔ)抗震驗(yàn)算時(shí)，應(yīng)計(jì)入下部結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響。

［1］ 黃小國(guó)，敬大德，宋小平，橋墩扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)連續(xù)梁橋橫橋向地震反應(yīng)的影響［J］．結(jié)構(gòu)工程師，2008，24(6):96-99．Huang Xiaoguo，Jing Dade，Song Xiaoping．The influence of piers torsion stiffness on the earthquake responses for continuous bridges in the transverse direction［J］．Structural Engineers，2008，24(6):96-99．(in Chinese)

［2］ 中華人民共和國(guó)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部．JTG/TB02—01—2008公路橋梁抗震設(shè)計(jì)細(xì)［S］．北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2008．Ministry of Housing and Urban-rural Developmenf of the People's Republic of China．JTG/TB02-01-2008．Guidelines for seismic design of highway bridges［S］．Beijing:China Building Industry Press，2008．(in Chinese)

［3］ 中華人民共和國(guó)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部．CJJ 166—2011城市橋梁抗震設(shè)計(jì)規(guī)范［S］．北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2011．Ministry of Housing and Urban-rural Development of the People's Republic of China．CJJ 166 —2011 Code for seismic design of urban bridge［S］．Beijing:China Building Industry Press，2011．(in Chinese)

［4］ 扶長(zhǎng)生．抗震設(shè)計(jì)中的平扭耦聯(lián)問(wèn)題［J］．建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào)，2006，27(2):40-46．Fu Changsheng，Seismic design of torsionally coupled buildings［J］．Journal of Building Structures，2006，27(2):40-46．(in Chinese)

［5］ 中華人民共和國(guó)建設(shè)部．GB 50011—2010建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范［S］．北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2010．Ministry of Construction of the People's Republic of China．GB 50011—2010 Code for seismic design of buildings［S］．Beijing:China Architecture and Building Press，2010．(in Chinese)

［6］ 中華人民共和國(guó)建設(shè)部．JGJ 3—2010高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程［S］．北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2010．Ministry of Construction of the People's Republic of China．JGJ 3—2010 Technical specification for concrete structures of tall building［S］．Beijing:China Architecture and Building Press，2010．(in Chinese)

［7］ 葉愛(ài)君．橋梁抗震［M］．2版．北京:人民交通出版社，2011．Ye Aijun．Seismic design of bridge［M］．Second Edition．Beijing．China Communication Press，2011．(in Chinese)

［8］ 龍馭球，包世華．結(jié)構(gòu)力學(xué)教程(Ⅰ)［M］．北京:高等教育出版社，2003．Long Yuqiu，Bao Shihua．Structural mechanics tutorial(Ⅰ)［M］．Beijing:Higher Education Press，2003．(in Chinese)