基于網格自適應直接搜索的隨機庫存決策模型

昆明理工大學管理與經濟學院 薛瀚 黃瓊

作為一類典型的庫存系統，隨機庫存系統由于存在隨機變量以及變量之間的復雜線性關系，不容易通過解析方法對其進行求解[1]。仿真技術擅長于構建隨機性和動態條件下的復雜系統模型，并進行相關分析。利用仿真技術能夠盡可能準確地描述各個變量之間的關系，還原現實世界的復雜隨機性，能夠有效地求解隨機庫存問題[2,3]。

本文優化問題屬于基于仿真的優化問題(Simulationbased optimization)，其特征有：由于仿真的復雜性，目標函數(1)易受到噪聲不同程度的影響；(2)不一定可導和；(3)評價過程耗時長[4]。本文將采用網格自適應直接搜索進行求解。網格自適應直接搜索，作為一類直接搜索算法，與隨機搜索算法相比，具有較強的魯棒性、優良的分布式計算機制、全局收斂性等優點[5]。

本文針對隨機需求、隨機訂貨提前期的隨機庫存系統，構建了隨機庫存決策模型，并提出了一種基于網格自適應直接搜索的求解方法。研究實例表明，模型仿真求解結果具有穩健性且能夠提高系統績效，從而驗證了模型的有效性。

1 問題描述及假設

本文考慮一個無限時間范圍內，隨機需求以及隨機提前期情形下求解隨機庫存系統的最優庫存策略，使系統的平均總成本最小的問題。本文中，庫存系統采用連續盤點庫存策略(Q, r)，即當系統庫存位置(庫存位置=庫存水平+未到達的訂貨量)下降到再訂貨點r時，發出補貨訂單將庫存位置補充到Q[6]。同時，只有當系統的庫存水平大于或等于訂單的需求數量時，才滿足訂單需求，否則記入缺貨數量。綜上，本文的隨機庫存決策問題可以表述為通過確定最優庫存策略參數使得庫存系統在滿足最小顧客滿意度約束下最小化平均總成本。

本文庫存系統滿足以下假設：

(1)單期只出現一個需求(訂單)；

(2)需求和訂貨提前期是隨機的，且相互獨立；

(3)貨物訂單(需求)期初達到，庫存滿足則馬上發貨，若不滿足該訂單量則記入缺貨數量；

(4)單個訂貨周期內不允許再次訂貨。

2 隨機庫存決策模型

如前文所述，本文考慮的隨機庫存決策問題是通過求解最優的庫存策略來最小化系統的平均總成本。按照本文假設，同時考慮實際情況，平均總成本由平均訂貨成本、平均持有成本和平均缺貨成本組成。模型中用到兩個績效指標：平均總成本和顧客滿意度，平均總成本是主要指標，而顧客滿意度是用作約束的指標。基于上述討論，隨機庫存決策模型(SID)表示如下：

由于本文考慮到隨機提前期的情況，模型更加現實并且變得復雜，難以寫出中間變量的解析式，造成模型解析求解困難。對此，本文將進行仿真建模并采用網格自適應直接搜索對模型進行求解。

3 基于網格自適應直接搜索的模型求解

網格自適應直接搜索(Mesh Adaptive Direct Search,MADS)[5]是模式搜索(Pattern Search)方法的一類，通過允許變量空間中方向的漸近緊致集的局部搜索，它擴展了廣義模式搜索(GPS)。其具有以下優勢：(1)容易拓展與應用；(2)求導困難和有限差分不可靠的情況下仍然有效；(3)具有比得上線搜索算法和信賴域算法的全局收斂性質[7]。選擇最大代數和網格閥值作為網格自適應直接搜索的停止條件，當算法的運行代數超過最大代數或者網格尺寸低于網格閥值時，算法結束并輸出最優結果。

本文采用美國MathWorks公司開發的商業數學軟件MATLAB?實現MADS對控制策略優化模型的優化求解，其擁有強大的數值計算性能，并且能夠通過各種工具箱擴展功能。

4 實例仿真及結果分析

本文以某企業作為實證對象。該企業的產品在100周內的需求量如表1所示，100次訂貨提前期統計數據如表2所示，而該產品每周的單位訂貨成本為單位庫存持有成本為單位缺貨成本為最小顧客滿意度。MADS的最大代數為60，網格閥值為1e-06。

表1 產品每周需求量統計表

表2 產品每周訂貨提前期統計表

MADS的優化求解過程如圖1和圖2所示。從圖1可以看到目標函數值隨著算法迭代過程不斷地減小，而從圖2可以看到當目標函數值得到提高時網格尺寸在擴大，否則雖小，且可以知道算法停止是由于網格尺寸低于網格閥值(1e-06)。SID的優化求解結果見表3。利用MADS對SID進行優化求解，目標函數值 取得了一個滿意的優化值，而指標 也滿足了大于85%的約束。

圖1 目標函數值變化過程

圖2 網格尺寸變化過程

表3 優化求解結果

5 結語

本文基于網格自適應直接搜索，研究了不確定市場需求和訂貨提前期條件下的庫存決策問題。首先建立隨機庫存決策模型；然后提出一種基于網格自適應直接搜索的求解方法；最后進行仿真求解并驗證了模型解的收斂性。本文的貢獻在于，一方面豐富了隨機庫存決策問題的研究，另一方面提出了一種基于網格自適應直接搜索算法的求解方法，對存在隨機因素的復雜系統管理決策具有較好的借鑒意義。

[1] 胡運權,郭耀煌.運籌學教程[M].北京:清華大學出版社,2007.

[2] 胡幼華,潘蔭榮,孫強.FIFO存貯隊列管理的隨機庫存系統的仿真模型[J].華東師范大學學報(自然科學版),2003(03).

[3] 姜昌華,胡幼華.基于遺傳算法的隨機(s，S)庫存系統仿真優化[J].華東師范大學學報(自然科學版),2006(03).

[4] Deng G.Simulation-based optimization[D].UNIVERSITY OF WISCONSIN MADISON,2007.

[5] Audet C,Dennis Jr J E.Mesh adaptive direct search algorithms for constrained optimization[J].SIAM Journal on optimization,2006,17(1).

[6] 馮穎,張炎治.隨機需求下考慮訂貨提前期的易變質產品(r,Q)庫存策略研究[J].中國管理科學,2012(S2).

[7] Lewis R M,Torczon V,Trosset M W.Why pattern search works[R].Institute for computer applications in Science and engineering hampton va,1998.