導(dǎo)數(shù)法巧證不等式

王中華

導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)、不等式等問題的一個(gè)利器，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性證明不等式是導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、不等式綜合的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn).常用的證明技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵.

1. 直接利用題目所給函數(shù)證明

例1 已知函數(shù)[]，

求證：[f（x）]≤0.

分析 首先觀察函數(shù)式，求出其導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷其單調(diào)性，從而進(jìn)一步判斷[f（x）]與0的大小關(guān)系.

證明 由[f（x）=xcosx-sinx]得，

[f（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx].

因?yàn)樵趨^(qū)間[（0，π2）]上[f（x）=-xsinx<0]，

所以[f（x）]在區(qū)間[[0，π2]]上單調(diào)遞減.

從而[f（x）]≤[f（0）=0].

點(diǎn)撥 考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值的能力.在判斷函數(shù)單調(diào)性的過程中，可能需要對不能直接確定符號的部分構(gòu)造函數(shù).

2. 結(jié)合函數(shù)的圖象證明

例2 設(shè)函數(shù)[f（x）=aexlnx+bex-1x]，曲線[y=f（x）]在點(diǎn)（1，[f（1）]）處的切線為[y=e（x-1）+2].

（1）求[a，b]；

（2）證明：[f（x）>1].

分析 （1）對函數(shù)求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.（2）分類討論，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值問題.

解 （1）[a=1，b=2].

（2）由（1）知，[f（x）=exlnx+2ex-1x]，

從而[f（x）>1]等價(jià)于[xlnx>xe-x-2e.]

設(shè)函數(shù)[g（x）=xlnx]，則[g′（x）=x+lnx].

所以當(dāng)[x∈0，1e]時(shí)，[g′（x）<0]；當(dāng)[x∈1e，+∞]時(shí)，[g′（x）>0.]

故[g（x）]在[0，1e]上單調(diào)遞減，在[1e，+∞]上單調(diào)遞增.

從而[g（x）]在[0，+∞]上的最小值為[g（1e）=-1e].

設(shè)函數(shù)[h（x）=xe-x-2e]，則[h′（x）=e-x1-x].

所以當(dāng)[x∈0，1]時(shí)，[h′（x）>0]；當(dāng)[x∈1，+∞]時(shí)，[h′（x）<0].

故[h（x）]在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，+∞]上單調(diào)遞減，

從而[h（x）]在[0，+∞]上的最小值為[h（1）=-1e].

綜上，當(dāng)[x>0]時(shí)，[g（x）>h（x）]，即[f（x）>1].

點(diǎn)撥 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式的證明，考查分類討論思想，意在考查大家的邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力.函數(shù)導(dǎo)數(shù)解答題中貫穿始終的是數(shù)學(xué)思想方法，在含有參數(shù)的試題……