恒成立和有解問題分析

曹標平

例 設[f（x）=2x2x+1]，[g（x）=ax+5-2a（a>0）]，若對任意[x1∈[0，1]]，總存在[x0∈[0，1]]使得[g（x0）=f（x1）]成立.求[a]的范圍.

解析 [x∈[0，1]]時，[f（x）]的值域[A=[0，1]]，

[x∈[0，1]]時，[g（x）]的值域[B=[5-2a，5-a]].

[?f（x1）∈A]，[?x0]使[f（x1）=g（x0）∈B]，即集合[A]中任意一個元素都在集合[B]中，

[∴A?B].

[∴5-2a≤0，5-a≥1?a∈[52，4].]

變式1 設[f（x）=2x2x+1]，[g（x）=ax+5-2a（a>0）]，若對任意[x1∈[0，1]]，總存在[x0∈[0，1]]使得[g（x0）>f（x1）]成立.求[a]的范圍.

解析 [g（x0）]比任意的[f（x1）]大，即[g（x0）>fmax（x）].

問題等價于存在[x0∈[0，1]]使得[g（x0）>fmax（x）]，即不等式[g（x）>fmax（x）]在[[0，1]]上有解.

[∴gmax（x）>fmax（x）]，即[5-a>1]，[a<4].

又[a>0]，[∴0

變式2 設[f（x）=2x2x+1]，[g（x）=ax+5-2a（a>0）]，若對任意[x1∈[0，1]]，總存在[x0∈[0，1]]使得[g（x0）

解析 [g（x0）]比任意的[f（x1）]小，即[g（x0）

問題等價于存在[x0∈[0，1]]使得[g（x0）

[∴gmin（x）52].

點撥 以上三類問題都是從“任意”開始入手.

變式3 設[f（x）=2x2x+1]，[g（x）=ax+5-2a（a>0）]，若對任意[x1，x2∈[0，1]]，總有[g（x1）>f（x2）]恒成立.求[a]的范圍.

解析 首先將不等式[g（x1）>f（x2）]看成關于[x1]的不等式，把[x2]當作常數處理，問題等價于不等式[g（x）>f（x2）]在[[0，1]]上恒成立，即[gmin（x）>f（x2）].

問題等價于任意[x2]，使不等式[gmin（x）>f（x）]成立，即不等式[gmin（x）>f（x）]在[[0，1]]上恒成立，即[gmin（x）>fmax（x）].

[∴5-2a>1]，[a<2].

又[a>0]，[∴0

變式4 設[f（x）=2x2x+1]，[g（x）=ax+5-2a（a>0）]，若存在[x1，x2∈[0，1]]，使得[g（x1）>f（x2）]成立.求[a]的范圍.

解析 首先將不等式[g（x1）>f（x2）]看成關于[x1]的不等式，把[x2]當作常數處理，問題等價于不等式[g（x）>f（x2）]在[[0，1]]上有解，即[gmax（x）>f（x2）].

問題等價于存在[x2]，使不等式[gmax（x）>f（x）]成立，即不等式[gmax（x）>f（x）]在[[0，1]]上有解，即[gmax（x）>fmin（x）].

[∴5-a>0]，[a<5].

又[a>0]，[∴0

點撥 處理含多個參數的問題時，控制變量是一種常用的方法：將一個字母看作變量，其他字母當作常數處理.

變式5 設[f（x）=2x2x+1]，[g（x）=ax+5-2a（a>0）]，若對任意[x∈[0，1]]，總有[g（x）>f（x）]恒成立.求[a]的范圍.

解析 問題等價于[H（x）=g（x）-f（x）>0]在[[0，1]]上恒成立，常用的處理方法有兩種：方法1：分參. 方法2：[Hmin（x）>0]. （步驟略）

點撥 變式3和變式5的比較：變式3中不等式左、右兩邊變量的取值相互獨立，也就是說[x1]，[x2]取值互不影響，可以相等也可以不等；而變式5中不等式左、右兩邊的變量是同一個變量，取值是一樣的. 所以這是兩類不同的問題，因此處理方法是不一樣的.