導(dǎo)數(shù)背景下正整數(shù)不等式的證明

向清耀++陳昌

近年來“函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與正整數(shù)有關(guān)不等式的綜合問題”成為各地高三調(diào)研考試及高考中的命題熱點，且一般以壓軸題出現(xiàn)！此類問題一般設(shè)置有幾小問，最后證明不等式，一般可以用數(shù)學(xué)歸納法，或者利用不等式適當(dāng)放縮進(jìn)行證明. 命題者還有一個重要意圖是利用前幾問中已經(jīng)得出的結(jié)論，充分發(fā)揮大家的創(chuàng)造力，把函數(shù)中的變量[x]用含有[n]的式子進(jìn)行替換，再通過適當(dāng)變形、求和來證明不等式.但是如何替換及變形是難點，怎么突破？

類型一 證明含二元正整數(shù)不等式

例1 已知函數(shù)[f（x）=ax+xlnx]，且圖象在點[（1e，f（1e））]處的切線斜率為1（[e]為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求實數(shù)[a]的值；

（2）設(shè)[g（x）=f（x）-xx-1]，求[g（x）]的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)[m>n>1（m，n∈Z）]時，證明： [nmmn>nm].

解析 （1）[a=1].

（2）[g（x）]的單調(diào)增區(qū)間為[（0，1）]，[（1，+∞）].

（3）要證[nmmn>nm]，即證[lnnm-lnmn>lnn-lnm]，

即證[n-1nlnm>m-1mlnn]，即證[mlnmm-1>nlnnn-1].

即證[f（m）>g（n）.]

∵[m>n>1]，由（2）可知，[g（x）]在[（1，+∞）]上單調(diào)遞增，

∴[g（m）>g（n）]，∴[nmmn>nm].

點撥 含兩個變元的不等式，通過變形（兩邊取對數(shù)、取倒數(shù)等），將它變形為一個函數(shù)[f（x）]背景下兩個函數(shù)值的大小[f（m）≥f（n）]（或[f（m）≤f（n）]）形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論！

類型二 證明含一元正整數(shù)不等式

1. 直接替換，再求和

例2 已知函數(shù)[f（x）=lnx+ax+1（a∈R）].

（1）當(dāng)[a=2]時，試比較[f（x）]與[1]的大小；

（2）求證：[ln（n+1）>13+15+17+…+12n+1]（[n∈N*]）.

解析 （1）當(dāng)[a=2]時， ①若[x>1]時，[f（x）>1]；②若[0

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，當(dāng)[x>1]時，[lnx+2x+1>1]，即[lnx>x-1x+1].

令[x=k+1k]，則有[lnk+1k>12k+1].

∴[k=1nlnk+1k>k=1n12k+1].

[∵ln（n+1）=k=1nlnk+1k]，

∴[ln（n+1）>13+15+…+12n+1].

點撥 含有一元正整數(shù)不等式的證明，且是求和形式，聯(lián)想[k=1nlnk+1k=ln21+ln32+…+lnn+1n][=ln（21?32?43…n+1n）][=ln（n+1）]，把[lnx>x-1x+1]中間的[x]直接用[k+1k]替換，得到[lnk+1k>12k+1]，兩邊求和不等式得證！

2. 替換，放縮，再求和

例3 已知函數(shù)[f（x）]，當(dāng)[x>0]時，[f（x）=1+lnxx].

（1）如果當(dāng)[x≥1]時，不等式[f（x）≥kx+1]恒成立，求實數(shù)[k]的取值范圍；

（2）證明：[ln（n+1）>n-2（12+23+34+…+nn+1）][（n∈N*）].

解析 （1）實數(shù)[k]的取值范圍為[（-∞，2]].

（2）由（1）知，當(dāng)[x≥1]時，即[f（x）≥2x+1]，

即[1+lnxx≥2x+1].

從而[lnx≥1-2x+1>1-2x]，

令[x=k+1k（k=1，2，3，…，n）]，得[lnk+1k>1-2kk+1].

∴[ln21>1-22，][ln32>1-2?23]，…，[lnn+1n>1-2nn+1].

將以上不等式兩端分別相加得，

[ln（n+1）>n-2（12+23+34+…+nn+1）（n∈N*）].

點撥 由第二問可得[lnx≥1-2x+1]，同例2，聯(lián)想用[k+1k]替換[x]，得……