從“一題多解”談不等式證明

王凱

不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內(nèi)容結(jié)合.證明不等式時，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點.

例1 證明不等式[1+12+13+…+1n<2n]（[n∈N*]）.

命題意圖 本題是一道考查數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明的綜合性題目，考查大家的觀察能力、構(gòu)造能力以及邏輯分析能力.知識依托：本題是一個與自然數(shù)[n]有關(guān)的命題，首先想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等.

錯解分析 此題易出現(xiàn)下列放縮錯誤：

[1+12+13+…+1n<1n+1n+…n個+1n=nn=n<2n]

這種只注重形式的統(tǒng)一，而忽略大小關(guān)系的錯誤也是經(jīng)常發(fā)生的.

證法一 （1）當(dāng)[n]=1時，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立.

（2）假設(shè)[n=k（k≥1）]時，不等式成立，

即1+[12+13+…+1k]<2[k]，

[則1+12+13+…+1k+1<2k+1k+1]

[=2k（k+1）+1k+1

∴當(dāng)[n=k+1]時，不等式成立.

綜合（1）（2）得，當(dāng)[n∈N*]時，都有1+[12+][13+…+1n]<2[n].

另從k到k+1時的證明還有下列證法：

[如：∵2（k+1）-1-2k（k+1）=k-2k（k+1）+（k+1）]

[=（k-k+1）2>0，]

[∴2k（k+1）+1<2（k+1）.]

[∵k+1>0，]

[∴2k+1k+1<2k+1.]

[又如：∵2k+1-2k=2k+1+k]

[>2k+1+k+1=1k+1，]

[∴2k+1k+1<2k+1.]

證法二 對任意[k∈N*]，都有，

[1k=2k+k<2k+k-1=2（k-k-1），]

[因此1+12+13+…+1n]

[<2+2（2-1）+2（3-2）+…+2（n-n-1）]

[=2n.]

證法三 設(shè)[f（n）=2n-（1+12+13+…+1n），]

那么對任意[k∈N*]都有，

[f（k+1）-f（k）=2（k+1-k）-1k+1]

[=1k+1[2（k+1）-2k（k+1）-1]]

[=1k+1?[（k+1）-2k（k+1）+k]=（k+1-k）2k+1>0.]

∴[f（k+1）>f（k）].

因此，對任意[n∈N*]都有，

[f（n）>f（n-1）>…>f（1）]=1>0.

∴[1+12+13+…+1n<2n.]

點撥 證法一采用數(shù)學(xué)歸納法從[n=k]到[n=k+1]的過渡采用了放縮法；證法二先放縮，后裂項，有的放矢，直達目標(biāo)；而證法三運用函數(shù)思想，借助單調(diào)性，獨具匠心，發(fā)人深省.

例2 求使[x+y]≤[ax+y][（x>0，y>0）]恒成立的[a]的最小值.

命題意圖 本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及大家的邏輯分析能力.知識依托：本題實質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求[a]的最值蘊含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把[a]呈現(xiàn)出來，等價轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想……