混凝土彈塑性損傷本構模型參數及其工程應用

齊 虎，李云貴，呂西林

（1.中國建筑股份有限公司技術中心，北京101320；2.同濟大學 結構工程與防災研究所，上海200092）

彈塑性損傷本構模型能夠準確地模擬混凝土非線性本構行為［1-4］.目前，學者們提出了多個理論完備、計算準確度高的混凝土彈塑性本構模型［5-7］，但是多數模型的數值處理復雜，計算過程涉及多次迭代，計算效率較低、數值穩定性不好，且模型中涉及的參數較多，參數的標定是一項繁瑣的工作，因此這些模型較難應用于實際工程.齊虎等［8］提出了一個計算效率高、數值穩定性好的實用彈塑性損傷本構模型，但仍然存在參數較多，實際應用困難的問題.本文對彈塑性損傷本構模型［8］中各參數取值進行系統研究，并研究各個參數對模型計算本構曲線的影響.通過比較計算結果與試驗結果，給出模型參數與混凝土材料單軸抗拉強度、抗壓強度和彈性模量的函數關系.從而在使用中只須給定材料抗拉強度、抗壓強度和彈性模量就能方便地確定模型的參數取值，提高模型的實用性.

將齊虎等［8］開發的彈塑性損傷本構模型在ABAQUS中進行二次開發，并采用本文提出的方法確定模型參數取值，對上海浦東香格里拉酒店進行數值模擬.上海浦東香格里拉酒店是由一棟41層、總高度為152.8 m的塔樓和4層裙房組成的超高層框架——剪力墻結構，結構高度超限且平面布置不規則.同濟大學土木工程防災國家重點實驗室振動臺試驗室對其進行了震振動臺試驗研究，將模型分析結果與振動臺試驗結果進行了比較，以驗證本文提出的本構模型、參數確定方法及選用分析模型的有效性和合理性.由于ABAQUS建模工作較為復雜，本文首先在PKPM中建模，然后借助PKPM-ABAQUS轉化程序［9］將模型導入到ABAQUS中進行計算.

1 彈塑性損傷本構模型參數的確定

1.1 控制損傷演化參數取值的確定

由文獻［8］可知本構模型拉、壓損傷變量計算公式如下：

式中：a±和b±均為控制損傷發展參數（上標“+”表示受拉參數，“-”表示受壓參數）；Y±為損傷能量釋放率；Y±0為損傷能量釋放率閾值，可通過混凝土單軸試驗確定.

如果沒有一個實用的方法來確定上述6個參數的取值，則模型較難應用于實際工程中.

圖1 a和b對損傷的影響Fig.1 Effect of a and b

圖2給出了參數和的變化對混凝土單軸受壓應力-應變骨架曲線的影響.從圖2可以看出，參數對模型極限受壓應力影響較大，越小模型計算極限應力越?。粎抵饕绊懬€下降段的斜率，越小計算曲線下降段斜率越小.

通過計算可得：當初始彈性模量一定（=31000 MPa）時，與混凝土強度存在指數關系，如圖3和式（2）所示；當一定（fc=31.14 MPa）時，與（混凝土結構設計規范（GB50010-2010）（后文簡稱規范）表4.5.1范圍內）［10］存在線性關系如圖3和式（3）所示.

圖2 參數、對模型應力-應變曲線的影響Fig.2 Effect of a-and b-on model behavior

圖3 a-與f c、E 0 關系Fig.3 Relationship of，fc and E0

綜合式（2）、（3），得出a-與混凝土抗壓強度fc和初始彈性模量E0之間的關系如下：

通過以上研究可知，已知fc和E0就可以由式（4）確定a-值.采用式（4）確定a-值，對規范中各強度混凝土材料進行模擬，計算結果與混凝土強度設計值比較如表1.

表1 模型計算強度與規范設計值比較Tab.1 Comparison of calculation results and code___

從表1可以看出，對于規范規定各強度等級混凝土材料給定材料強度設計值和彈性模量，通過式（4）確定a-取值，則模型計算混凝土強度與混凝土規范值符合很好.

對于b-在單軸、雙軸加載下，取=0.98［1］，本文建議對于單雙軸加載取為1.對于三軸受壓加載，由于側向約束作用，主軸應力-應變曲線與單、雙軸加載情況下相比，曲線的下降段更平緩［3］，如圖4所示，由圖2可知，此時的取值應小于單、雙軸加載情況.在實際工程中，模型主要用來模擬混凝土材料的單軸、雙軸加載情況，現階段本文只給出單、雙軸加載取值.

圖4 雙軸、三軸加載主軸應力-應變曲線Fig.4 Principal stress-strain curves under 2D，3D loading

a+、b+控制受拉損傷演化，它們影響受拉加載曲線的下降段，如圖5所示，本文參照文獻［1］取a+=7 000，b+=1.1.

為初始損傷閾值，當拉、壓損傷能量釋放率小于時材料處于受拉、受壓彈性階段，當損傷能量釋放率超過后材料開始產生拉、壓損傷.

圖5 a+和b+對模型受拉曲線的影響Fig.5 Effect of a+and b+on tensile curve of model

對材料單軸受拉應力-應變曲線以及受拉損傷演化的影響如圖6（a）、（b）所示.對材料單軸受壓應力-應變曲線以及受壓損傷演化的影響如圖6（c）、（d）所示.

由圖6可知，決定混凝土材料的抗拉強度，對材料受壓加載應力-應變曲線存在一定的影響.可由單軸加載試驗確定.對于受拉，材料在加載到極限抗拉強度前為彈性，應將取為材料單軸受拉加載到抗拉強度時的損傷能量釋放率；對于受壓，材料在加載到0.25倍抗壓強度前為彈性，應將取為材料單軸受壓加載到0.25倍抗壓強度時的損傷能量釋放率.和的計算公式如下：

圖6 和對模型的影響Fig.6 Effect of and on model

式中：dε表示對ε取微分；E表示材料彈性模量；為單位有效應力張量；參數βp為控制塑性應變大小的參數，如圖7所示，對于βp各學者給出了不同的取值［3，11］，本文通過研究發現βp與加載狀態有關：雙軸、三軸受壓加載材料塑性變形比單軸受壓加載大.本文建議對于單軸受壓加載本文建議取βp=0.1，對于雙軸受壓加載βp計算如下：

1.2 控制塑性應變參數βp取值確定

文獻［8］給出的塑性應變計算公式為

式中：分別表示應力的第2、第3主應力（在雙軸受壓加載時第一主應力=0）.當＞0時，βp與之間的關系如圖8所示.

圖7 βp對塑性應變的影響Fig.7 Relationship ofβp on plastic strain

圖8 βp 與?σ2/?σ3之間的關系Fig.8 Relationship betweenβp and?σ2／?σ3

2 試驗數值分析

2.1 單、雙軸加載試驗數值模擬

分別采用本文提出的模型對Kupfer等［12-13］所做的試驗進行模擬，并將計算結果與文獻中的試驗結果進行比較（如圖9～11所示，其中圖10表示在雙軸加載的情況下主次方向不同比例加載時，主加載方向的應力／應變曲線）.文獻［12-13］中的試驗模擬參數取值：E=31 000 MPa；v=0.2，fc=27.6 MPa；ft=3.5 MPa、a±、b±及的取值按照本文提出的方法確定，分別為a-=28，a+=7 000 MPa-1，b-=1，b+=1.1，βp=0.1+0.45=2.0×10-4，=7.7×10-4.Gopalaratnam試驗參數取值：E=31 800 MPa，v=0.2.ft=3.4 MPa，a+=7 000 MPa-1，b+=1.1=1.8×10-4.

從圖9～11可以看出，本文提出的本構模型及參數取值方法能較好地描述混凝土材料的各種非線性本構行為.

圖9 雙軸應力作用下的強度包絡Fig.9 Biaxial strength envelope under action of biaxial stress

圖10 雙軸受壓加載Fig.10 2D compressive test

圖11 單軸受拉反復加載Fig.11 1D cyclic tensile test

2.2 香格里拉酒店數值模擬

上海浦東香格里拉酒店擴建工程位于上海市浦東陸家嘴經濟開發區，是由一棟總高度為152.8 m的41層塔樓和一幢4層裙房組成的超高層框架——剪力墻結構.本工程設有地下室2層，地面以上37層，另加避難樓層2層（分別位于10～11層和24～25層）.其中，地下一層、二層的層高分別為3.00和4.55 m；地面以上第1～6層的層高分別為6.05、5.00、5.00、6.00、5.00、5.00 m；第7～35層的層高為3.40 m；第36層的層高為5.40 m，第37層的層高為5.00 m；上下避難樓層的層高為4.50 m，工程總建筑面積為36 200 m2，結構高寬比為4.52.該工程結構的1～4層結構平面如圖12（a）所示，塔樓第5層（轉換層）結構平面如圖12（b）所示，塔樓5層以上的樓層結構平面如圖12（c）所示.

本工程塔樓部分總高度為152.8 m，頂部鋼桁架局部高度為180 m，結構高度超過了上海市框架——剪力墻結構體系的上限值（140 m）.另外，塔樓結構下部開有寬25.6 m、高23 m的孔洞，結構平面布置不規則.

圖12 香格里拉酒店典型樓層平面圖Fig.12 Typical floor of Shangri-La Hotel

圖13 單軸本構模型滯回加載曲線Fig.13 Uniaxial concrete model proposed by authors

香格里拉酒店在PKPM中所建模型如圖14（a）所示，然后用PKPM-ABAQUS轉換程序［9］將PKPM中模型轉換生成ABAQUS模型，如圖14（b）所示，在ABAQUS中梁柱構件采用纖維模梁單元模擬，剪力墻構件采用4節點減縮積分殼元模擬，一維本構模型采用筆者提出的非線性彈性本構模型［14］，如圖13所示；二維本構模型采用作者建議的彈塑性損傷本構模型［8］，參數取值按本文提出的方法確定.采用顯式積分算法求解，在本構材料中考慮了剛度阻尼力，材料阻尼取其第一振型臨界阻尼的3%［15］，在材料中加入阻尼力的算法如下［15］：

只考慮剛度阻尼，無損材料阻尼力表達式為ˉσvis=βk E0∶˙ε，其中βk為剛度組合系數，˙ε為ε隨時間的變化率.

Cauchy黏滯阻尼應力σvis可表示為

彈塑性損傷本構關系為

則總應力可表示為

圖15給出了ABAQUS計算模型振型，表2給出了PKPM和ABAQUS的計算模型振動周期T與振動臺試驗結果的比較.

圖14 結構數值模型Fig.14 Numerical model of structure

圖15 香格里拉酒店振型圖Fig.15 Vibration model of Shangri-La Hotel

表2 結構振動周期比較Tab.2 Comparison of vibration period of structure s

從表2可以看出，PKPM計算模型前4個振型周期與試驗結果符合較好，說明PKPM數值模型的準確性較好；ABAQUS計算模型前4個振型周期與PKPM計算結果符合較好，證明轉換程序能準確有效地將PKPM模型轉換為ABAQUS模型.

為了驗證本構模型在分析實際復雜工程結構時的有效性，本文對上述工程進行非線性時程反應分析.輸入地震波為上海人工波SHW2，如圖16所示.地震波從χ方向（見圖14）輸入，結構頂層位移時程計算結果與振動臺試驗結果比較如圖17所示.

圖16 上海人工波SHW2時程Fig.16 Shanghai artificial wave SHW2

圖17 頂層x方向位移時程比較Fig.17 Comparison of roof displacement time history inχdirection

從圖17可以看出頂層位移時程計算結果與試驗結果總體符合較好，位移峰值出現在14 s左右，且試驗峰值與計算峰值十分接近，最大峰值過后試驗位移迅速衰減，此后2個位移時程峰值試驗結果均小于數值分析結果.圖18為典型樓層位移時程曲線.圖19為樓層位移包絡圖計算結果與試驗結果的比較.

從圖19中可以看出，樓層最大位移包絡圖計算結果與試驗結果符合較好，計算結果比試驗值略大，結構樓層位移在第3層出現明顯拐點表明結構在第3層較為薄弱.圖20為最大層間位移計算結果與試驗結果的比較.

圖18 主要樓層計算位移時程Fig.18 Displacement-time history of main floors

圖19 樓層位移包絡圖Fig.19 Displacement envelope of floors

為了研究結構的破壞形態，下面分別給出罕遇地震作用下，結構剪力墻構件在不同時刻的應力云圖、受拉損傷云圖及受壓損傷云圖.結構剪力墻構件關鍵時刻應力變化云圖如圖21所示.從圖21可以看出，結構在地震波加載到12.4 s、16.0 s時頂層位移為正，結構向右偏移，結構右側應力大于左側應力；結構在14.0 s和35.6 s的頂層位移為負，結構向左偏移，結構左側應力大于右側應力.以上分析結果與結構實際受力情況一致.

圖20 層間位移Fig.20 Story drift

圖21 剪力墻結構應力分布圖Fig.21 Stress distributions of shear wall

圖22 某剪力墻結構受拉損傷分布圖Fig.22 Tnsile damage distributions of shear wall

結構剪力墻構件受拉損傷云圖如圖22所示.從圖22中可以看出，結構受拉損傷發展很快，結構在0.4 s產生明顯受拉損傷，此后損傷迅速發展.受拉損傷最初集中在裙房、裙房與塔樓結合樓層以及結構右側剪力墻構件，之后逐步蔓延至整個結構.同時受拉損傷在地震波加載前期主要在左右兩側剪力墻結構上發展，之后逐步蔓延至中間部位，在地震波作用后期，除上部少數樓層，其他部分均存在較大的受拉損傷.

結構剪力墻構件受壓損傷云圖如圖23所示.從圖23可以看出，結構剪力墻構件在5.2 s時裙房和塔樓結合產生明顯受壓損傷，此后受壓損傷迅速發展，到34.8 s結構產生較大受壓損傷.同時結構在下部裙房以及裙房和塔樓結合處受壓損傷較大.結構在34.8 s和44.4 s受壓損傷云圖比較接近，可見到34.8 s結構大部分受壓損傷發展完成，此后受壓損傷發展緩慢.

圖23 剪力墻結構受壓損傷分布圖Fig.23 Compressive damage distribu t ion of shear wall

3 結 論

（1）使用本文提出的參數確定方法，實際使用中只須給定材料抗拉、抗壓強度和彈性模量就能方便地確定全部參數的取值，便于在實際建筑結構的分析中使用.

（2）分析結果與振動臺試驗結果在結構自振頻率、振型形態、最大樓層位移及頂層位移時程等匹配較好，說明本文提出的本構模型及選用的構件分析模型和分析方法是有效的，適合實際復雜高層建筑結構的非線性分析.

（3）在實際建筑結構的分析中，彈塑性損傷本構模型不但可以得到結構在外力作用下的應力和位移響應，而且可以同時得到不同狀態下結構的損傷分布.這種損傷過程被實時地反映在結構的非線性分析過程中，便于分析者直觀地把握結構的破壞形態.

（

）:

［1］VOYIADJIS G Z，TAQIEDDIN Z N.Elastic plastic and damage model for concrete materials：Part I-theoretical formulation［J］.International Journal of Structural Changes in Solids-Mechanics and Applications，2009，1（1）：31- 59.

［2］WU J Y，LIJ，FARIA R.An energy release rate-based plastic damage model for concrete［J］.International Journal of Solids and Structures，2006，43（3／4）：583- 612.

［3］FARIA R，OLIVER J，CERVERA M.A strain-based plastic viscous-damage model for massive concrete structures［J］.International Journal of Solids and Structures，1998，35（14）：1533- 1558.

［4］LEE，Jand FENVES，G L.A plastic-damage model for cyclic loading of concrete structures［J］.Journal of Engineering Mechanics，1998，124：892- 900.

［5］JU，J W.On energy-based coupled elasto-plastic damage theories：constitutive modeling and computational aspects［J］.International Journal of Solids and Structures，1989，25（7）：803- 833.

［6］OLLER S，ONATE E，OLIVER J，et al.Finite element nonlinear analysis of concrete structures using a plastic damage model［J］.Engineering Fracture Mechanics，1990，35：219- 231.

［7］SHEN X，YANG L，ZHU F.A plasticity-based damage model for concrete［J］，Advances in Structural Engineering，2004，7（5）：461- 467.

［8］齊虎，李云貴，呂西林.基于能量的彈塑性損傷實用本構模型［J］.工程力學，2013，30（5）：172- 180.QI Hu，LI Yun-gui，LV Xi-lin.A practical elastic plastic damage constitutive model based on energy ［J］.Engineering Mechanics，2013，30（5）：172- 180.

［9］劉慧鵬，李云貴，周新煒.PKPM與ABAQUS結構模型數據接口開發研究及應用［C］∥第二屆工程建設計算機應用創新論壇論文集.上海：［s.n.］，2009：487- 494.LIU Hui-peng，LI Yun-gui，ZHOU Xin-wei.The development and application of PKPM and ABAQUS structure model data interface［C］∥The Second Sonstruction Engineering Computer Application Innovation Forum Proceedings.Shanghai：［s.n.］，2009：487- 494.

［10］GB 50010-2010混凝土結構設計規范［M］.北京：中國建筑工業出版社，2010：19- 20.

［11］吳建營，李杰.考慮應變率效應的混凝土動力彈塑性損傷本構模型［J］.同濟大學學報，2006，34（11）：1427- 1430.WU Jian-ying，LI Jie.Elastoplastic damage constitutive model for concrete considering strain rate effect under dynamic loading［J］.Journal of Tongji University：Natural Science Edition，2006，34（11）：1427- 1430.

［12］KUPFER H B，HILDORF H K，RUSCH H.Behavior of concrete under biaxial stresses［J］.Journal of the Engineering Mechanics Division，1969，6（8）：656- 666.

［13］GOPALARATNAM V S，SHAH S P.Softening response of plain concretein direct tension［J］.Journal of the American Concrete Institute，1985，82（3）：310- 323.

［14］齊虎，李云貴，呂西林.箍筋約束混凝土單軸滯回本構實用模型［J］.工程力學，2009，28（9）：95- 102.QI Hu，LI Yun-gui，LV Xi-lin.A practical confined concrete constitutive model under uniaxial hysteresis load［J］.Engineering Mechanics，2011，28（9）：95- 102.

［15］LEE J，FANVES G L.A plastic-damage concrete model for earthquake analysis of dams［J］.Earthquake Engineenng and Structural Dynamics，1998，27（9）：937- 956.