格蘭-付科棱鏡光強透射比曲線波動成因的研究

徐兆鵬，朱化鳳，劉 鑫，王天陽，劉 佩，李 超

(中國石油大學(華東)理學院，青島266580)

引 言

隨著光學技術的發展，偏振器件在科學研究和實際應用中起著越來越重要的作用。由于冰洲石具有光學性能穩定、透射光譜范圍寬(240nm～2800nm)、雙折射率大、具有極好的抗光損傷能力等優點［1-3］，因此，當前所用的偏光器件有相當一部分是利用天然冰洲石晶體制作而成。在許多情況下偏振器都是成對使用，一個充當起偏器，一個充當檢偏器。理論上，一束線偏振光在通過起偏器后，其光強透射比會隨著檢偏器(格蘭-付科棱鏡)的旋轉滿足馬呂斯定律曲線。然而實際研究表明，隨著檢偏器的旋轉，曲線不會完全服從馬呂斯定律曲線，而是光強透射比隨著入射角、入射波長等的變化，在馬呂斯定律曲線的基礎上，產生一些上下的周期性波動［4］。這種波動對格蘭-付科棱鏡表現得尤為明顯。這一現象會給實際應用，特別是在一些檢偏器需要調整的環境下帶來不利影響［5-6］。格蘭-付科棱鏡是偏振器件的一種，是由兩塊光軸平行于入射面而垂直于三角平面的兩塊三角形的冰洲石晶體膠合在一起構成的［7-9］，它在激光技術中被廣泛應用［10-12］。

目前來看，偏光棱鏡光強透射比波動產生的原因相關方面的研究只有定性的結果和解釋［6，9］，提出光強透射比波動與空氣隙間光的干涉有關，但理論與實驗結果還相差較大。有學者進行了格蘭-付科棱鏡空氣隙厚度的測量，考慮了光在空氣隙間的干涉，分析了棱鏡對單模高斯光束的影響，認為透射光束隨光束在棱鏡端面上的入射角變化呈現周期性震蕩，且震蕩特性與入射光的波長、光強分布特性、棱鏡結構角及空氣隙的厚度有關［5，13］。

作者利用偏振光實驗系統對格蘭-付科棱鏡的光強透射比進行了實驗，并且通過設定棱鏡參量利用光的干涉原理對實驗過程進行數值模擬，把得到的數值模擬結果和實驗結果比較分析，結果二者符合得非常好。

1 格蘭-付科棱鏡的光學透射特性實驗

1．1 實驗裝置圖

如圖1所示，一束激光出射后穿過起偏器后變成線偏振光，然后通過固定在高精度步進電機上的檢偏器(由格蘭-付科棱鏡充當)，再用光電探測器收光強信息，用信息控制與處理系統對光強進行處理。為了便于比較，調整初始狀態為起偏器與檢偏器的偏振方向垂直。這樣便可方便地比較透射光強隨旋轉角的變化關系曲線。

Fig.1 Schematic of optical path

1．2 實驗結果

實驗表明，對同一格蘭-付科棱鏡進行多次實驗，其光強透射比曲線的形狀有多種形式。當所用格蘭-付科棱鏡的空氣隙的厚度約為20μm、入射波長為632.8nm時，圖2中給出了一些實驗中所得的棱鏡在一個旋轉周期內的幾條典型光強透射比曲線。從這些曲線可以看出，格蘭-付科棱鏡的光強透射比曲線在馬呂斯定律所給出的曲線的基礎上出現了一些明顯的波動。

Fig.2 Typical transmittance curve with the rotation of prism

2 光強透射比公式

當一束光入射到格蘭-付科棱鏡的時候，大部分光直接透射，由于棱鏡的膠合面光潔度非常高，部分光在空氣隙間要發生多光束干涉。

格蘭-付科棱鏡的結構如圖3所示。n2和n′的反方向代表入射光和折射光的波矢方向，n1是入射端面的法線方向，n2是剖面的法線方向。由n1和n2確定的平面為棱鏡主截面。n1和n2之間的夾角等于結構角S。中間帶點的圓圈代表晶體的光軸。下面提到的軸線指的是從交點O開始、方向向上的射線。

Fig.3 Illustration model for Glan-Foucault prism experiments

為表示檢偏器在圖1中所示的實驗裝置中的空間位置，假設檢偏器的在步進電機上的旋轉軸為n0′，以n1為軸線，俯視逆時針方向從主截面到入射面之間轉過的角度為Ψ，為入射光的方位角。入射角j和方位角Ψ的組合被稱為空間入射角。旋轉軸n0′和出射面的法線n1間的夾角為α;入射光的法線n′和旋轉軸n0′間的夾角為 β;平面 n0′-n2繞 n0′逆時針旋轉到面n0′-n′所轉過的角度為 Φ′，檢偏器的旋轉角 Φ =Φ′-Φ0，其中Φ0是Φ′的初始值。角度Ψ，α，β，Φ 和Φ0共同決定了隨著檢偏器轉動時的空間入射角。

根據幾何關系，隨著空間入射角以及轉軸方位的不同，光束在空氣隙上的入射角就不同。設光束在空氣隙上的折射角和入射角分別為i和j，如圖4所示。光束在空氣隙表面的光強反射比R符合菲涅耳公式s分量的表達式，可表示為:

式中，n為空氣折射率，ne為晶體中e光的折射率。

考慮到多光束干涉的影響，當從起偏器出射的線偏振光入射到格蘭-付科棱鏡，隨著檢偏器的轉動光強透射比可表示為［13］:

Fig.4 Structure of air gap

式中，h為空氣隙厚度，λ為入射光波長，I為透射光強，I0為入射光強。

3 數值模擬實驗

結合上面的實驗參量，格蘭-付科棱鏡空氣隙厚度h=20μm，He-Ne激光器的出射波長為632.8nm，棱鏡結構角取S=38.8528°，晶體中 e光主折射率 ne=1.48515。一個棱鏡的空氣隙、結構角等量是固定不變的，因此通過改變Ψ，α，β，Φ0的值可以得到不同數值模擬曲線。利用MATLAB可以模擬出這些角度取不同值條件下的光強透射比曲線(如圖5所示)。

Fig.5 Simulated graph in different initial conditions

圖5 中曲線 a、曲線 b、曲線 c分別為當 Ψ =0°，α =0．06°，β =0．76°，Φ0=10°;Ψ =0．5°，α =0．3°，β =1．6°，Φ0=8°;Ψ =0．4°，α =0．4°，β =1°，Φ0=15°時所對應的曲線，它們分別可與圖2中的曲線a、曲線b、曲線c 3條線對應。

比較圖5和圖2可知，數值模擬的結果與實驗結果相一致，有所差別的地方主要來源于棱鏡經過膠合之后，空氣隙的厚度很難與理論設計相一致，會在一定程度上影響干涉的強弱，致使模擬曲線和實驗曲線略有差別。圖中只是給出了部分理論模擬和實驗結果，其它大量的實驗曲線都可以找到其對應的理論模擬結果，只是對應的初始角度有所不同。實驗中所得曲線的光強透射比值整體上較數值模擬所得值偏小，這是由于實際的實驗中除了存在反射損失外，還存在其它形式的光能損失，如散射存在光能量損失等。

4 討論

從圖5與圖2的比較結果也可以看出，數值模擬圖和實驗圖在透射比峰值對應轉角以及曲線形狀等方面還存在一定差異。針對此差異，分析其主要來源是在對實驗進行模擬的過程中所取的各個參量不一定跟實驗過程中的實際參量完全一致，而且有些參量取值的微小變化都會對曲線有一定的影響。舉例說明如下。首先討論在Ψ，α，β，Φ0的值相同的條件下，改變空氣隙厚度h、棱鏡結構角S以及入射光波長λ時所得到的圖像的形狀。為了使模擬結果便于分析，采用控制變量法進行數值模擬，取 Ψ =0°，α=0．06°，β =0．76°，Φ0=10°保持不變，依次改變空氣隙厚度 h、棱鏡結構角S以及入射光波長λ得到數值模擬圖。圖5中曲線a為對照組模擬圖線，參量為h=20μm，S=38.8528°，λ =632.8nm。曲線 b、曲線 c、曲線 d 為實驗組模擬圖線，參量分別為h=21μm，S=38.8528°，λ =632.8nm;h=20μm，S=38.8°，λ =632.8nm;h=20μm，S=38.8528°，λ =631nm。

從圖6中的曲線a、曲線b、曲線c和曲線d可以看出，在Ψ，α，β，Φ0保持不變的條件下，通過微小改變棱鏡空氣隙厚度h、棱鏡結構角S以及晶體入射光波長λ中的任何一個值都會使曲線的峰值與形狀發生一定的變化，這說明微小的角度、厚度、入射波長等的變化都會使實驗模擬圖像與對照模擬圖像有角度上和形狀上的不對應。而在實驗中，想要得到準確的棱鏡空氣隙厚度h、棱鏡結構角S的值以及單一波長的入射光是不容易的，總會存在一定誤差，要模擬出完全相同的曲線非常困難。除此之外，任何其它的角度參量Ψ，α，β，Φ0的微小變化也都會產生曲線的微小平移或形變。因此，在本文中的數值模擬與實驗結果的對比中，只考慮曲線的大體形狀與峰值個數等主要特征而忽略其諸如峰值對應轉角的細節。

Fig.6 Simulated graph of controlled experiment with slight varing of h，S，λ

模擬實驗中，同一參量比較大的變化會使曲線產生比較大的形變。例如格蘭-付科棱鏡空氣隙厚度在膠合過程中會與預設的值有差別。根據(1)式和(2)式，h的變化會影響干涉條件，從而影響光強透射比曲線的波動。在實際研究與應用中，一般在膠合過程中，(1)式和(2)式中的空氣隙厚度h不能取為0(甚至接近于0)，否則就將產生倏逝波;h也不能太大，否則空氣隙的直接透射光束和反射之后透射的光束之間的光程差超出了相干長度，將無法發生干涉，要討論厚度的影響，可以在15μm～35μm范圍內討論。圖7中曲線a、曲線 b、曲線 c為當參量 Ψ =0°，β =0．1°，α =0．4°，Φ0=15°，h 分別為 15μm，25μm，30μm 時根據(2)式所得的數值模擬曲線。

Fig.7 Simulated intensity transmittance curve of the prism with the same initial angle for different thickness of air gap

從圖7中可以看出，格蘭-付科棱鏡在一個旋轉周期內，隨著空氣隙厚度h的增大，光通過棱鏡后的光強透射比曲線上會出現數量越來越多的波動。從這個角度出發，可以考慮通過控制格蘭-付科棱鏡空氣隙的厚度的方法來適當減少格蘭-付科棱鏡光強透射比曲線的波動。

5 曲線上波動的抑制

根據以上棱鏡的透射比曲線上的波動的成因，有兩種方法可抑制曲線上的波動。

方法一:根據馬呂斯定律的修正公式［14］:

式中，ξ為空氣隙的膠合誤差，x為光斑的某部分在空氣隙上相對于中心的坐標位置，d為入射光束的光斑直徑，h0為棱鏡空氣隙厚度。取不同的空氣隙的膠合誤差進行數值模擬。圖8中a，b，c 3條曲線所示分別對應的參量分別為 α =0．06°，β =0．76°，Φ0=10°，ξ=0．1°;α =0．06°，β =0．76°，Φ0=10°，ξ=0．2°，Ψ =0°，α =0．06°，β =0．76，Φ0=10°，ξ=0．3°。圖8 中3 條曲線參量與圖5中曲線a參量相比，不同之處只有圖5中曲線a的空氣隙的膠合誤差 ξ=0°。

Fig.8 Simulated graph of modified formulas of the Malus law

由圖8可見，格蘭-付科棱鏡的光強透射比曲線波動曲線的波動可以通過在棱鏡膠合的過程中給定一個合適的誤差得以抑制。

方法二:令圖3中入射光的法線n′和旋轉軸n0′間的夾角β=0°，可以實現光強透射比曲線上波動的完全抑制。圖9中3條曲線為圖5中3條曲線在β=0°且其余參量均相同的情況下的數值模擬圖，兩圖中a，b，c 3條曲線依次對應。從圖9和圖5的比較結果可以看出，令β=0°可以有效抑制格蘭-付科棱鏡光強透射比曲線上的波動。

Fig.9 Simulated graph when β =0°

6 結論

通過實驗測量了格蘭-付科棱鏡的光強透射比，對可能出現的情況進行了數值模擬，模擬結果與實驗結果相一致，證實了格蘭-付科棱鏡光強透射比曲線上的波動產生的具體原因，即是由于光束的空間入射角的不同致使其在膠合面上的入射角變化，進而引起光束在空氣隙間多光束干涉條件的變化所產生的，這為設計出能抑制光強透射比曲線波動的格蘭-付科棱鏡提供了一種思路。根據透射比曲線上波動的成因，提出了抑制光強透射比波動的方法兩種方法，令棱鏡的轉軸和系統的光軸重合或給棱鏡設定一個合適的膠合誤差，兩種方法均可有效地抑制光強透射比曲線的波動。

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