大型復雜回轉機械裝置齒輪嚙合的精確建模及仿真

大型復雜回轉機械裝置齒輪嚙合的精確建模及仿真

杜躍斐，龍亞文

上海電氣集團股份有限公司 中央研究院，上海 200070

摘要：采用SolidWorks三維建模軟件，根據齒輪漸開線方程，建立了齒輪精確三維幾何模型。使用Hypermesh專業網格劃分工具，對齒輪幾何模型進行有限元網格劃分，為獲得精確的計算結果，在嚙合區域進行了網格加密處理。最后采用ANSYS分析軟件建立了齒輪嚙合模型，計算了齒輪嚙合時的變形和接觸應力，對于齒輪接觸強度的設計具有重要參考價值。

關鍵詞：齒輪建模； 網格加密； 接觸應力； 齒輪間隙

齒輪傳動因其具有恒功率傳動特性，與其他傳動相比，有著不可替代的優勢，其高質量高性能研究已經成為我國能源、交通、化工、冶金領域重大的共性關鍵技術。目前國內汽車工業、機械裝備、火車機車、電子、航空、航天、船舶及風力發電等傳動系統均已廣泛采用齒輪傳動1]，齒輪設計與傳動分析在機械領域中占據著越來越重要的地位。近年來，隨著CAD/CAE技術不斷應用到齒輪設計與分析領域，很多學者對此開展了大量的工作，并取得了許多成果2,3]。隨著時代的進步，設計者對齒輪的靜態、動態性能的要求也隨之提高，齒輪傳動正朝著較高的齒輪轉速、較大的齒輪承載能力、較輕的整機質量及更精密的傳動精度方向發展。

1目前存在的問題

在齒輪嚙合過程中，齒輪間接觸強度影響齒輪承載能力，進而會影響到齒輪的壽命。很多齒輪失效如齒輪點蝕等，均是由于齒輪接觸強度不足引起的。齒輪齒面接觸強度是齒輪設計準則之一，齒輪設計的另一個問題是齒輪齒形誤差，即齒輪齒廓形狀偏離理想齒廓。齒形誤差會改變原有的齒輪齒面接觸面積和齒輪嚙合狀態，進而影響到齒輪嚙合過程中的應力和變形，而且它的隨機性給齒輪強度設計和齒輪嚙合剛度計算帶來了較大的困難。

本文基于有限元法，精確建立理想齒廓齒輪有限元模型，用于計算齒輪的接觸應力和嚙合剛度。同時考慮了由于裝配引起的齒輪嚙合誤差對計算結果的影響。

2幾何建模

若齒輪齒廓為漸開線，在SolidWorks中精確建立幾何模型時，需要首先將漸開線以數學形式描述出來，其方程為：

(1)

式中：a為基圓半徑；θ為極軸角度。

由漸開線的直角坐標方程得到的參數方程對漸開線建模有兩種途徑4]： ① 描點法，取不同參數得到有限個漸開線上的離散點，之后將這些點利用樣條曲線等工具進行擬合得到相應齒廓；② 法則曲線法，使用法則曲線工具分別繪制x、y關于自變量的空間曲線，之后將兩條曲線利用混合、投影等工具得到y關于x的曲線即漸開線，最終得到相應齒廓。

Gear Trax是目前最流行的齒輪建模插件之一，主要用于精確齒輪的自動設計和齒輪副的設計，通過指定齒輪類型、模數、齒數、壓力角以及其他相關參數，可以自動生成具有精確齒形的齒輪，如圖1所示。

圖1　Gear Trax2013設置界面

啟動Gear Trax2013，輸入相應的模數和齒數，點擊生成按鈕，即可在SolidWorks中生成圖2(a)所示的齒廓，然后可在SolidWorks中進行特征陣列和拉伸命令，即可生成完整的齒輪精確模型，如圖2(b)、(c)、(d)所示。

圖2　齒輪建模步驟

3齒輪嚙合靜力學分析

因齒輪嚙合過程而產生的周期性的變形是引起齒輪剛度激勵的原因，輪齒變形的大小直接影響齒輪的嚙合剛度。齒輪嚙合剛度是齒輪動力學研究的基礎，同時，研究齒輪輪齒變形和嚙合剛度對齒輪傳動精度研究和齒輪動力學性能研究很有意義。

有限元方法計算齒輪嚙合剛度時，首先要建立齒輪三維實體模型，然后將齒輪實體模型劃分有限元網格，得到齒輪有限元模型，最后根據實際工況加載，計算齒輪變形量。20世紀70年代以來，隨著計算機技術和有限元方法在各領域中的廣泛應用，專家和學者們開始利用有限元接觸算法來求解齒輪變形及齒輪嚙合剛度問題。

3.1　標準接觸算法

有限元接觸算法以彈性理論為基礎，適用于求解一對或多對輪齒嚙合時的齒輪變形問題，這種變形包括齒輪輪齒的彎曲變形、剪切變形及齒輪接觸變形等。

在齒輪嚙合過程中，齒輪內部滿足彈性力學的平衡方程、幾何方程和本構方程，在齒輪嚙合面之間需滿足接觸邊界條件。

(1) 平衡方程：

(2)

(3)

(4)

式中：σx、σy、σz為正應力；τxy、τxz、τzx為剪應力；x、y、z為三個方向坐標。

(2) 幾何方程：

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：εx、εy、εz為正應變；γxy、γyz、γxz為剪應變；ux、uy、uz為位移。

(3) 本構方程：

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：E為彈性模量；v為泊松比；G為剪切模量。

(4) 接觸邊界條件：

不可貫入條件：

(13)

法向接觸力為壓力：

(14)

切向接觸力為0：

(15)

3.2　網格劃分方案

齒輪實體模型網格劃分的單元數量規模關系到齒輪有限元模型計算時間的長短，網格質量及接觸區網格細密程度關系到有限元接觸分析計算的準確性。齒輪模型的接觸區為高副接觸，這對齒輪有限元模型接觸部分網格密度提出了更高的要求，需要細密網格以得到滿意的計算結果，其他區域網格用于傳遞載荷和約束，不需要細密網格。

本文將齒輪接觸部分和其余部分分別應用不同的方式劃分網格，其余部分應用自適應網格和映射網格兩種劃分方式，可得到數量較少且質量較好網格，如圖3所示。

圖3　齒輪網格

3.3　計算相關設置

本文采用兩齒輪接觸齒面間建立接觸對的方式建立齒輪接觸關系，齒輪嚙合的具體位置根據變形情況自動搜索確定，從而可以精確得到齒輪嚙合時的變形，保證了齒輪變形計算的準確性。對于接觸對，ANSYS內部定義了接觸單元Conta 173和目標單元Targe170兩種接觸單元。分別選定主、從動輪接觸部分齒面節點為接觸單元組集和目標單元組集，并在相互嚙合的兩輪齒模型節點組建立接觸關系。

加載過程分為主、從動輪約束和載荷的施加以及接觸對的建立。對于主動輪，在主動輪中心建立節點，以中心點為主節點將內孔節點耦合至中心節點，在中心節點施加軸向和徑向約束，保留軸向旋轉自由度并施加大小為1.0×105N·m的扭矩。對于從動輪，將內孔節點三個方向自由度全部約束。

3.4　計算結果分析

從表1和圖4可得主動輪的最大位移為56.7μm，大于從動輪的最大位移32.4μm。主動輪最大位移出現在非接觸區域的齒根上，而從動輪的最大位移出現在接觸區域的齒根上，這與外載荷的施加和位移約束有關。

表1　靜力學計算結果

主動輪計算所得最大等效應力為367MPa，從動輪最大等效應力為453MPa，其應力分布如圖4(b)、(d)所示，為沿齒根厚度方向狹窄的長方形區域。

齒輪的剛度采用日本機械學會的定義，即把每單位齒寬的載荷和每個齒輪輪齒面法向變形量的和的比值定義為一對輪齒的剛度。若以Fn表示輪齒所受的法向力，以B表示齒輪齒寬，以δ表示齒輪所有輪齒齒面法向變形的和，則嚙合剛度kn有如下表達式：

(16)

式中： 輪齒總變形δ是包括齒輪的彎曲變形、剪切變形和接觸變形等所有變形的總和。

4裝配誤差對齒輪計算結果的影響

在齒輪安裝或者裝配過程中，齒輪相互較難保證理想的嚙合狀態，可能會存在一些偏差，會對齒輪嚙合時接觸應力和嚙合剛度造成一定的影響，影響到齒輪的接觸強度及齒輪傳動的平穩性。若誤差較大，則齒輪更容易引起破壞，齒輪傳動系統也更容易產生振動、噪聲，嚴重時還可引起齒輪箱體共振，從而破壞齒輪原有的傳動性能。

本文以完全嚙合為基準(即兩個齒輪分度圓半徑相切時為理想嚙合狀態)，計算了在兩個齒輪圓心相互遠離(嚙合間隙)到2mm距離過程中，齒輪的位移和應力的變化趨勢。

圖4　齒輪計算結果

從圖5(a)可知，隨著嚙合間隙的增大，主動輪最大位移大致為減小的趨勢，其變化量約為10%。圖5(b)所示最大等效應力先增大后減小，隨后再增大，最大應力點與接觸位置的變化有關，變化幅度大約為50%。

從圖5(c)可知，隨著嚙合間隙的增大，從動輪最大位移大致為增加的趨勢，其變化量約為7%，變化趨勢與主動輪相反。圖5(d)所示為從動輪最大等效應力的變化，最大應力點與接觸位置的變化有關，變化幅度大約為60%。

圖5　嚙合間隙大小對計算結果的影響

由以上分析可知，為保證精確計算齒輪的接觸應力與接觸剛度，必須將齒輪有限元接觸模型在幾何上的誤差控制在較小的范圍內。

5結論

(1) 本文根據齒廓漸開線方程和三維建模軟件SolidWorks建立了精確的三維齒輪幾何模型。

(2) 采用有限元接觸算法計算了一對齒輪嚙合過程中嚙合面上的接觸應力和變形量，為齒輪設計提供了數據支撐。這種計算方法還可推廣到多對齒輪嚙合的工況，具有較強的通用性。

(3) 計算了由裝配誤差造成嚙合存在間隙時，接觸應力和變形隨嚙合間隙的影響規律和變化幅度。若采用有限元方法進行齒輪嚙合計算時，需要保證齒輪嚙合幾何誤差控制在較小的范圍內才能獲得較精確的解。

參考文獻

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2] 孫建國.漸開線圓柱齒輪修形及動力接觸特性研究D].重慶： 重慶大學，2008.

3] 王欽.基于接觸分析的齒輪建模和齒輪修形研究D].大連： 大連理工大學，2008.

4] 范小鋼，徐輔仁，隋鵬，等.基于齒數的漸開線直齒輪參數化建模J].航空精密制造技術，2005,41(1)： 60-62.

Accurate Modeling and Simulation of Gear Meshing in

Large & Complex Rotary Machine Unit

DuYuefei,LongYawen

Shanghai Electric Group Co., Ltd. Central Academe, Shanghai 200070, China

Abstract:SolidWorks 3-D modeling software was used to establish 3-D geometrical model precisely in accordance with the gear involute equation. Hypermesh professional meshing tool was used to achieve finite element meshing for the gear geometrical model. In order to obtain accurate results, the meshing area had been processed through grid refinement. ANSYS software was adopted to establish a gear meshing model and calculate the deformation and contact stress during gear meshing that will present an important reference when designing the contact strength of the gears.

Key Words:Gear Modeling; Mesh Refinement; Contact Stress; Gear Gap

中圖分類號:TH 132.4

文獻標識碼:A

文章編號：1674-540X(2015)01-009-05

作者簡介：杜躍斐(1988-)，男，助理工程師，主要從事CAE仿真分析工作，
E-mail： duyuefeilo@126.com

收稿日期：2014-10-23