面向可靠性的可修和不可修系統(tǒng)的建模及其可靠性指標(biāo)分析

陳楠楠 馬瑞宏 阿榮

摘 要：針對(duì)可修和不可修系統(tǒng)，本文研究其可靠性指標(biāo)，在可修復(fù)系統(tǒng)建模的基礎(chǔ)上探討了不可修復(fù)系統(tǒng)的建模和指標(biāo)計(jì)算，定義并求解了不可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性函數(shù)、失效概率密度函數(shù)、失效率和平均失效時(shí)間。通過(guò)對(duì)其系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的計(jì)算分析，可以進(jìn)一步提高系統(tǒng)性能，為優(yōu)化系統(tǒng)做出決策依據(jù)。最后運(yùn)用龍格庫(kù)塔方法展示了具體系統(tǒng)的指標(biāo)求解過(guò)程。

關(guān)鍵詞：可修復(fù)系統(tǒng)；不可修復(fù)系統(tǒng)；可靠性指標(biāo)

中圖分類號(hào)：O213.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：

引言

可修復(fù)系統(tǒng)，顧名思義就是通過(guò)維修之后，能恢復(fù)功能繼續(xù)工作的系統(tǒng)。對(duì)于可修復(fù)系統(tǒng)，主要是維修的速度，以及從發(fā)生故障到恢復(fù)到正常所用時(shí)間是考慮的重點(diǎn)，盡量要求它可靠的不停的工作，即使偶爾故障，停機(jī)時(shí)間也很短。而不可修復(fù)系統(tǒng)是指系統(tǒng)或組成單元一旦發(fā)生故障，不再修復(fù)。而不再修復(fù)的原因有多種，例如技術(shù)上達(dá)不到或經(jīng)濟(jì)方面的考慮。對(duì)于可不修復(fù)系統(tǒng)，要在設(shè)計(jì)初期考慮其可靠性，使之不發(fā)生故障或者有很低的幾率發(fā)生故障。

本文首先介紹了可修復(fù)系統(tǒng)和不可修復(fù)系統(tǒng)的概念，其次基于連續(xù)時(shí)間的Markov對(duì)其進(jìn)行建模，然后進(jìn)行可靠性指標(biāo)分析，最后給出具體數(shù)值算例，展示指標(biāo)求解過(guò)程。

一、可修復(fù)系統(tǒng)建模

可修復(fù)系統(tǒng)，即當(dāng)元件失效時(shí)，可以對(duì)其元件進(jìn)行修復(fù)使其正常運(yùn)行。通常有以下幾條假設(shè)[3]：

1、開(kāi)始時(shí)，所有元件都是新的，并且只有一個(gè)修理工人來(lái)修理?yè)p壞的元件。失效元件在被修復(fù)之后，就和新的一樣。在同一時(shí)間內(nèi)，不會(huì)有兩個(gè)或以上的元件同時(shí)失效。當(dāng)系統(tǒng)失效時(shí)，沒(méi)有失效的元件將不會(huì)再失效；

2、只要元件失效，那么修理工人就必須第一時(shí)間來(lái)修理?yè)p壞的元件。在失效元件修理期間，其他元件也有可能失效；

3、對(duì)于系統(tǒng)處于工作時(shí)的失效元件，維修工人遵循先失效的元件有優(yōu)先修理權(quán)；

4、系統(tǒng)失效時(shí)，修理工人優(yōu)先修理關(guān)鍵元件；

5、元件工作時(shí)間和維修時(shí)間服從均值分別為和的指數(shù)分布。

下面基于系統(tǒng)簽名檔的方法進(jìn)行建模分析，根據(jù)前人對(duì)可修復(fù)系統(tǒng)的建模，在時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)可定義為：

其中，表示讓系統(tǒng)仍然處于工作狀態(tài)的失效元件數(shù)的最大值，表示讓系統(tǒng)處于失效狀態(tài)的失效元件數(shù)的最小值?；谏厦嫣岬降募僭O(shè)條件下，是連續(xù)時(shí)間的時(shí)齊的馬爾科夫過(guò)程，其轉(zhuǎn)移狀態(tài)集合為。令為工作狀態(tài)集合，為失效狀態(tài)集合。

過(guò)程的轉(zhuǎn)移概率定義為：

⑴

令表示系統(tǒng)處于狀態(tài)時(shí)的所有情況數(shù)，即系統(tǒng)中包含有個(gè)失效元件（個(gè)工作）的路集數(shù)。所以有

⑵

其中是系統(tǒng)Signature向量的第個(gè)分量，表示個(gè)元件的壽命按從小到大排列后，在所有可能的排序中第個(gè)元件失效導(dǎo)致系統(tǒng)失效的概率。

通過(guò)推導(dǎo)可得該馬爾科夫過(guò)程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：

⑶

當(dāng)時(shí)，有

⑷

當(dāng)時(shí)，有

⑸

對(duì)且，定義轉(zhuǎn)移速率矩陣：

⑹

其中[4].

通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，進(jìn)而可求得可靠性函數(shù)、失效概率密度函數(shù)、失效率和平均失效時(shí)間。

圖1 橋系統(tǒng)

二、不可修復(fù)系統(tǒng)建模

為了將可修復(fù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為不可修復(fù)系統(tǒng)，本文考慮把可修復(fù)系統(tǒng)的失效狀態(tài)集合看成個(gè)吸收態(tài)，即一旦系統(tǒng)進(jìn)入該集合中的狀態(tài)，系統(tǒng)便一直處于該狀態(tài)，不再變化。于是，我們將得到一個(gè)新的連續(xù)時(shí)間的時(shí)齊的馬爾科夫過(guò)程。

此時(shí)，，定義，且令

那么Kolmogorov向前方程可簡(jiǎn)寫(xiě)成：

⑺

其中是轉(zhuǎn)移速率矩陣的前行列的子矩陣。

三、數(shù)值算例

如圖1所示，考慮橋系統(tǒng)，其系統(tǒng)簽名檔為，狀態(tài)集合，其中工作狀態(tài)集合，失效狀態(tài)集合，令、，根據(jù)式子（1）—（6），可得到當(dāng)該橋系統(tǒng)可修復(fù)時(shí)的轉(zhuǎn)移速率矩陣：

，

令失效狀態(tài)集合F為吸收態(tài)，此時(shí)得到矩陣

.

那么Kolmogorov向前方程可寫(xiě)成：

.

此方程可以用Laplace變換去求解，但是本文用另一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的方法——龍格庫(kù)塔方法來(lái)求解。此方法通過(guò)得到每一個(gè)離散時(shí)刻t時(shí)的目標(biāo)函數(shù)值，刻畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)值的曲線，從而直觀地看到每一函數(shù)的變化趨勢(shì)。最終結(jié)論如下：

13）可靠性隨時(shí)間變化曲線圖

從圖2中可看出隨時(shí)間變化，橋系統(tǒng)的可靠性開(kāi)始是迅速下降，隨著使用時(shí)間推移，可靠性逐漸趨于0，也就是說(shuō)當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)之后，該系統(tǒng)處于工作狀態(tài)且從未失效過(guò)的概率為0。

圖2 可靠性隨時(shí)間變化曲線圖

（2）失效概率密度函數(shù)曲線圖：

從圖3中可看出隨時(shí)間變化，橋系統(tǒng)的失效概率密度開(kāi)始是迅速下降，隨著使用時(shí)間推移，失效概率逐漸趨于0。

14）失效率隨時(shí)間變化曲線圖：

從圖4中可以看到，在t<10時(shí)，失效速度由1.25迅速下降，直到速度降到最低值0.6；在t>10以后，失效速度有緩慢提升，但是幅度很小，基本平穩(wěn)在0.62。

圖3失效概率密度函數(shù)隨時(shí)間變化曲線圖

圖4失效率隨時(shí)間變化曲線圖

（4）平均故障時(shí)間：

從圖2中的曲線進(jìn)行積分，可以算出該橋系統(tǒng)的故障時(shí)間MTTF為1.2877。

四、總結(jié)與展望

本文首先對(duì)不可修復(fù)系統(tǒng)進(jìn)行了建模，然后對(duì)四個(gè)可靠性指標(biāo)：可靠性函數(shù)、失效概率函數(shù)、失效率和平均故障時(shí)間，運(yùn)用系統(tǒng)Signature進(jìn)行求解，最后給出實(shí)例，展示這些指標(biāo)的具體求解過(guò)程，有助于進(jìn)一步探討可修復(fù)系統(tǒng)和不可修復(fù)系統(tǒng)的系統(tǒng)可靠性。在今后的研究中，將嘗試用不同的方法去研究系統(tǒng)可靠性，使得對(duì)其可靠性的分析更加全面客觀。

參考文獻(xiàn)

[1] 馬瑞宏，賈旭杰，李玉杰：《面向危險(xiǎn)、安全失效模式的安全保障系統(tǒng)Signature可靠性分析》，《運(yùn)籌與管理》第26卷第6期，2017年6月。

[2] 李中平：《多態(tài)單調(diào)系統(tǒng)的Signature計(jì)算方法及其性質(zhì)》，碩士學(xué)位論文，中央民族大學(xué)統(tǒng)計(jì)系，2016年，第8頁(yè)。

[3] 馬瑞宏：《安全保障系統(tǒng)的Signature計(jì)算及其可靠性與安全性研究》，碩士學(xué)位論文，中央民族大學(xué)統(tǒng)計(jì)系，2017年，第25頁(yè)。

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（作者單位：中央民族大學(xué) 理學(xué)院）