復(fù)數(shù)在坐標(biāo)正反算計算中的應(yīng)用

楊偉星

(中國電建集團西北勘測設(shè)計研究院有限公司，西安 710065)

文章編號：1006—2610(2015)03—0015—03

復(fù)數(shù)在坐標(biāo)正反算計算中的應(yīng)用

楊偉星

(中國電建集團西北勘測設(shè)計研究院有限公司，西安 710065)

通過引進(jìn)復(fù)數(shù)對測量中坐標(biāo)方位角計算進(jìn)行公式推導(dǎo)、分析研究、合理優(yōu)化相關(guān)數(shù)據(jù)驗證，得出了計算坐標(biāo)方位角簡便公式。優(yōu)化CASIO編程計算器編程程序，避免在測量中計算方位角繁瑣的象限判斷條件，從而提高測量中的工作效率。

復(fù)數(shù);象限；坐標(biāo)方位角;坐標(biāo)正反算；CASIO編程計算器

鑒于復(fù)數(shù)運算的諸多優(yōu)點，本文主要通過對復(fù)數(shù)的模和復(fù)角的幾何意義的應(yīng)用，引進(jìn)到坐標(biāo)方位角計算中。使得坐標(biāo)正反算變得簡單化，方便CASIO編程計算器編程，提高了工作效率。

1 數(shù)學(xué)笛卡爾坐標(biāo)系復(fù)平面與測量高斯平面直角坐標(biāo)系復(fù)平面

數(shù)學(xué)笛卡爾坐標(biāo)系與測量高斯平面坐標(biāo)系復(fù)數(shù)表示法關(guān)系如圖1。

復(fù)數(shù)的表達(dá)形式有直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)和指數(shù)形式3種表達(dá)方式[1-2]。其中直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系也稱復(fù)數(shù)的幾何表達(dá)，CASIO編程計算器只能對前兩種復(fù)數(shù)表達(dá)形式進(jìn)行計算。

z=x+yi=r∠θ=reiθr>0

(1)

式中：r∠θ是復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示形式；r是復(fù)式z的模Abs(absolute)；θ是復(fù)數(shù)z的復(fù)角Arg(argument)。

圖1 數(shù)學(xué)笛卡爾坐標(biāo)復(fù)平面與測量高斯平面坐標(biāo)系復(fù)平面表達(dá)法關(guān)系示意圖

在圖1(1)中所示數(shù)學(xué)笛卡爾坐標(biāo)系中，當(dāng)z點位于Ⅰ、Ⅱ象限時方向角θ取逆時針，此時0° ≤θ≤180°；當(dāng)z點位于Ⅲ、Ⅳ象限時方向角θ取順時針，此時0° ≤θ≤-180°。

在圖1(2)中所示測量高斯平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)z點位于Ⅰ、Ⅱ象限時方向角θ取順時針，此時0°≤θ≤180°；當(dāng)z點位于Ⅲ、Ⅳ象限時方向角θ取逆時針，此時0°≤θ≤ -180°。

由數(shù)學(xué)坐標(biāo)復(fù)平面和測量坐標(biāo)系復(fù)平面之間關(guān)系可知，計算坐標(biāo)方位角時完全可以借助復(fù)數(shù)的模和復(fù)角進(jìn)行求解。兩點之間距離r=Abs(z)即復(fù)數(shù)的模，兩點之間方位角α=Arg(z),θ≥0時則α=θ，θ≤0時則α=θ+360°。

2 坐標(biāo)正反算推導(dǎo)原理

坐標(biāo)正算是通過坐標(biāo)方位角和距離求待求點的坐標(biāo)，坐標(biāo)反算通過已知2點的坐標(biāo)計算2點之間距離和方位角[3-4]。

測量高斯平面坐標(biāo)系與測量高斯平面坐標(biāo)系復(fù)平面表達(dá)關(guān)系如圖2。

圖2 測量高斯平面直角坐標(biāo)系與復(fù)平面坐標(biāo)系表示法示意圖

2.1 測量高斯平面直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)正反算公式推導(dǎo)

2.1.1 坐標(biāo)正算

已知點A(xa,ya)，兩點之間距離Sab、方位角θab，求B(xb,yb)，由圖2(1)可得到：

Δxab=Sabcosθab=xb-xa

(2)

Δyab=Sabsinθab=yb-ya

(3)

因此可得：

xb=xa+Sabcosθab

(4)

yb=ya+Sabsinθab

(5)

式(4)、(5)即在測量高斯平面坐標(biāo)系下坐標(biāo)正算公式[3,5]。

2.1.2 坐標(biāo)反算

已知A(xa,ya)、B(xb,yb)兩點坐標(biāo)，求AB兩點之間的距離Sab、方位角θab。由圖2(1)可知：

(6)

(7)

式(6)、(7)即為坐標(biāo)反算公式。由于公式中坐標(biāo)方位角的計算是兩點之間的反正切值，因此，需要進(jìn)行象限條件判斷，具體求法有多種，下面給出一種通用求法。

(8)

當(dāng)xb-xa>0且yb-ya≥0,則Ⅰ象限，此時方位角θab=θab(銳角)；

當(dāng)xb-xa<0且yb-ya≥0,則Ⅱ象限，此時方位角θab=180°-θab(銳角)；

當(dāng)xb-xa<0且yb-ya<0,則Ⅲ象限，此時方位角θab=180°+θab(銳角)；

當(dāng)xb-xa>0且yb-ya<0,則Ⅳ象限，此時方位角θab=360°-θab(銳角);

當(dāng)xb-xa=0且yb-ya>0，此時方位角θab=90°；

當(dāng)xb-xa=0且yb-ya<0，此時方位角θab=270°。

2.2 測量高斯平面直角坐標(biāo)系復(fù)平面下坐標(biāo)正反算公式推導(dǎo)

2.2.1 坐標(biāo)正算

在測量高斯平面直角坐標(biāo)系復(fù)平面下，已知點A(xa,yai)，A、B之間距離rab(復(fù)數(shù)模)、方位角θab(當(dāng)復(fù)角θab>0即為方位角，當(dāng)復(fù)角θab<0時方位角360°-θab)。由復(fù)數(shù)性質(zhì)及圖2(2)則有：

zb=za+rab∠θab=xa+yai+rab∠θab

(9)

式(9)即為測量高斯坐標(biāo)系復(fù)平面下的坐標(biāo)正算公式。

2.2.2 坐標(biāo)反算

在測量高斯平面直角坐標(biāo)系復(fù)平面下，已知點A(xa,yai)、B(xb,yb)，求A、B兩點之間距離rab(復(fù)數(shù)模)、方位角θab，由復(fù)數(shù)性質(zhì)及圖2(2)知：

za=xa+yai=ra∠θa

(10)

zb=xb+ybi=rb∠θb

(11)

zab=xab+yabi=(xb-xa)+(yb-ya)i=rab∠θab

(12)

式中：rab為復(fù)數(shù)的模；θab為復(fù)角，當(dāng)復(fù)角θab>0時方位角為θab，當(dāng)復(fù)角θab<0時方位角為360°+θab。

式(12)為在測量高斯平面直角坐標(biāo)系復(fù)平面下的坐標(biāo)反算公式。

3 2種坐標(biāo)正反算的分析比較

坐標(biāo)正反算在工程測量中有著極其重要作用，通過坐標(biāo)正反算公式的優(yōu)化可以提高現(xiàn)場工作人員的工作效率。下面就以測量高斯平面直角坐標(biāo)系與復(fù)平面系下坐標(biāo)正反算的計算流程進(jìn)行分析。

3.1 測量高斯平面直角坐標(biāo)系與復(fù)平面系坐標(biāo)的正算流程

測量高斯平面坐標(biāo)系與復(fù)平面系坐標(biāo)正算流程如圖3。

圖3測量高斯平面坐標(biāo)系與復(fù)平面系下坐標(biāo)正算流程圖

由圖3可知，復(fù)平面系下將坐標(biāo)正算公式用一個復(fù)數(shù)形式表達(dá)，較測量高斯平面直角系下用2個公式形式表達(dá)簡化。

3.2 測量高斯平面直角坐標(biāo)系與復(fù)平面系坐標(biāo)的反算流程

測量高斯平面坐標(biāo)系與復(fù)平面系坐標(biāo)反算流程如圖4、5。

圖4 測量高斯平面坐標(biāo)系下坐標(biāo)反算流程圖

由圖4、5可知，在引入復(fù)數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)反算時可以大大簡化計算公式，計算可以起到事半功倍作用。

3.3 復(fù)數(shù)在坐標(biāo)正反算CASIO編程中的應(yīng)用

某工程測量中公路直線兩端點復(fù)數(shù)坐標(biāo)M(A,Bi)、N(C,Di),兩點之間距離T，方位角F。以CASIO-4800P編程計算器為例，對MN兩點進(jìn)行坐標(biāo)正反算編程。程序如下：

LBIA:{A，B}:Z=0=>Goto 1：≠>Goto2 坐標(biāo)正反算判斷條件，

LBI 1：{C，D}：Pol(C-A,(D-B)i):S=I◢F=J◢J<0=>F=J+360°◢ 坐標(biāo)正算，

GotoA：LBI 2:{S，F(xiàn)}：Rec(S,F):C=A+Ii◢D=B+Ji◢GotoA坐標(biāo)反算。

由上面的程序可知：編程計算器對坐標(biāo)正反算進(jìn)行程序編寫時，通過引入復(fù)數(shù)，使得程序變得簡潔、明了，提高了工作效率。

圖5 測量高斯平面坐標(biāo)系復(fù)平面下坐標(biāo)反算流程圖

4 結(jié) 語

在測量中通過引進(jìn)復(fù)數(shù)求解坐標(biāo)正反算可以得到以下結(jié)論：① 坐標(biāo)正算中使公式變得更加簡單化，方便CASIO編程計算器編程。② 坐標(biāo)反算中尤其是方位角計算中大大減少了方位角象限的判斷，為工程測量中CASIO編程提供便利。

[1] 覃輝.CASIOfx-5800P編程計算器公路與鐵路施工測量程序轉(zhuǎn)換[M].上海：同濟大學(xué)出版社,2009.

[2] 劉啟壽,魏蘭花. 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換在懸高測量中的應(yīng)用[J].西北水電，2012，(01)：24-25，33.

[3] 孔祥元,郭際明,劉宗全.大地測量學(xué)基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社,2001.

[4] 覃輝.fx-50P編程計算器原理與測量程序[M].北京：人民交通出版社,2008.

[5] 楊偉星,張建生,張堃.引水隧洞中圓弧段縱斷面處模板的優(yōu)化設(shè)計與精度分析[J].南水北調(diào)與水利科技,2010,(4)：35-37.

[6] 寧津生,劉經(jīng)南,陳俊勇.現(xiàn)代大地測量理論與技術(shù)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社,2006.

Application of Complex Number in Coordinate Positive and Negative Calculation

YANG Wei-xing

(POWERCHINA Xibei Engineering Corporation Limited, Xi'an 710065,China)

By application of complex number, calculation of the coordinate azimuth in survey is verified by formula calculation, analysis, study and optimized relevant data. Therefore, a simplified formula for calculation of coordinate azimuth is derived. Program of the CASIO programming calculator is optimized, avoiding the complicated conditions of quadrant judgment for azimuth calculation in survey and improving the survey efficiency.

complex number; quadrant; coordinate azimuth; coordinate positive and negative calculation; CASIO programming calculator

2014-08-15

楊偉星(1979- ),男,河南省平頂山人，助理工程師，碩士,從事電站的質(zhì)量控制與變形觀測工作.

TP391

A

10.3969/j.issn.1006-2610.2015.03.005