多維空間中點(diǎn)的密度與近似連續(xù)函數(shù)

賀志明，姚春臨，劉 軍

（江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056）

多維空間中點(diǎn)的密度與近似連續(xù)函數(shù)

賀志明，姚春臨，劉 軍

（江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056）

給出可測集中點(diǎn)的密度的簡單性質(zhì)；推廣一元近似連續(xù)函數(shù)到多元情形，得到可測函數(shù)與近似連續(xù)函數(shù)之間的關(guān)系。

可測集；密度；可測函數(shù)；近似連續(xù)函數(shù)；n維空間

0 引言

從集合點(diǎn)的鄰近性質(zhì)可以刻畫可測集和可測函數(shù)。Lebesgue給出了可測集中點(diǎn)的密度的定義，可以看作是通常空間中點(diǎn)的密度概念的推廣，文獻(xiàn)［1］中給出了一維點(diǎn)集密度和一些性質(zhì)。文獻(xiàn)［2］給出了與密度相關(guān)的一元近似連續(xù)函數(shù)概念。文獻(xiàn)［3-4］提及可測函數(shù)的本性，實(shí)際上可測函數(shù)的本質(zhì)是近似連續(xù)函數(shù)；文獻(xiàn)［5］討論了函數(shù)可微性與可測性，并就多元函數(shù)也可廣泛討論廣義可微性的問題上進(jìn)一步刻畫了近似連續(xù)函數(shù)。

本文將一元近似連續(xù)函數(shù)推廣到多維空間，給出多元近似連續(xù)函數(shù)的概念，得到可測函數(shù)與近似連續(xù)函數(shù)之間的關(guān)系，更進(jìn)一步刻畫了Lebesgue可測函數(shù)。

1 密度

定義設(shè)E?Rn為可測集，x0∈E，稱為E在x0的上密度和下密度，分別記為d+(E,x0)和d+(E,x0)，其中U是x0鄰域U(x0,δ)，m為勒貝格測度。當(dāng)d+(E,x0)=d+(E,x0)時，稱之為E在x0的密度，并記為d(E,x0)，當(dāng)d(E,x0)=1時稱x0為E的全密點(diǎn)；當(dāng)d(E,x0)=0時，稱x0為E的稀薄點(diǎn)。

文獻(xiàn)［6］中給出密度的各種形式和一系列結(jié)果，這里只舉出文中需要用到的一些結(jié)果并重新給出不同的證明。密度具有下列性質(zhì)：

定理1（Ⅰ）x0為E的全密點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)x0為Ec的稀薄點(diǎn)；

（Ⅱ）若x0為E和F的全密點(diǎn)（稀薄點(diǎn)），則x0也是E?F和E?F的全密點(diǎn)（稀薄點(diǎn)）。……