賀志明,姚春臨,劉 軍
(江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430056)
多維空間中點(diǎn)的密度與近似連續(xù)函數(shù)
賀志明,姚春臨,劉 軍
(江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430056)
給出可測集中點(diǎn)的密度的簡單性質(zhì);推廣一元近似連續(xù)函數(shù)到多元情形,得到可測函數(shù)與近似連續(xù)函數(shù)之間的關(guān)系。
可測集;密度;可測函數(shù);近似連續(xù)函數(shù);n維空間
從集合點(diǎn)的鄰近性質(zhì)可以刻畫可測集和可測函數(shù)。Lebesgue給出了可測集中點(diǎn)的密度的定義,可以看作是通常空間中點(diǎn)的密度概念的推廣,文獻(xiàn)[1]中給出了一維點(diǎn)集密度和一些性質(zhì)。文獻(xiàn)[2]給出了與密度相關(guān)的一元近似連續(xù)函數(shù)概念。文獻(xiàn)[3-4]提及可測函數(shù)的本性,實(shí)際上可測函數(shù)的本質(zhì)是近似連續(xù)函數(shù);文獻(xiàn)[5]討論了函數(shù)可微性與可測性,并就多元函數(shù)也可廣泛討論廣義可微性的問題上進(jìn)一步刻畫了近似連續(xù)函數(shù)。
本文將一元近似連續(xù)函數(shù)推廣到多維空間,給出多元近似連續(xù)函數(shù)的概念,得到可測函數(shù)與近似連續(xù)函數(shù)之間的關(guān)系,更進(jìn)一步刻畫了Lebesgue可測函數(shù)。
定義設(shè)E?Rn為可測集,x0∈E,稱為E在x0的上密度和下密度,分別記為d+(E,x0)和d+(E,x0),其中U是x0鄰域U(x0,δ),m為勒貝格測度。當(dāng)d+(E,x0)=d+(E,x0)時,稱之為E在x0的密度,并記為d(E,x0),當(dāng)d(E,x0)=1時稱x0為E的全密點(diǎn);當(dāng)d(E,x0)=0時,稱x0為E的稀薄點(diǎn)。
文獻(xiàn)[6]中給出密度的各種形式和一系列結(jié)果,這里只舉出文中需要用到的一些結(jié)果并重新給出不同的證明。密度具有下列性質(zhì):
定理1(Ⅰ)x0為E的全密點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)x0為Ec的稀薄點(diǎn);
(Ⅱ)若x0為E和F的全密點(diǎn)(稀薄點(diǎn)),則x0也是E?F和E?F的全密點(diǎn)(稀薄點(diǎn))。……