Buck變換器拓撲指數改進算法及脆弱性分析

鮑春明，王春芳

（青島大學 自動化工程學院，山東青島266071）

0 引 言

脆弱性研究是全球變化及可持續性科學領域關注的熱點問題和重要的分析工具，隨著脆弱性研究受到越來越多的關注，對脆弱性的概念和評價方法的研究日益深入［1］。脆弱性這一概念源于對自然災害的研究，在地學領域Timmer man P.（1981）首先提出了脆弱性的概念。目前脆弱性這一概念已被應用到很多研究領域，例如：災害管理、生態學、公共健康、氣候變化、土地利用、可持續性科學、經濟學、工程學等。

在電力系統領域，電力系統脆弱性是用來描述系統在正常運行情況或各種隨機因素的作用下系統承受干擾或故障的能力及系統不能維持正常運行的可能趨勢及其影響［2］。專家學者們提出了各種各樣的理論和模型來研究系統的脆弱性，包括：有向圖矩陣分析法［3］、風險分析法［4］、故障鏈理論基礎分析法［5］等。分子拓撲指數理論是建立在圖的不變量基礎之上的。它試圖以這個拓撲不變量與分子的理化性質及生物分子的活性建立某種對應關系［6］。

文獻［7］基于拓撲指數進行電網結構評價，利用拓撲指數的結論，分析了高壓、中低壓網絡結構與性能之間的關系。文獻［8］試圖將拓撲指數計算模型引入到Buck變換器中來，具體方法是以拓撲指數找到Buck中的脆弱源，從而對Buck變換器做好穩定性保護，但是并沒有考慮到電力電子拓撲的開關狀態和占空比等特點，計算過程較為粗糙和簡易。

本文首先介紹了拓撲指數的有關概念和結論，在拓撲指數和脆弱性概念的基礎上，改進了Buck變換器拓撲指數的計算方法，通過對Buck變換器在連續工作模式（CCM）下的廣義拓撲指數的計算，分析了它們的脆弱性，使得Buck變換器的脆弱性能夠定量計算和分析。

1 拓撲指數及物理意義

1.1 基本概念［9，10］

定義1：K級非連接數P（G，K）

設邊集合E有a條邊，則K條邊的子集總共有CKa個。在這些子集中，非鄰接子集的數目稱為集合E的K級非相鄰連接數，記為P（G，K），并規定P（G，1）＝a（a是圖中邊的數目）。

定義2：拓撲指數TI（G）

圖G的拓撲指數，邊集合E的所有子集中，非鄰接子集的數目（子集中所有邊都非鄰接），記為TI（G）。

式中，m＝|V|／2（|V|為偶數時）；m＝（|V|-1）／2（|V|為奇數時），|V|是節點的數目。

可以用圖1來說明如何根據定義2計算一個已知圖的拓撲指數。

圖1 拓撲指數的計算示例圖

如圖1所示，該圖有5個節點（v1，v2，v3，v4，v5），則|V|＝5；有8條邊（ea，eb，ec，ed，ee，ef，eg，eh），即|E|＝8。與圖1所對應的非鄰接矩陣如公式（2）所示，行和列分別代表圖1中的8條邊，矩陣中的元素為1表示的是對應的邊不相鄰，為0表示的是相鄰。

由圖1和公式（2）可得，m＝（|V|－1）／2＝2，P（G，1）＝8，P（G，2）＝10，P（G，3）＝P（G，4）＝0，綜上得到圖1的拓撲指數為

1.2 拓撲指數的物理意義

對于某一具體網絡，拓撲指數的物理意義是度量該網絡點和邊（電路拓撲的節點和支路）連接均衡程度，即與每個節點相連接的邊數是否一致。拓撲指數越大，則邊分布越均衡，該網絡的分散性越好。

由圖2可知，示例網絡a和網絡b是具有相同的點數（7個）和邊數（8條）的網絡，并且點的分布一致，不同的是各個點之間的連接方式。直觀地看，網絡a中每個點連接的邊數為2條或3條，比較均衡；網絡b中點7連接的邊數是5條，而點1和點4只有1條邊與之相連，每個點連接的邊數差別較大，不如網絡b均衡度高。經過拓撲指數的計算：網絡a的拓撲指數為33，網絡b的拓撲指數為19。由此可知，網絡的拓撲指數表征了網絡的分散程度和均衡程度，拓撲指數越大，分散度越好，網絡越均衡；反之，拓撲指數越小，分散度越差，網絡越不均衡。

圖2 示例網絡a（左）和示例網絡b（右）

對于拓撲指數的另一種理解：拓撲指數越大的網絡，每個節點的重要性基本一樣，安全性較好，某一點出現問題對于整個網絡的影響相對較小。網絡a中，點7斷開，整個網絡基本還是連通的；對于網絡b而言，如果點7斷開，整個網絡幾乎解體。

由此可見，一個網絡是否安全可靠，與它的拓撲指數的大小有直接關系。電力電子電路可以抽象成一個電路網絡，或稱為電路拓撲，因此，使用拓撲指數來衡量電路網絡的脆弱性，進而指導并優化電力電子電路的設計是可行的。

2 Buck變換器拓撲指數和脆弱性計算

2.1 Buck變換器的基本原理［11］

Buck變換器又稱為降壓斬波電路，其基本結構如圖3所示，由輸入電壓Ui（等效為直流電壓源Ui）、開關管S、二極管VD、電感L、電容C和等效負載電阻R構成。該電路存在電感電流連續和電感電流斷續兩種工作模式，本文只考慮電感電流連續工作模式下的情況。

圖3 Buck變換器的基本結構

Buck變換器在連續工作模式下有兩個開關狀態，如圖4所示。開關狀態1（S1）：開關管S導通，二極管VD關斷。開關狀態2（S2）：開關管S關斷，二極管VD導通。定義占空比D為開關管導通的時間ton與開關周期Ts的比，即D＝ton／Ts，0≤D≤1。

2.2 Buck變換器的拓撲指數模型建立

圖4 Buck變換器的兩種開關狀態

Buck變換器的基本結構以及兩個開關狀態分別抽象為無向圖。將輸入電壓Ui、開關管S、二極管VD、電感L、電容C以及等效輸出電阻R抽象為節點V，它們之間的連線抽象為邊E，得到其對應的無向圖如圖5所示。

根據拓撲指數的定義，計算圖5中三個無向圖的拓撲指數：

可知Buck變換器基本結構對應的拓撲指數是TI（Buck）＝49；

開關狀態1對應的拓撲指數是TI（S1）＝15；

開關狀態2對應的拓撲指數是TI（S2）＝9。

2.3 Buck變換器的拓撲指數計算與脆弱性分析

由模型可見，S1時的拓撲指數比S2時的拓撲指數大，由拓撲指數的物理意義可知，S1時的拓撲更加均衡，安全性更高。根據拓撲指數的概念，分析每個節點或元件在兩個開關狀態下對于變換器的影響，也就是不同結構性故障情況下變換器的脆弱性。得到拓撲指數計算式：

圖5 Buck變換器基本結構

TI（A）=D×TI（S1，A）+（1-D）TI（S2，A）（4）式中，D表示Buck變換器的占空比，0≤D≤1；A表示某一節點或元件，如開關S、電阻R。另外，在拓撲中如果沒有某一元件，則拓撲指數為零。如S1下沒有二極管元件VD，則TI（S1，VD）＝0。此外，由于占空比的引入，廣義拓撲指數的值可以是小數。

由此根據拓撲指數的定義和計算方法，得到不同元件在兩個開關狀態下的廣義拓撲指數見表1。合和參數條件下，應盡可能保證二極管VD不發生故障。

圖6 不同元件對變換器拓撲指數的影響圖像

表1 元件在不同開關狀態下的拓撲指數

圖7 Buck變換器二極管故障后的電壓圖像

根據公式（4）可得：

TI（S）＝7D，TI（Ui）＝5D，TI（VD）＝3－3D，TI（L）＝2D＋3，TI（C）＝3D＋3，TI（R）＝3D＋3。

不同元件對于變換器拓撲指數的影響是關于占空比D的函數，如圖6所示。由圖像可以看出：0≤D≤0.375時，在輸入電壓Ui發生損壞的情況下，拓撲指數最小，網絡的均衡性差、可靠性降低，故Ui是脆弱源；0.375≤D≤1時，VD是Buck變換器的脆弱源。

使用Matlab對Buck變換器進行仿真，Buck變換器的輸入電壓為10 V，占空比為0.5，開關頻率為20 k Hz，電感L為2.2 mH，濾波電容C為470μF，負載為1Ω。圖7所示為二極管故障后的端電壓。在實際應用中，Buck變換器經常會因為二極管的損壞，導致開關管承受電感L產生的過電壓而損壞；二極管發生故障時，導致了電感等器件連鎖損耗，說明二極管VD是Buck變換器的脆弱源。因此，在不同的應用場

3 結 論

本文將拓撲指數引入到電力電子變換器的脆弱性分析中，計算了在電感電流連續工作模式下Buck變換器不同開關狀態的拓撲指數，分析了由占空比決定的廣義拓撲指數的特征；通過對Buck變換器的廣義拓撲指數的計算，使Buck變化器脆弱性能定量計算和分析。引入占空比這一參數，并且考慮到Buck變換器不同開關狀態的影響，使得拓撲指數的計算更加細化，利于分析。該拓撲指數計算方法對于非隔離型變換器拓撲均適用，但對于該變換器的電感電流斷續工作模式（DCM）以及含有變壓器的隔離型變換器拓撲，計算方法還需改進。

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［6］ 楊 鋒，羅明道.分子拓撲指數的理論和應用［J］.自然雜志，1997，（1）：50-53.

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［8］ 張桂東，張 波，丘東元，肖文勛.Buck變換器的拓撲指數及脆弱性分析［J］.電源學報，2012，（06）：19-22.

［9］ 蘭家隆，劉 軍.應用圖論及算法［M］.成都：電子科技大學出版社，1995.

［10］卜月華.圖論及其應用［M］.南京：東南大學出版社，2002.

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