一種水下高速小目標的多普勒頻率估計方法*

孫常存 邢國強 曲兆宇

(91439部隊 旅順 116041)

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一種水下高速小目標的多普勒頻率估計方法*

孫常存 邢國強 曲兆宇

(91439部隊 旅順 116041)

針對近程主動聲探測水下高速小目標的回波多普勒頻率估計問題,根據(jù)ESPRIT算法原理,提出了一種改進的ESPRIT頻率估計算法。該算法利用目標回波信號的時延數(shù)據(jù),構(gòu)造兩組完全相同的子陣列,通過對兩組子陣列的互協(xié)方差矩陣構(gòu)造的矩陣束進行廣義特征分解,實現(xiàn)了對水下高速小目標回波信號的多普勒頻率估計。與標準ESPRIT算法相比,改進的ESPRIT算法不需要進行自協(xié)方差矩陣的特征分解,因而具有較低的計算復(fù)雜度。計算機仿真表明,該方法對水下高速小目標的回波多普勒頻率估計是有效的。

高速小目標; 主動探測; ESPRIT; 特征分解; 多普勒頻率; 估計算法

Class Number TN911.7

1 引言

水下高速小目標近程主動聲探測技術(shù)是水聲技術(shù)的一個重要研究領(lǐng)域,文獻[1～3]圍繞該問題進行了相關(guān)的研究,其中,目標回波的多普勒頻率估計是實現(xiàn)目標有效探測的前提條件。由于目標速度高,近程探測的工作時間短,且頻率估計精度直接影響到目標速度、距離等相關(guān)參數(shù)的估計精度,因此分辨力和實時性是水下高速小目標多普勒頻率估計應(yīng)用中的兩項關(guān)鍵技術(shù)。因此,必須針對高速小目標近程探測的特點,研究目標回波的多普勒頻率估計問題,實現(xiàn)對高速小目標回波多普勒頻率的快速精確估計。

頻率估計的方法主要有經(jīng)典法和現(xiàn)代法兩大類[4],經(jīng)典法由于快速傅立葉變換(FFT)的提出而極大地減小了運算量[5],但由于其分辨力低而在應(yīng)用中受到了限制;現(xiàn)代法中具有代表性的是基于特征分解的MUSIC法[6],理論上具有無限的分辨力,但該法需要進行參數(shù)空間搜索,運算量較大,實時性差制約了其在工程中的應(yīng)用。子空間旋轉(zhuǎn)不變法即ESPRIT法是80年代末Roy R提出的一種新方法[7],由于其不需作掃描處理,因而在保證精度的基礎(chǔ)上極大地減少了運算量,增加了工程適用性。本文根據(jù)ESPRIT原理[8],提出一種改進的ESPRIT算法,并通過仿真實驗證明該方法應(yīng)用于水下高速小目標回波多普勒頻率估計的有效性。

2 目標回波數(shù)據(jù)模型

假定目標回波信號與噪聲都是零均值平穩(wěn)隨機過程,信號包含K個頻率分量,且信號之間互不相關(guān),加性噪聲是互不相關(guān)且獨立于源信號的高斯白噪聲,則接收傳感器輸出數(shù)據(jù)的離散形式為

(1)

式中,sk、fk分別為第k(k=1,2,…,K)個諧波信號的幅值和頻率;w(n)表示輸出的加性高斯白噪聲。構(gòu)造如下N維數(shù)據(jù)向量:

(2)

可表示為矩陣形式:

X(n)=BS(n)+W(n)

(3)

式中

B=[b(f1),b(f2),…,b(fK)]N×K

b(fi)=[1,ej2πfi,…,ej2πfi(N-1)]T,i=1,2,…,K

S(n)=[s1ej2πnf1,s2ej2πnf2,…,sKej2πnfK]T

3 改進的ESPRIT算法

ESPRIT算法原理可參閱文獻[9],由于要利用兩個對稱子陣的自協(xié)方差矩陣和互協(xié)方差矩陣的廣義特征分解來實現(xiàn)頻率估計,因此標準ESPRIT算法的運算復(fù)雜度較高,且其主要運算量在于自協(xié)方差矩陣的特征分解,約占算法總運算量的96%(階數(shù)為6,數(shù)據(jù)長度100)。為了進一步降低標準ESPRIT算法的運算復(fù)雜度,提出一種改進的ESPRIT頻率估計算法,算法的基本原理是,利用目標回波信號的時延數(shù)據(jù),構(gòu)造兩組完全相同的子陣列,通過對兩組子陣列的互協(xié)方差矩陣構(gòu)造的矩陣束進行廣義特征分解直接估計出諧波頻率分量,具體算法如下:

1) 對信號進行M=2N點采樣,由采樣數(shù)據(jù)x(n)構(gòu)造兩個N維對稱子陣X(n)和Y(n):

X(n)=[x(n),x(n+1),…,x(n+N-1)]T

(4)

為了獲得兩個相同的子陣,將X(n)延時NTs(Ts為抽樣間隔),得到Y(jié)(n):

Y(n)=[x(n+N),x(n+N+1),…,x(n+2N-1)]T

(5)

同樣可表示為矩陣形式:

X(n)=BS(n)+W(n)

(6)

Y(n)=X(n+N)=BΦS(n)+W(n+N)

(7)

式中,Φ=diag(ej2πf1N,ej2πf2N,…,ej2πfKN),即為旋轉(zhuǎn)不變對角陣,其每一個對角元素都與頻率有關(guān),稱為頻率因子。由于Φ為酉矩陣,所以X(n)和Y(n)具有相同的觀測空間(信號子空間和噪聲子空間)。

2) 計算p維的互協(xié)方差矩陣RXY和RYX

由式(6)和式(7)可得出X(n)和Y(n)的空間互協(xié)方差矩陣為RXY=E[X(n)Y(n)H]

=BSΦHBH+E[BS(n)W(n+N)H]

+E[W(n)S(n)HΦHBH]+E[W(n)W(n+N)H]

(8)

RXY=BSΦHBH

(9)

同理可得:

RYX=E[Y(n)X(n)H]=BΦSBH=RXYH

(10)

3) 構(gòu)造矩陣束(RYX,RXY),通過求其廣義特征值,估計出所有諧波頻率分量

由式(9)和式(10)構(gòu)造矩陣束(RYX,RXY)為

RYX-λRXY=BS(Φ-λΦH)BH

(11)

由于B列滿秩,對角陣S非奇異,當λ≠ej4πfiN(i=1,2,…,K)時,由矩陣的性質(zhì)知:

rank(RYX-λRXY)=rank(Φ-λΦH)=K

(12)

當λ=ej4πfiN(i=1,2,…,K)時,對角陣Φ-λΦH的第i行元素全部為零,同時矩陣RYX-λRXY的秩降為K-1,所以λ=ej4πfiN(i=1,2,…,K)是矩陣束(RYX,RXY)的廣義特征值?？梢?通過對矩陣束(RYX,RXY)進行廣義特征分解,得到其廣義特征值ej4πfiN(i=1,2,…,K),即可估計出所有諧波頻率分量fi(i=1,2,…,K)。由于該方法避免了標準ESPRIT算法中自協(xié)方差矩陣的特征分解,因而運算量大為減小。

4 計算機仿真

考慮式(1)的離散數(shù)據(jù)模型,仿真中,回波信號采用以下數(shù)學(xué)模型:

x(t)=Acos(2πfdt)+e(t)

(13)

式中,fd為多普勒頻率,根據(jù)近程主動探測高速小目標的實際情況,取為10kHz;e(t)為均值為0、方差σ2=1的高斯白噪聲,信噪比定義為SNR=10lg(A2/2σ2)。根據(jù)奈奎斯特采樣定理,取采樣頻率fs=200kHz,發(fā)射脈沖信號寬度T=1ms,則每個回波采樣點數(shù)M=2N=200。

仿真1:為了驗證協(xié)方差矩陣維數(shù)p對頻率估計精度的影響,選取SNR=10dB,M=200,對回波信號進行300次蒙特卡洛仿真實驗,頻率估計結(jié)果見表1。仿真結(jié)果表明,協(xié)方差矩陣維數(shù)p對頻率估計精度影響不大。隨著維數(shù)的增加,估計的標準差略有減少,對于單頻信號,p值可減至4。

表1 不同協(xié)方差矩陣維數(shù)時頻率估計結(jié)果(SNR=10dB,M=200)

仿真2:為了說明改進的ESPRIT算法在不同數(shù)據(jù)長度下的頻率估計性能,選取SNR=10dB,p=4,對不同數(shù)據(jù)長度下的回波信號進行300次蒙特卡洛仿真實驗,頻率估計結(jié)果見表2。由文獻[10]知,實正弦信號無偏頻率估計的Cramer-Rao下界可表示為

(14)

即:

(15)

圖1給出了表2情況下,頻率估計標準差(Standard Deviation,SD)隨數(shù)據(jù)長度變化的曲線及其Cramer-Rao界。仿真結(jié)果表明,數(shù)據(jù)長度M對頻率估計精度及估計的標準差均有影響,隨著M取值的增大,其標準差將逐漸接近CRB,當M取200時,頻率估計結(jié)果可以滿足要求。

表2 不同數(shù)據(jù)長度時頻率估計結(jié)果(SNR=10dB,p=4)

仿真3:為了說明本文方法在不同信噪比條件下的頻率估計性能,選取M=200,p=4,對不同信噪比條件下的回波信號進行300次蒙特卡洛仿真實驗,頻率估計結(jié)果見表3。同樣給出頻率估計標準差隨信噪比的變化曲線及其Cramer-Rao界,如圖2所示。仿真結(jié)果表明,隨著信噪比的增加,頻率估計的標準差逐漸接近CRB,表明算法對回波信號多普勒頻率估計是適用和有效的。特別是SNR>10dB時,頻率估計的標準差非常接近CRB。

圖1 頻率估計標準差隨數(shù)據(jù)長度變化曲線

SNR(dB)均值(kHz)標準差(kHz)09．960．668259．970．34191010．010．07111510．010．02522010．000．00952510．000．00223010．000．00153510．000．0009

由以上仿真結(jié)果得出:改進的ESPRIT算法的頻率估計具有較好的無偏性,其頻率估計精度主要取決于信號的信噪比。通常情況下,高分辨率方法要求輸入信號信噪比較高,約為10dB～15dB。對于單頻信號,由于不存在相鄰頻率分辨的問題,對其信噪比的要求有所降低。對于水下高速小目標的主動聲探測,接收回波的信噪比SNR≈0dB。若聲探測系統(tǒng)為全向接收,其空間處理增益為零,系統(tǒng)檢測過程中的窄帶濾波濾除了噪聲從而增加了信噪比,加上系統(tǒng)的時間處理增益,接收系統(tǒng)輸出信號信噪比可達到10dB以上。因此,改進的ESPRIT算法頻率估計具有較高的精度。

5 結(jié)語

本文針對近程主動聲探測水下高速小目標的回波多普勒頻率估計問題,提出了一種改進的ESPRIT頻率估計算法。該方法與標準ESPRIT算法頻率估計的不同之處在于不需要對自協(xié)方差矩陣進行特征分解,因而在保證精度的基礎(chǔ)上運算量大為減小,可以滿足實時性的要求。計算機仿真表明,改進的ESPRIT算法的頻率估計具有較好的無偏性,其頻率估計精度主要取決于信號的信噪比。該算法對水下高速小目標的回波多普勒頻率估計是有效的。

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Doppler Frequency Estimation Method of Underwater High-Speed Small Target

SUN Changcun XING Guoqiang QU Zhaoyu

(No. 91439 Troops of PLA, Lvshun 116041)

Aiming at the problem of estimating doppler frequency of underwater high-speed small target, based on the principle of ESPRIT algorithm, an improved ESPRIT algorithm is put forward. By the time delay data of target echo signal, two sub-arrays with the same array shape are constructed. A matrix pencil is constructed by the cross covariance matrix of the two sub-arrays. By means of generalized eigen-decomposition of the matrix pencil, the doppler frequency of underwater high-speed small target can be obtained. Compared with standard ESPRIT algorithm, the improved ESPRIT algorithm does not need to do eigen-decomposition of auto-covariance matrix, thus has lower computational complexity. The simulation results show that the proposed method is effective for estimating doppler frequency of underwater high-speed small target.

high-speed small target, active detection, ESPRIT, eigen-decomposition, doppler frequency, estimation algorithm

2015年4月20日,

2015年5月31日

孫常存,男,博士,工程師,研究方向:魚雷自導(dǎo)與引信技術(shù)。

TN911.7

10.3969/j.issn.1672-9730.2015.10.041