基于隨機占優約束的投資組合優化模型研究

貴州理工學院經濟管理學院 唐惠

貴州大學管理學院 鐘慶平

一、引言

隨著金融環境的蓬勃發展及金融商品的多元化，經濟的迅猛發展使人們逐漸意識到投資和理財的重要性。投資者可以通過選擇由不同風險性資產所構成的投資組合，以達到最大化投資收益同時分散風險的目的。起源于20 世紀60 年代的隨機占優(Stochastic Dominance)理論，其將假設條件放寬到最大限度，例如不需要要求收益率的分布是正態分布等，而只需知道有關收益率分布較完善的信息，且在用該方法求解最優投資組合時所需的收益率等數據都是可以從相關的金融數據網站很容易和方便的收集到的。

Dentcheva & Ruszczynski(2003，2004)首先引入了具有隨機占優約束的最優化問題，Dentcheva & Ruszczynski(2006)以及Roman, Darby-Dowman&Mitra(2006)提出了基于SSD 的投資組合優化模型。其有以下幾點優點：這種方法相對于均值風險模型和效用函數模型有一個重大的優勢，該模型需要的所有數據都是極容易得到的；在均值風險模型中風險測度及風險的權重的選擇都擁有一定主觀的特征，這就很難說服其他的投資者應用同樣的測度；最優期望效用（模型）需要效用函數的精確形式，而決策者們的效用函數是很難被探出的，要一群決策者達成統一的意見就更復雜了；在基于SSD的投資組合優化模型中，將一個被廣泛認可的確定的隨機結果（例如，市場指數）做為被占優的對象，我們可以很好的避免以上這些困難。

然而已有的基于SSD的投資組合優化模型的文獻并未考慮市場摩擦，在實際的交易市場中，總是存在著如交易費用，整數手限制等摩擦，不考慮這些市場摩擦因素必將使得投資組合理論與現實情況產生一定的脫節，因此建立含有市場摩擦因素的投資組合模型更加符合現實的需要。例如，Arrow&Wagner(1990)發現，在最優投資組合的計算中，若忽略交易費用可能會導致無效的投資組合；Edwen等(2006)指出交易費用是投資市場的重要因素之一，交易成本的大小關系到觀察到的價格錯位需要多大才會導致投資者改變現在的投資策略，同樣也影響著一個投資組合是不是最優的問題?？梢妼⑹袌瞿Σ烈蛩乜紤]到已有的基于二階隨機占優約束的投資組合模型中，對其進行改進，是必要且有實踐意義的。

二、基于二階隨機占優約束的投資組合最優化模型

(一)模型介紹

Dentcheva&Ruszczynski(2006)的基于二階隨機占優的投資組合最優化模型如下：

其中，f:X →R 是一個凹的連續函數；

投資有限資產1,2,...M. 的投資比例；

R1,R2,...RM表 示 資 產 1,2,...M. 的 隨 機 收 益 率 ，R(x)=R1x1+R2x2+...+RMxM是投資組合的總收益率；

Y 是基準收益率(如市場指數——上證180 等)，Y=R(Zˉ)，Zˉ是基準的投資組合,我們的目的是要找到一個投資組合，該投資組合二階占優于Y。Dentcheva&Ruszczynski 選用了股票市場指數，因為市場指數反應了股票市場的總體行情，用其作為比較的基準能夠被大多數的投資者信服。除此之外還有指數的收益率便于收集的優點。

Dentcheva&Ruszczynski 從模型(2.1)開始，加入條件風險價值等做了一系列的轉化和證明，得出了一個關于投資組合x 的大規模線性規劃問題(證明過程見Dentcheva & Ruszczynski(2006))。Luedtke(2008)將該難以進行求解的大規模線性規劃模型轉化為如下可求解的以x,v和π（其中v和π 為輔助變量）為變量的大規模線性規劃模型（2.2）。(證明過程見Luedtke(2008))

圖1 動態跟蹤數據下考慮市場摩擦前后模型與指數的月收益率比較折線圖

其中，πij是條件概率，

π 和v 是為了求解x 而加入的輔助變量，現在模型（2.1）轉化為（2.2），一個以x,π,v 為未知變量的大規模的線性規劃問題。

(二)模型改進

許多投資組合的理論都是在完備市場的前提假設下得到的，在這些假設下，投資者不用額外支付與交易有關的交易成本，從而能自由的交易。而在現實的金融市場，由于市場規則、國家政策等各種原因，存在著各種各樣的限制條件，即市場摩擦。股票市場的摩擦是多種多樣的，如交易費用,只能買入整數手數量的股票等等。故將交易費用和最小交易單位限制的市場摩擦因素引入Dentcheva&Ruszczynski(2006)模型中，對其進行改進。使其更加的貼近我們實際的市場投資環境，以期能夠幫助我們的投資者進行理性的投資，獲得較高的投資收益。

1、市場摩擦

(1)交易費用。在實際金融市場中，為了維護交易場所的正常運行等方面的需要，交易過程中，買賣雙方通常就某項具體交易需要被要求向交易場所繳納一定費用，這部分費用的多少會使買賣雙方交易前先衡量是否值得進行此交易。交易費用是投資者在委托買賣證券時應支付的各種稅收和費用的總和，通常包括傭金、過戶費、印花稅、其他費用。交易費用中，傭金和印花稅的比例最大，且由于本文是從買入方的角色考慮，就不再考慮印花稅，所以在本文以下提到的交易費用主要是指傭金。上海證券交易所目前對A 股交易要求按“不超過成交金額的3‰，起點5元”的標準由投資者向證券公司交傭金。

則本文的交易費用表示如下：

如上可知C(X)是一個分段函數，在用計算機對大量的約束和變量進行計算時，該分段函數的加入無疑會加大編程的難度，所以本文將對所有股票的交易費用進行上限取值，雖然這樣的處理會使計算出來的投資收益較實際水平偏低，但其擁有如下不可忽視的如下三點優點：第一是大大的減少了計算的難度；第二是若在這樣的處理下，得出的投資組合的收益率仍然占優于指數的收益率；第三是這樣的處理并不會使實際的交易費用增加，即投資者購買以這樣的處理方式得出的投資組合，將在實際的投資市場中得到比我們的模型算出的收益更好的投資回報，可想這樣的投資組合勢必是更符合投資者的需求的。

（K 為投資的股票的最大基數或種數，一般取30）

(2)交易的最小單位限制（即整數手限制）。按照證券交易場所的交易規則，股票買入最低必須以100 股（1 手）為單位，賣出的數量可以不足一手?？紤]整數手限制后，可能由于某股票的單價過高，導致買入一手所需的資金較大。整數手限制的摩擦約束下使得投資者無法不考慮該規則，隨心所欲的分配自己的投資資金，從而使得自己的投資收益率降低。

若bl是第l 只股票的市場價格，W 為投資總額，xl表示投資于第l只股票的投資額占總投資額的比例，則整數手限制可以表示如下：

改進后的模型如下：

(三)實證分析

在唐惠（2013）中已對模型（2.2）對中國股票市場的適用性進行了實證分析，這里就不在重復，以下是對改進后的模型（2.5）進行實證分析。

本文數據來源于銳思數據庫（www.resset.cn）。從上海證券交易所隨機抽取30只，股票代碼分別為（按股票代碼數值的大小進行排序）：

600000,600009,600010,600015,600016,600019,600028,600030,600036,600048,600050,600085,600104,600111,600118,600123,600125,600132,600158,600177,600266,600309,600519,600600,600614,600642,600736,600795,600809,600887

選用該30 只股票從2008 年1 月到2012 年12 月，共60 個月的月收益率數據作為我們的實證研究數據。

選擇上證180指數從2008年1月到2012年12月，共60個月的月收益率作為基準收益率Y ,主要是由于上證180指數不僅在編制方法的科學性、成分選擇的代表性和成分的公開性上有所突破，其入選的個股均是一些規模大、流動性好、行業代表性強的股票。同時也恢復和提升了成分指數的市場代表性，從而能更全面地反映股價的走勢，有效的保證了我們所得到的占優于該指數的投資組合是被絕大多數的風險厭惡的投資者認可的。

模型（2.5）是一個混合整數規劃問題，此時共有240個約束，3750個變量，。其中θl∈Z(l=1,2... ...30)表示買入第l 只股票股票的手數。選用LINGO9.0 軟件進行計算，并將投資總額W 取為10萬元，bl取2012年12月31日第l 只股票的收盤價。計算結果為在投資組合：

X=(x14,x15,x18,x19,x25,x28)=(0.14288,0.32266,0.44344,0.02988,0.05502,0.00612)或投資手數θ=(θ14,θ15,θ18,θ19,θ25,θ28)=(2,13,8,4,6,2)下，目標函數f(x)達到最大值，Max f(x)=0.0523041，即若投資者投資10 萬元于該投資組合，考慮交易費用和整數手限制后，其將獲得5230.41元的收益。

使用同樣的30只股票和指數及其在2008年1月到2012年12月的月收益率表現，對使用隨機占優的方法在考慮市場摩擦前后模型所得投資組合及指數的收益率比較如下：

表1 考慮市場摩擦前后模型及指數的收益率

三、動態跟蹤

由上表可清晰的看出考慮市場摩擦后基于二階隨機占優的投資組合模型的占優程度并不明顯，且假設投資者整個一年都不對其所持有的投資組合進行，仿佛不符合我們股票市場大多數投資者的投資習慣。所以在接下的實證分析中，我們會對數據以月進行動態跟蹤。

我們會對數據以月進行動態跟蹤，同樣是以股票前60個月的月收益率表示為一個決策依據（從2008年1月到2012年12月開始），后動態的逐月跟蹤到2013年12月。即如2013年1月底，投資者想對其持有的投資組合進行一定的調整時，其可以采用有購買意向的股票的2008年2月至2013年1月的月收益率數據帶入基于隨機占優約束的投資組合模型（2.5），運用LINGO9.0計算出意向股票群的購買比例，依次類推到2013年12月底，其可以采用有購買意向的股票的2009年1月至2013年12月的月收益率數據計算出意向股票群的購買比例。

為了使論文前后同一模型的不同數據處理方法的結果有可比性，接下來同樣采用上述中隨機抽取的30 只股票的月收益率數據進行計算。

模型（2.5）中，bl為數據塊中最后一個月最后一天的收盤價，如2013年1月底，用到的動態跟蹤的數據塊為2008年2月至2013年1月，bl就為2013年12月31日30只股票的收盤價，W 不是一般性的取10萬元，投資者可以根據自己所持有資金的實際情況進行改動，這并不會使模型（2.5）的運行產生困難，不過由于每只股票的單價不同，很可能會由于投資資金的不同，加上整數手的摩擦因素下，導致算出的不同投資資金的投資比例及個股的手數不同。（如圖1）

四、結束語

本文用我國的股票市場的實際交易數據對已有的Dentcheva &Ruszczynski(2006)的模型進行了檢驗，得出該模型是適用于我國股票投資市場的結論。在此之上，結合我國股票交易市場相關的實際規定，投資者在進行股票投資時需要繳納交易費用，且有買入必須是整數手的限制，將這些實際的規則加入模型后對其進行了改進，并用實際的交易數據對改進的模型做了檢測，得出其是有助于幫助我們的投資者獲得更高的投資收益的結論。并將改進前后所得出的投資組合進行了比較，發現不考慮交易費用和整數手限制的投資組合是與實際的投資市場脫節的，是不合理的投資組合，可見在投資組合模型中考慮市場摩擦約束的重要性。從而也說明了本文對Dentcheva&Ruszczynski(2006)的投資組合模型進行改進是必要和有意義的。

雖然本文對Dentcheva&Ruszczynski(2006)的模型進行了改進并對其設計了計算，且用實際數據得出了考慮市場摩擦約束必要性等結論。然而仍有不足之處，是值得以后繼續研究的地方：第一，本文對隨機占優理論的應用只到二階隨機占優，可以繼續將該模型發展到三階，建立三階隨機占優(TSD)約束下的投資組合優化模型，以反映具有遞減絕對風險厭惡特征的投資者的投資行為。第二，在處理基數限制時，本文只是簡單的對其進行了小數點后五位四舍五入的處理，雖然這樣是將投資的種類進行了限制，但這并未從根本上處理了該摩擦因數，可以從此處入手，對模型進行再一次改進，使其更貼近實際的投資市場，從而更好的指導投資者進行理性投資。

[1]Dentcheva D., Ruszczynski A. Optimization with stochastic domi?nance constraints[J].SIAM Journal on Optimization,2003,14:548–566

[2]Dentcheva D.,Ruszczynski A. Optimality and duality theory for sto?chastic optimization problems with nonlinear dominance constraints[J].Math.Programming,2004,99:329–350

[3]Dentcheva D., Ruszczynski A. Portfolio Optimization with Stochas?tic Dominance Constraints[J]. Journal of Banking and Finance ,2006,30(2):433–451

[4]Dentcheva D., Ruszczynski A. Stochastic Dynamic Optimization with Discounted Stochastic Dominance Constraints[J].SIAM Journal of Con?trol&Optimization,2008,47(5):2540–2556

[5]Luedtke J.New formulations for optimization under stochastic domi?nance constraints[J]. SIAM Journal on Optimization, 2008,19(3):1433–1450

[6]Rudolf G.,Ruszczynski A. Optimization problems with second order stochastic dominance constraints: duality, compact formulations, and cut generation methods[J] . SIAM Journal on Optimization ,2008, 19(3) 1326–1343

[7]樊治平,姜廣田,張堯,張曉.一種基于隨機占優的多種信息形式的MADM方法[J].運籌與管理,2010(1):37-42

[8]胡支軍,彭飛,黃登仕.一個推廣的半絕對離差證券組合投資模型[J].系統工程,2004(3):57-61

[9]劉燕武,張忠禎.基于實際收益率分布的均值方差條件風險價值多目標投資優化模型[J].系統管理學報,2010(4):444-450

[10]譚妮.基于風險偏好的投資組合模型研究[D].湖南大學.2010

[11]唐惠.隨機占優約束的投資組合模型在股票市場的應用[J].現代商業,2014