三平移并聯(lián)機(jī)器人正解解析法的研究

蒙運(yùn)紅 金 逸 黃 進(jìn)

(1.華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院 武漢 430074)(2.長(zhǎng)江科學(xué)院儀器所 武漢 430010)

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三平移并聯(lián)機(jī)器人正解解析法的研究

蒙運(yùn)紅1金 逸2黃 進(jìn)1

(1.華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院 武漢 430074)(2.長(zhǎng)江科學(xué)院儀器所 武漢 430010)

論文對(duì)3-PUU三平移并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)建模,并通過(guò)置換消元法推導(dǎo)出該機(jī)構(gòu)位置正解的解析式,實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了正解算法的正確性,并利用正解解析式得出了該機(jī)構(gòu)一些運(yùn)動(dòng)特性,為該類型并聯(lián)機(jī)器人的實(shí)時(shí)反饋控制提供了理論依據(jù)。

三平移; 機(jī)構(gòu); 并聯(lián); 機(jī)器人; 運(yùn)動(dòng)學(xué); 正解

Class Number TP29

1 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解是研究進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的基礎(chǔ)[1～3],其解法主要有數(shù)值法和解析法。數(shù)值法的速度慢、并且不一定能求出所有可能的解,解析法求解需要建立復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型,其公式推導(dǎo)及計(jì)算過(guò)程相當(dāng)繁雜,不同的機(jī)構(gòu)復(fù)雜度也有很大差異。在對(duì)稱結(jié)構(gòu)的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解求解方法中,很多學(xué)者[4～7]分別求出了平面機(jī)構(gòu)3-RRR、3-RPR和空間機(jī)構(gòu)3-RPR和3-RPS位姿正解的解析式。魯開講等[8]和高征[9]采用不同方法求出球面三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿方程的全部解。針對(duì)非對(duì)稱結(jié)構(gòu),劉治志等[10]求出了2-UPS&PRR位姿正解的解析解,郭玉等[11]對(duì)過(guò)約束的2-RTR&RSR機(jī)構(gòu)進(jìn)行了位姿正解建模,并求出其數(shù)值解。黃俊杰[12]等結(jié)合遺傳算法求出3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)數(shù)值解。本論文對(duì)圖1所示的具有對(duì)稱結(jié)構(gòu)的3-PUU三平移并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解進(jìn)行了推導(dǎo),得出了其終端執(zhí)行器位置計(jì)算的解析表達(dá)式,為該種類型機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的適時(shí)控制提供了理論基礎(chǔ)。

2 三平移并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正解

如圖1所示,電機(jī)帶動(dòng)三滑塊上下運(yùn)動(dòng),通過(guò)12個(gè)虎克鉸鏈和三個(gè)平行四邊形機(jī)構(gòu),帶動(dòng)終端執(zhí)行器沿水平(X)、垂直(Y)和鉛垂(Z)方向移動(dòng),終端執(zhí)行器上加有旋轉(zhuǎn)主軸,刀具與主軸相連。其機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖如圖2所示。A1,A2,A3分別為三滑塊上萬(wàn)向節(jié)鉸鏈中心,C1,C2,C3為絲杠中心線與工件臺(tái)表面交點(diǎn),B1,B2,B3為動(dòng)平臺(tái)上萬(wàn)向節(jié)鉸鏈中心。D1,D2,D3為滑塊上萬(wàn)向節(jié)鉸鏈中心在工作臺(tái)表面的投影。△A1A2A3,△B1B2B3,△D1D2D3均為等邊三角形。設(shè)△D1D2D3的內(nèi)心為固定坐標(biāo)系原點(diǎn)O,與D1D2平行的方向?yàn)閄軸方向,向右為正。垂直向里為Y軸正,豎直向上為Z軸正,A1D1=s1,A2D2=s2,A3D3=s3。設(shè)△B1B2B3的內(nèi)心為動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)o,與B1B2平行的方向?yàn)閤軸方向,向右為正。垂直向里為y軸正,豎直向上為Z軸正。x,y,z與X,Y,Z三軸分別相互平行。

圖1 三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)

圖2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖及坐標(biāo)系定義

并聯(lián)機(jī)器人正解就是根據(jù)三滑塊的位移s1,s2,s3,求出動(dòng)坐標(biāo)系上刀尖點(diǎn)在固定坐標(biāo)系下的的坐標(biāo)(x,y,z),即求(x,y,z)=F(s1,s2,s3)。

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)尺寸為:固定平臺(tái)三角形邊長(zhǎng)l1=lD1D2=lD2D3=lD3D1,動(dòng)平臺(tái)三角形邊長(zhǎng)l2=lB1B2=lB2B3=lB3B1,連桿長(zhǎng)度,即萬(wàn)向節(jié)鉸鏈中心的距離l3=lA1B1=lA2B2=lA3B3,刀具加工點(diǎn)到萬(wàn)向節(jié)鉸鏈中心所在平面的距離l4。

三滑塊萬(wàn)向節(jié)鉸鏈中心Ai(xAi,yAi,zAi),i=1,3,在固定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)可表示如下:

根據(jù)定長(zhǎng)條件可得:

(1)

其中Bi(xBi,yBi,zBi),i=1,3為動(dòng)平臺(tái)三個(gè)鉸鏈中心在固定坐標(biāo)系O-XYZ下的坐標(biāo)。

因?yàn)閯?dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)中始終水平,故zB1=zB2=zB3

又有△B1B2B3為等邊三角形,故

(xB1-xB2)2+(yB1-yB2)2=(xB2-xB3)2+(yB2-yB3)2

=(xB3-xB1)2+(yB3-yB1)2

刀尖點(diǎn)的坐標(biāo)可以分別表示為

將Ai(xAi,yAi,zAi)和Bi(xBi,yBi,zBi)代入方程(1),可得(x,y,z)關(guān)于(s1,s2,s3)的方程如下:

設(shè)L=l1-l2,zB=zB1=zB2=zB3=z+l4,則上式可簡(jiǎn)化為

(5)

式(2)+式(3)-2×式(4)化簡(jiǎn)得:

(6)

展開化簡(jiǎn)后得:

±分別對(duì)應(yīng)B點(diǎn)處于A點(diǎn)之上或之下的位置。如圖所示機(jī)構(gòu),B點(diǎn)處于A點(diǎn)之下,故取

(7)

將式(7)代入式(5)和式(6)即可求出x、y的值,從而求得三平移并聯(lián)機(jī)器人位置正解的解析式。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)室中機(jī)器機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)尺寸如下:

l1=371mm,l2=175mm,l3=406mm,l4=113mm

實(shí)驗(yàn)開始,調(diào)整三軸在同一水平面內(nèi),即三滑塊初始位置s1=s2=s3=533mm;使Ⅰ軸滑塊往上運(yùn)動(dòng)20mm,Ⅱ軸滑塊往下運(yùn)動(dòng)20mm,Ⅲ軸不動(dòng)。則初始和結(jié)束兩個(gè)狀態(tài)的計(jì)算結(jié)果如表1所示,實(shí)際測(cè)量結(jié)果如表2所示。

表1 正解計(jì)算結(jié)果

表2 實(shí)測(cè)結(jié)果

由表1、表2可以看出計(jì)算結(jié)果和實(shí)測(cè)結(jié)果基本符合,由于所用測(cè)量工具為卷尺,故存在一定誤差,但說(shuō)明本論文的正解算法是正確的。

根據(jù)三平移并聯(lián)機(jī)器人位置正解的解析式,可以得到該并聯(lián)機(jī)器人的一些運(yùn)動(dòng)特性。

1) 當(dāng)s1=s2=s3=s時(shí),x=y=0,

說(shuō)明若希望刀尖沿Z軸運(yùn)動(dòng),只需使三滑塊同速同向運(yùn)動(dòng),此時(shí)刀尖與三滑塊同速同向運(yùn)動(dòng)。

2) 當(dāng)s1=s2時(shí),由式(5)x=0。

說(shuō)明當(dāng)相鄰兩軸同高運(yùn)動(dòng)時(shí),或該兩軸不動(dòng)第三個(gè)軸單獨(dú)運(yùn)動(dòng)時(shí),刀尖在固定坐標(biāo)系下的投影沿Y軸方向運(yùn)動(dòng),或者說(shuō)在OYZ平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

4 結(jié)語(yǔ)

論文首先用輸出點(diǎn)即刀尖點(diǎn)的坐標(biāo)表示動(dòng)平臺(tái)上三個(gè)鉸鏈點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)定長(zhǎng)條件得到刀尖點(diǎn)坐標(biāo)與輸入位移關(guān)系的三個(gè)方程,通過(guò)置換消元法,求得三平移并聯(lián)銑床刀尖點(diǎn)的位置坐標(biāo)解析式,實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了解析解的正確性,并利用解析解得出了該機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的一些運(yùn)動(dòng)特性。為該類型并聯(lián)機(jī)器人的實(shí)時(shí)反饋控制提供了理論依據(jù)。

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Analytic Positive Solution Algorithm of 3-d.o.f Translational Parallel Robot

MENG Yunhong1JIN Yi2HUANG Jin1

(1. School of Mechanics, Huazhong University of Science & Technology, Wuhan 430074) (2. Instrument Institute, Yangtze River Scientific Research Institute, Wuhan 430010)

The analytic expression of the positive solutions of mechanism position of the 3-PUU 3-d.o.f translational parallel robot is derived by kinematics modeling and the displacement elimination in this paper. The analytic positive solution algorithm is verified by the experiments, and used to obtained some movement characteristics of the mechanism, and provides theory basis for real-time feedback control of this type of parallel robot.

3-d.o.f translational, mechanism, parallel, robot, kinematics, positive solutions

2015年4月10日,

2015年5月29日

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(編號(hào):51275363)資助。

蒙運(yùn)紅,女,博士,高級(jí)工程師,研究方向:機(jī)械設(shè)計(jì)及理論。金逸,男,高級(jí)工程師,研究方向:機(jī)械制造及工藝設(shè)備自動(dòng)化。黃進(jìn),女,高級(jí)工程師,研究方向:機(jī)械制造及工藝設(shè)備自動(dòng)化。

TP29

10.3969/j.issn.1672-9730.2015.10.017