談數形結合在高中數學中的應用

李春長

【摘要】用數形結合來解題，不僅是高中數學的重要解題方法，而且是一種重要的思維方法，也是銜接代數與幾何的紐帶，數形結合方法的應用有助于教師提高教學的效果，有助于學生提升解題的效率和速度。

【關鍵詞】數學 數形結合 效率

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）01-0156-01

“數”與“形”反映了數學兩個方面的屬性。數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想。數形結合方法的應用有助于學生理解題意，探求解題思路，檢驗解題結果，避免冗繁的代數運算，從而能迅速準確地作出解答。

一、數形結合思想對高中數學的意義

（一）數形結合能夠提高教學效果

高中數學是對學生抽象思維和具體思維的全方位考驗，教材和試題的編寫側重對學生的鍛煉與啟發，出題的過程中，只是單獨給出數據或者圖形，這就需要教師在展現解題步驟的過程中，補充相應的圖形或數量，數形結合方法的運用有助于學生理解題目的含義，準確地分析和把握解題思路，實現思維的轉化。同時規范的圖形可以對教師正確傳達解題方法、啟發和培養學生思維、提高教學效果起到事半功倍的效果。

（二）數形結合能夠提高解題速度和效率

從高中數學的知識體系來看，復雜、抽象的知識比較多，學生單憑教師的口頭描述和自己的苦思冥想是無法解出習題答案的，尤其是在課下做題的時候，如果缺少恰當的方法，只能是事倍功半。但事實上，一些看似復雜的方程或等式，都可以圖象來找到思路。例如給出等式（x-3）2+y2=9，求y/x的最大值時，如果單靠代數法解方程是不容易得出答案的，但如果先畫出圖形以（3，0）為圓心、以3為半徑的圓，通過看圖形的位置，就能輕易看出求的是斜率。

三、數形結合的應用范圍

高中數學中數形結合是最常用的解題方法，該方法適用的范圍包括代數、幾何與解析幾何題型，基本涵蓋了整個高中數學的知識模塊，具體應用范圍如下：

（一）解決集合問題：即在集合運算中借助于數軸、維恩圖來處理集合交、并、補等運算。

（二）解決函數問題：即借助于圖象來研究函數的性質，例如對稱性、周期性。

（三）解決方程與不等式的問題：在處理方程問題時，有兩種方法可以求得方程的根，一種是算術法計算，第二種就是通過畫圖看圖象與X軸的交點個數確定方程的根；處理不等式時，從題目的條件出發，聯系相關函數，從圖形上找出解題的思路。

（四）解決三角函數問題：三角函數的單調區間與周期問題是學生學習的難點，數形結合的應用可以處理此類問題，通過圖象的走向可以準確確定三角函數的增區間與減區間。

（五）解決線性規劃問題：線性規劃問題往往解決的是實際應用問題，即在約束條件下求目標函數的最值的問題，數形結合能準確判斷最值出現的區域和交點。

（六）解決數列問題：即通過研究數列的特征，根據通項公式以及給出的前n項分析數列的基本規律，從而把數列的有關問題轉化為函數的有關問題來解決。

（七）解決解析幾何問題：解析幾何的基本思想就是數形結合，它是數形結合存在的基本依據。它主要將數形結合的數學思想運用于對點、線、曲線的性質及其相互關系的研究中。

（八）解決立體幾何問題：立體幾何中通過用坐標的方法將幾何中的點、線、面的性質及其相互關系用代數運算的方式代替，簡化了運算步驟，減小了抽象思維帶來的困難。

四、數形結合的實施原則

數形結合在高中數學中的應用范圍廣泛，并且就效果而言，無論是對于教師授課，還是學生自己解題，數形結合都簡化了解題過程、化抽象為具體，提高了解題的速度和效率。但是要想更好地掌握數形結合的思想，教師還應該在方法傳授的過程中注意以下幾點：

（一）根據題中給出輔助圖形的情況，教師要指導學生仔細讀題，分析給出的條件，認真觀察圖形，分析圖形中所包含的數量關系。

（二）根據純文字題型，教師要引導學生學會畫相關的輔助圖，并且是準確的繪制圖形，以便清晰地表現出數量間的關系。

（三）在整個過程中，教師要始終把“數”與“形”的對應關系作為傳授方法的關鍵點，只有讓學生明白數形結合的精髓，才能使其將數形結合靈活應用于數、形間的轉化。

綜上，數形結合的實質就是將抽象數學語言與直觀圖形結合起來，將抽象思維和形象思維結合起來，盡量實現抽象思維到形象思維的轉化。數形結合的方法提高了教師的數學教學效果，同時提高了學生的解題速度和效率，它的應用貫穿高中數學知識的各個模塊，它也是學生學好、學通數學的關鍵。作為教師應把傳授學習方法作為授課的主要任務，盡量幫助學生做到在解決代數問題時立即想到它對應的圖形、找準數量間的關系，從而啟發思維，找到解題之路。

參考文獻：

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