y=a₁x²+b₁+c₁/a₂x²+b₂+c₂（a₁，a₂不同時為零）值域的求法探討

朱鴻

【關鍵詞】函數 值域

【中圖分類號】O119 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）01-0117-02

比較多，但這些方法的出現往往都是為了應用函數的某個性質或知識點的需要，如函數的單調性、基本不等式等，比較凌亂，缺乏系統性。在什么情況下用什么方法比較好，在什么情況下那些方法不能用，沒有進一步探討和甄別，結果出現情況發生了改變，而仍然沿用某個方法，導致結果錯誤. 下面本人就求解這類函數值域問題，略作探討。

一、判別式法

當函數的定義域是由函數本身確定，沒有任何人為的限制，這時用判別式法比較好。

的形式，此時可把方程（2）看作關于的一元二次方程。因為函數的定義域不為空集，所以方程（2）有實數根，因此判別式

△[b（y）]2-4a（y）c（y）≥0 （3）

解不等式（3），記所得到的y的取值范圍為M.那么M是否為函數（1）的值域？關鍵要看從函數（1）變形到方程（2）是否為同解變形，自變量x的取值范圍是否擴大或縮小，方程（2）解的討論是否影響y的取值范圍？下面就這個問題分情況進行討論。

1.當函數的定義域是R，即對任意實數x，a2x2+b2x+c2≠0時，從函數（1）變形到方程（2）是同解變形。

顯然x=x0不是方程（2）的解。所以，從函數（1）變形到方程（2）也是同解變形。

即在定義域的這兩種情況下，從函數（1）變形到方程（2），自變量的取值范圍沒發生變化，不會影響y的取值范圍，那么再看方程（2）解的討論是否會對y的取值范圍產生影響。

（I）若對于任意的y∈M，有a（y）≠0，由一元二次方程根判別式可知，方程（2）有實根與不等式（3）是互為充要條件，對y的取值范圍沒影響，所以函數（1）的值域是M。

（II）若存在y0∈M，使a（y0）=0，此時方程（2）是關于的一次方程：

b（y0）x+c（y0）=0 （4）

若[b（y0）]2-4a（y0）c（y0）>0，則b（y0）≠0，方程（4）有解，對y取值范圍沒影響，所以函數（1）的值域是M。

若[b（y0）]2-4a（y0）c（y0）=0，則b（y0）=0，此時，當c（y0）=0時，方程（4）恒成立，顯然有解，對y的取值范圍沒影響，所以函數（1）的值域是M。當c（y0）≠0時，方程（4）無解，這時y0不是函數（1）的函數值，所以函數（1）的值域是M中剔除y0所得的集合。

綜上討論，有下面結論：

解∵ x2+x+1>0

∴函數的定義域為R

將原函數變形，得

（y-1）x2+（y+1）x+y+1=0

當y≠1時，因為函數的定義域不為空集，所以，上面方程有解，因此

△=（y+1）2-4（y-1）2≥0

解∵x2-x-2≠0

∴x≠-1且x≠2

∴函數的定義域為{x∈R|x≠-1且x≠2}，并且x=-1或x=2時，分子x+4≠0

將原函數變形，得

yx2-（y+1）x-（2y+4）=0

當y≠0時，因為函數的定義域不為空集，所以，上面方程有解，因此

△=（y+1）2+8y（y+2）≥0

當y=0時，解得x=-4，且-4∈{x∈R|x≠-1且x≠2}

所以函數的值域為