關于次矩陣次正交性幾點探究

陳海疆

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）01-0115-01

1.引言

定義3 若AST=A（-A），則稱A為（反）次對稱矩陣

若AAST=ASTA=I，即A-1=AST稱A為n階次正交矩陣。

2.次正交性

引理1[7] A，B為次正交陣矩陣

（1）若|AB|=-1則|A+B|=0

（2）若|A|+|B|=0則|A+B|=0

（3）|A|=|AST|

定理1 A，B為次正交陣，

（1）若（-1）n|A|=-1則|I-A|=0

（2）若|A|=-1則|I+A|=0

（3）若（-1）n|AB|=-1則|A-B|=0

（4）若n為奇數，則|（A+B）（A-B）|=0

證明：（1）由引理1（3）可有：

|I-A|=|（I-AST）|=|I-AST|=|AST||A-I|=（-1）n|A||I-A|=-|I-A|？圯|I-A|=0

（2）|I+A|=|I+AST|=|AST||A+I|=|A||A+I|=-|I+A|？圯|I+A|=0

（3）|A-B|=|AB-1B-AA-1B|=|A||B-1-A-1||B|=|AB||BST-AST|=|AB||B-A|=（-1）n|AB||A-B|=-|A-B|？圯|A-B|=0

（4）|（A+B）（A-B）|=|A+B||A-B|=|AB-1B+AA-1B||AB-1B-AA-1B|=|AB||A+B|（-1）n|AB||A-B|=（-1）n|A|2|B|2|A+B||A-B|=-|A+B||A-B|=-|（A+B）（A-B）|？圯|（A+B）（A-B）|=0

引理 4 對于任意一個n級實矩陣A，都存在一個n級正交矩陣P，使得PTAP=P-1AP=diag（λ1，λ2，…λn）成對角形，其中λ1，λ2，…λn為A的特征值。

定理3 A，B為n×n的次對稱矩陣，AB也為次對稱矩陣當且僅當A，B可交換。

證明：必要性：已知AB為次對稱矩陣即（AB）ST=AB

又A，B為次對稱矩陣即AST=A，BST=B，所以

AB=（AB）ST=BSTAST=BA即A，B可交換

充分性：已知AB=BA且A，B為次對稱矩陣

則（AB）ST=BSTAST=BA=AB

以AB也為次對稱矩陣

定理4 設A是反次對稱矩陣則對于任一個n維向量X有XSTAX=0

證明：設對于任一個n維向量X有XSTAX=Y （？鄢）

Y是一個一維變量

對（？鄢）式兩邊對次轉置得（XSTAX）ST=XSTASTX=YST=Y

由于A是反次對稱矩陣則AST=-A則有XSTASTX=- XSTAX=-Y=Y所以Y=0

定理得證

參考文獻：

[1]王文惠.關于次正交矩陣[J].渝州大學學報（自然科學版）， 1998.（6）

[2]袁暉坪.次正交矩陣與次對稱矩陣[J].西南師范大學學報（自然科學版）， 1984.（4）

[3]袁暉坪，張勇，黃永忠.次正交矩陣與次合同矩陣[J].渝州大學學報（自然科學版），1983

[4]楊子胥，高等代數習題解[M]. 山東科學技術出版社（修訂版）， 2001.（9）

[5]北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數[M] .高等教育出版社， 1978，234-238

[6]張賢科，許甫華.高等代數學[M].清華大學出版社，235-248

[7]陳琳亞.次正交矩陣及性質[J].南通師范學院，周口師范學院學報， 2004（9）

[8]林亞南.高等代數復習材料[J].廈門大學，廈門大學出版社，58-90