運用運動的觀點來解決數學問題

王勝軍

摘 要：運動是永恒的，靜止是相對的，用運動變化的觀點看事物，往往最能把握事物間的本質聯系。如立體幾何中的點到線、線到面、面到面的距離，變化的根本原因在一個“動”字。對于數學問題也要用運動變化的觀點來研究，尤其是那些與運動有關的問題。

關鍵詞：運動的觀點 數學問題 變化 本質

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）08（c）-0126-02

在哲學中，運動是指宇宙間一切事物現象的變化和過程 ，運動是物質的固有屬性和存在方式，運動是物質的運動，運動是無條件的永恒的絕對的，靜止是有條件的暫時的相對的，靜止時運動的一種特殊狀態，任何物質都是絕對運動和相對靜止的統一。在物理學中，經常研究一些物體的變化，得出其中的運動規律。同樣，在數學領域中，運動變換的思想是學習數學、認識數學的重要思想，運動變換的問題是數學中十分普遍的問題.在平面解析幾何中，軌跡、曲線系、曲線的形狀和位置關系等問題，都蘊含了運動和變換的思想方法，這些數學內容都在更為抽象的層面上揭示了代數變換和幾何變換的相互聯系，對于深化理解概念、開闊解題思路具有重要的作用，在近幾年的高考數學中也逐步加大了對運動變換思想方法的考查力度。一些問題蘊含在點、線、面以及圖形的運動過程中，只有通過運動的觀點去研究問題，才能找到解決問題的關鍵所在。

1 在運動過程中抓住特征量的變化

例1：已知三棱錐P—ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=a，求此三棱錐體積的范圍。

分析：由題意可知，ΔPAB與ΔPAC為全等的正三角形，邊長為a。而棱BC邊長在變化，設點C到面PAB的距離為d，則若把ΔPAB固定，則ΔPAC繞直線AP旋轉，在這個旋轉過程中，ΔPAB與ΔPAC重合時，d=0，若ΔPAB與ΔPAC所在面垂直時，d達到最大值a，0<。

例2，已知拋物線y=x-上兩點A、B的橫坐標分別是-1，1，在拋物線弧AB上求點C，使ΔABC的面積取最大值。

分析：設點C到直線AB的距離為d，則=|AB|·d，過點C作直線l‖AB，l到AB的距離也為d，當C在弧上運動時，直線l與AB的距離最大即d最大，由A（-1，-2），B（1，0）知，又，令，x=0，則直線l與弧相切與點（0，0），即點C坐標為（0，0），此時d=，=|AB|×=1

以上兩個例子，盡管三棱錐，三角形在變化，但只要抓住它們的特征量，即它們的高，研究其特征量的變化，問題就會迎刃而解。

2 在運動過程中抓住“臨界狀態”

例3，已知圓E：，點F（），P是圓E上任意一點。線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q。

（1） 求動點Q的軌跡M的方程。

（2） 已知A，B，C是軌跡M上的三個動點，點A在第一象限，B與A關于原點對稱，且|CA|=|CB|，問ΔABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相應直線AB的方程；若不存在，請說明理由。

解：（1）Q在線段PF的垂直平分線上，所以|QF|=|QP|，得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=4

又EF=2<4，得Q的軌跡是以E，F為焦點，長軸長為4的橢圓，故動點Q的軌跡方程為。

（2）由點A在第一象限，B與A關于原點對稱，設AB：y=kx（k>0），|CA|=|CB|

C在AB的垂直平分線上，CO：y=-x.由y=kx和得（1+4）x=4，|AB|=2|OA|=2=4，同理可得|OC|=2，=4，，當且僅當k=1時取等號，所以S，當AB：y=x時。

例4，若關于x的方程=有正數解，求實數a的取值范圍。

分析：本題運用數形結合的思想，函數y=，y=，函數y=可看成是由函數y=左右平移得到的，在這個平移運動過程中，要滿足條件，只要抓住兩個“臨界狀態”：即y=經過點（1，0）和（0，1），即a=0和a=-2，在這兩個“臨界狀態”之間滿足要求，-2

可以看出，只要抓住“臨界狀態”，也就抓住了適合條件和不適合條件的“分水嶺”，從而使問題有難到易。

3 在運動過程中建立目標函數

在研究炮彈的運行時，我們可以建立炮彈所處位置與時間的函數關系式，通過對這一目標函數的研究，便能掌握其運動過程。

例5，正方形ABCD，ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a（0

（1） 求MN的長。

（2） 當a為何值時，MN的長最小。

分析：點M、N分別在AC和BF上運動，CM=BN=a，在這樣一個運動過程中MN的長可以表示為關于a的函數，作MP‖DC交BC與P，作NQ‖EF交BE與Q，則四邊形MNQP為平行四邊形，又由CM=BN=a可得：BP=1-a，BQ=a.MN=PQ==（0

通過對這個函數的研究可以發現：當M從C點開始移動到A的過程中，MN的長先逐漸變小又逐漸變大，并且當a=即MN、為AC、BF的中點時，MN的長最小。

例6，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，點E滿足|AB|=|EC|，雙曲線過C，D，E三點，且以A，B為焦點，當時，求雙曲線離心率e的取值范圍。

分析：本題中點E在AC上運動，即從AC的處移動到處，從而使雙曲線形狀引起改變，雙曲線的離心率e也隨之改變。可以看出，在這個運動過程中，先把點E的坐標表示為的函數，再把點E代入雙曲線方程，便可建立起與e的函數關系式。

建立直角坐標系，設A（-c，0），C（，h），E（），由定比分點公式，得到關于的函數將（），C（，h）代入橢圓方程，得到消去，便可得到e關于的函數關系式。E=（）。

可以看出，當點E從AC的處移動到時，離心率e由。

參考文獻

[1] 張小雨.用運動的觀點解立體幾何問題[J].中學生數理化（高二），2007（3）：31-32.

[2] 董秋霞.用運動的觀點解高考題[J].數理天地：高中版，2010（11）.

[3] 何志街.用運動、發展的觀點探索數學問題[J].數學教學通訊：教師閱讀，2007（9）：62-64.