張芳馨，呂躍進（.廣西大學　電氣工程學院，廣西　南寧　530004；.廣西大學　數學與信息科學學院）

基于空間可能度的區間粗糙數多屬性決策方法

張芳馨1，呂躍進2
（1.廣西大學電氣工程學院，廣西南寧530004；2.廣西大學數學與信息科學學院）

摘要：首先利用二維直角坐標系定義了一種區間粗糙數的空間可能度，說明了其幾何意義并證明了相關的性質.該定義全面直觀地比較了兩個區間粗糙數的大小，并準確地將區間粗糙數的大小比較轉化為區間數可能度的計算.其次給出了一種基于空間可能度的區間粗糙數多屬性決策方法.最后通過實例說明該方法的有效性與實用性.

關鍵詞：區間粗糙數；空間可能度；多屬性決策；二維空間

多屬性決策是考慮在多個屬性或指標下，從多個備選方案中選出最佳方案或對備選方案進行優劣排序的決策問題.多屬性決策是決策科學的重要方法之一，其可應用在投資決策、評估項目、工程選址、部門綜合評價等諸多領域及項目中.由于事物都存在著人為的或客觀的不確定性，因此不確定理論具有極大的學術價值及發展前景，近年來，對不確定信息問題的處理也引起了學術界的廣泛關注.在多屬性決策中，有時屬性值的信息難以用確切的數值[1]來表達，文獻[1-3]中的屬性值用區間數來表示，直覺模糊數[4]、區間直覺模糊數[5]、三角模糊數[6，7]、梯形模糊數[8，9]等也都曾被當做屬性值的不確定形式給出.區間粗糙數是一種不確定型數值的表達方式，通過給定上近似和下近似的區間值，確定數值的最大范圍和最可能范圍，最大程度地保留了完整的數值信息.這種形式的屬性值可以通過統計計算得到.區間粗糙數將信息控制在一個大區間的同時，又以極大的概率屬于一個小區間中，將可用信息充分利用.2010年曾玲等首先給出屬性值為區間粗糙數的基本定義及運算法則，并構建了優先序信息的多屬性決策模型.文獻[11]給出了基于理想點的區間粗糙數比較方法，但其比較公式實際意義有所不足，文獻[12]給出了基于可能度的區間粗糙數比較方法，但其可能度公式并沒有給出理論依據.本文針對屬性值為區間粗糙數的多屬性決策問題進行了研究，首先利用二維直角坐標系，定義了區間粗糙數的空間可能度，根據區間粗糙數落入不同區間的概率不同，全面的考慮了任意情況下區間粗糙數的大小.然后針對屬性值為區間粗糙數，屬性權重已知情況，給出了一種基于空間可能度的排序方法，并購建立以此為基礎的多屬性決策模型，使其具有可行性及有效性.

1　基本概念

定義1[10]區間粗糙數是下近似和上近似均為區間的粗糙集，記為（[a，b]，[c，d]），其中c≤a≤b≤d.

定義2[10]設ξi=（[ai，bi]，[ci，di])（i=1，2)為兩個區間粗糙數，k為實數，則有

定義3[10]設ξ=（[a，b]，[c，d])為區間粗糙數，則ξi的期望值為

定義4[10]設ξi=（[ai，bi]，[ci，di])（i=1，2)為兩個區間粗糙數，則它們的相離度定義為

2　區間粗糙數的空間可能度定義

區間粗糙數可以看做一種特殊的區間數，目前諸多文獻都給出了關于區間數的比較方法，文獻[13]根據二維空間給出區間數的可能度公式如下.

定義5[13]設區間數a=[a-，a+]和區間數b=[b-，b+]，則a≥b的可能度P（a≥b)的定義為

利用定義5，本文構造了區間粗糙數的空間可能度.根據區間粗糙數的基本定義，可知區間粗糙數ξ=（[a，b]，[c，d])只可能在區間[c，d]中，在區間[a，b]中是一定可接受的，故設定ξ=（[a，b]，[c，d])落入區間[c，a]概率為λ1，落入區間[a，b]的概率為λ2，落入區間[b，d]的概率為λ3，且滿足λ1+λ2+λ3=1，其中λ2≥0.6.

定義6設區間粗糙數ξ1=（[a1，b1]，[c1，d1])與ξ2=（[a2，b2]，[c2， d2])，則稱為ξ1≥ξ2的空間可能度，其定義為：

a1，b1，c1，d1，a2，b2，c2，d2將ξ1與ξ2圍成的矩形分割成9個部分，如圖2-1所示.其中S1為以（c1，c2)，（c1，a2)，（a1，c2)和（a1，a2)為頂點的矩形的面積，其幾何意義為ξ1=（[a1，b1]，[c1，d1])落入[c1，a1]時，同時ξ2=（[a2，b2]，[c2，d2])也落入[c2，a2]，在此概率下ξ1與ξ2所構成的矩形，則此時ξ1≥ξ2的可能度為：

其中X1=（c1，a1]，Y1=[c2，a2].為方便計算，同時令X2=（a1，b1]，X3=[b1，d1]，Y2=（a2，b2]，Y3=[b2，d2].

圖2-1

由此可得在ξ1與ξ2落入其他區間的可能度（1≤i≤9)如下：

定義6全面的考慮了ξ1與ξ2在任何情況下的比較，根據空間可能度公式，可將區間粗糙數的大小比較轉換為區間數的大小比較，利用區間數可能度的二維定義進行計算.定義6的理論依據及幾何意義解釋如下：

區間粗糙數ξ1=（[a1，b1]，[c1，d1])與ξ2=（[a2，b2]，[c2，d2])分別表示在二維直角坐標系的X軸與Y軸上，畫一條直線y=x，此時ξ1與ξ2圍成的概率面積可被切割為兩大部分，如圖2-2所示.

圖2-2

由此可知：

設區間粗糙數ξ1=（[a1，b1]，[c1，d1])與ξ2=（[a2，b2]，[c2，d2])，根據兩個區間粗糙數的上近似[c1，d1]與[c2，d2]在平面直角坐標系中畫出一個矩形，其四個頂點分別為（c1，c2)，（c1，d2)，（d1，c2)和（d1，d2)，記其概率加權面積為S總.直線y=x將矩形分成兩個部分，落入下半部分的概率加權面積記為S下，落入上半部分的概率加權面積時記為S上，則稱ξ1≥ξ2的可能度為：

由圖2-2易知此定義的幾何含義：由下近似[c1，d1]與[c2，d2]所圍成的矩形被直線y=x分成S上與S下兩部分，S下區域由所有ξ1≥ξ2的點所構成，S上區域為所有ξ2≥ξ1的點構成，而在直線y=x上的點則為ξ1=ξ2.因此可知本定義合理有效，并且其直觀簡練的表達出了區間粗糙數空間可能度的意義.

定義6滿足如下性質：

性質1設ξi=（[ai，bi]，[ci，di])（i=1，2)，則

當且僅當d2≤c1（3）當且僅當d1≤c2

由定義6，易證（1），（2），（3），由文獻13中給出的定義

5的性質易證（4），（5），在此不再贅述，現對性質（6）進行證明.

①當a3≤c1時，P（X1≥Z1)=1，根據區間數可能度的性質可知0≤P（Y1≥Z1)≤1，故P（X1≥Z1)≥P（Y1≥Z1)得證.

②當c3≥a2時，P（Y1≥Z1)=0，根據區間數可能度的性質可知0≤P（Y1≥Z1)≤1，故P（X1≥Z1)≥P（Y1≥Z1)得證.

③當c3≤a2≤c1≤a3時，

P（X1≥Z1)-P（Y1≥Z1)=1-

因為a3-c1≤a3-c3且a3-c1≤a1-c1，故

又因為a2-c3≤a3-c3且a2-c1≤a1-c1，

綜上，P（X1≥Z1)≥P（Y1≥Z1)成立，則（ξ2≥ξ3)成立，同理可得為正整數），故得證.所以P（X1≥Z1)-P（Y1≥Z1)≥0

3　建立基于空間可能度的多屬性決策模型

區間粗糙數的多屬性決策問題：給定m個方案，n個獨立的屬性，屬性權重信息已知且為實數.設S={S1，S2，…，Sm}為方案集，Q={Q1，Q2，…，Qn}為指標集，W={w1，w2，…，wn}為評價指標權重的向量，其中wj表示指標Qj的權重，滿足wj≥0，且.方案Si關于屬性Qj的屬性評價值ξij=（[aij，bij]，[cij，dij])（i=1，2，：m;j=1，2，…，n)為區間粗糙數，因此構成了區間粗糙數決策矩陣A=（ξij)m×n，目標是在多個方案中找出最優的方案.

步驟一：某些指標的屬性值越大越好，稱為效益型指標;有些指標的屬性值越小越好，稱為成本型指標;這些屬性不便于直接從數值大小判斷備選方案的優劣，因此需要對數據進行預處理，使性能越優的屬性值越大.可采用下列極差比例轉換法[10]：

（1）對于收益型屬性，可根據公式轉換為

（2）對于成本型屬性，可根據公式轉換為

步驟二：設mij為第i個方案Si在第j個屬性Qj下規范化后的屬性值，wj為第j個屬性的權重，則通過對規范化后的指標值求得綜合評價值M（Si):

步驟三：利用定義6的區間粗糙數空間可能度的公式，計算得出各個方案的綜合屬性值M（Si)之間的空間可能度Pij=P（M（Si)≥M（Sj)）（i，j∈N），并構建空間可能度集合以進行比較.

步驟四：利用方法FPSM中的公式，求得空間可能度矩陣的排序向量，Z=（z1，z2，z3，z4，z5)，根據其數值大小得到最優的備選方案，排序公式如下：

4　實例分析

某單位計劃投資一個項目，初步選取了5個備選項目（i=1，2，3，4，5），并構建了4項指標：投資額（Q1)，期望收益（Q2)，風險盈利（Q3)，風險損失（Q4)，這里期望收益（Q2)和風險盈利（Q3)為效益型屬性，投資額（Q1)和風險損失（Q4)為成本性屬性.備選方案的指標值全部以區間粗糙數的形式給出，如表1所示.

利用轉換公式（11)、（12)對屬性值進行規范化處理，表2為規范化決策矩陣.

表1決策屬性值表

本文引用文獻[10]中各個屬性的權重值（ω1=0.3771，ω2=ω3=0.3071，ω4=0.0487），利用公式（13）求出5個投資項目的綜合屬性值M（Si)（i=1，2，3，4，5)：

M（S1)=（[0.45，0.55]，[0.31，0.71]），

M（S2)=（[0.65，0.71]，[0.56，0.84]），

M（S3)=（[0.51，0.61]，[0.36，0.75]），

M（S4)=（[0.53，0.63]，[0.43，0.74]），

M（S5)=（[0.43，0.51]，[0.35，0.63]）

表2規范化決策矩陣

利用定義8的區間粗糙數空間可能度的公式，計算得出各個方案的綜合評價值的空間可能度，并建立空間可能度的比較矩陣，P=（pij)m×n，且設定λ2=0.6，λ1=λ3=0.2.

取T=2（n-1)，利用式（14）求得空間可能度比較方案P的排序向量如下：

Z=（0.1595，0.2844，0.2016，0.2175，0.1372)由上述公式及過程求出的空間可能度的數值，可以得到5個備選方案的優劣排序結果如下:

故應優先選擇項目S2進行投資.

5　結論

本文將區間粗糙數放置到二維直角坐標系中進行比較，基于此直觀的給出了一種區間粗糙數空間可能度的定義，并證明了相關的性質.此定義通過考慮區間粗糙數分別以不同的概率落入不同區間時的大小變化來定義的，因此相對于區間粗糙數可能度的定義考慮更全面，更有理論依據.最后，通過實例證明了算法的可行性，實例結果與文獻[10]中的排序結果完全相同，證明了算法的有效性.

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基金項目：國家自然科學基金項目資助(71361002)；廣西自然科學基金項目資助(2013GXNSFAA019016)

中圖分類號：O21；C934

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2015）07-0001-04