基于負(fù)載觀測(cè)器的步進(jìn)電動(dòng)機(jī)滑模位置控制

董 雷，楊向宇，趙世偉

(華南理工大學(xué)，廣州510642)

0 引 言

步進(jìn)電動(dòng)機(jī)是一種將電脈沖信號(hào)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)角位移或線位移的控制電機(jī)，具有誤差不積累、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小、價(jià)格低廉、控制方便等優(yōu)點(diǎn)，因而被廣泛應(yīng)用在數(shù)控、印刷、噴繪、光學(xué)定位、機(jī)器人等行業(yè)［1］。傳統(tǒng)的步進(jìn)電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)器多采用開環(huán)運(yùn)行方式，其成本低，控制簡(jiǎn)單，但抗擾動(dòng)性差，易失步，因此，目前對(duì)步進(jìn)電動(dòng)機(jī)控制的研究主要集中在閉環(huán)上。

步進(jìn)電動(dòng)機(jī)最常見的閉環(huán)控制策略是傳統(tǒng)PID控制，其參數(shù)整定較為繁瑣，且對(duì)運(yùn)行工況的適應(yīng)能力較差，在系統(tǒng)快速性和穩(wěn)定性上也難以同時(shí)兼顧。文獻(xiàn)［2］根據(jù)步進(jìn)電動(dòng)機(jī)的線性或近似線性模型，推導(dǎo)了全局穩(wěn)定的自適應(yīng)控制算法，實(shí)現(xiàn)了給定信號(hào)較好的跟蹤，但該控制算法嚴(yán)重依賴于電機(jī)模型參數(shù)。文獻(xiàn)［3 -4］研究了模糊邏輯控制算法在步進(jìn)電動(dòng)機(jī)閉環(huán)控制系統(tǒng)中的應(yīng)用，但所用模糊控制規(guī)則過分依賴于經(jīng)驗(yàn)和專家知識(shí)。文獻(xiàn)［5］將遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和PID 控制相結(jié)合，設(shè)計(jì)基于遺傳算法優(yōu)化的RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID 控制器并應(yīng)用到步進(jìn)電動(dòng)機(jī)位置控制系統(tǒng)中，得到了較高精度的定位效果，但該算法復(fù)雜，實(shí)現(xiàn)較為困難。文獻(xiàn)［6 -7］研究了滑模控制算法在永磁同步電機(jī)速度控制中的應(yīng)用，提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和抗擾動(dòng)能力。滑模控制器參數(shù)少，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，響應(yīng)速度快，對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的攝動(dòng)及外部擾動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性。

本文對(duì)兩相混合式步進(jìn)電動(dòng)機(jī)的位置控制系統(tǒng)進(jìn)行了滑模算法設(shè)計(jì)，針對(duì)負(fù)載擾動(dòng)設(shè)計(jì)了負(fù)載觀測(cè)器，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了Simulink 仿真和相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)，并將滑模控制算法與傳統(tǒng)PID 控制的控制效果做了對(duì)比分析。

1 兩相混合式步進(jìn)電動(dòng)機(jī)的結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)模型

1.1 兩相混合式步進(jìn)電動(dòng)機(jī)的結(jié)構(gòu)

本文采用的混合式步進(jìn)電動(dòng)機(jī)定子為兩相八極，轉(zhuǎn)子50 個(gè)齒，如圖1 所示。定子上均勻地分布著8 個(gè)磁極，每個(gè)磁極的極靴上又均勻地分布著5個(gè)小齒，定子磁極上的小齒齒距與轉(zhuǎn)子的小齒齒距相同。轉(zhuǎn)子由環(huán)形磁鋼和兩段鐵心組成，環(huán)形磁鋼在轉(zhuǎn)子中部，在安裝時(shí)兩段轉(zhuǎn)子鐵心錯(cuò)開半個(gè)齒距。

圖1 兩相混合式步進(jìn)電動(dòng)機(jī)三維結(jié)構(gòu)圖

1.2 兩相混合式步進(jìn)電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型

采用簡(jiǎn)化的磁網(wǎng)絡(luò)模型，經(jīng)化簡(jiǎn)整理可得系統(tǒng)的電壓方程和轉(zhuǎn)矩方程:

運(yùn)動(dòng)方程:

式中:ui，ii，ri(i=A，B)分別為定子相電壓、相電流、相電阻;θ，ωr，ω，Zr分別為轉(zhuǎn)子位置電角度、轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度、轉(zhuǎn)子電角速度和轉(zhuǎn)子齒數(shù);L0，L2分別為電感基波和二次諧波恒定分量;J，B，TL分別為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、粘滯摩擦系數(shù)和負(fù)載轉(zhuǎn)矩;Im，Lsr分別為永磁體等效成的轉(zhuǎn)子電流和定轉(zhuǎn)子互感的恒定分量;ke為反電勢(shì)系數(shù)，其大小等于ZrLsrIm。

經(jīng)坐標(biāo)變換得d-q 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)矩方程:

在磁場(chǎng)定向的矢量控制中，為便于控制，一般采用id=0 的控制方式，因此，式(4)簡(jiǎn)化:

式(3)和式(5)聯(lián)立可得:

2 滑模控制器的設(shè)計(jì)

2.1 滑模面的選擇

為了在算法上較易實(shí)現(xiàn)和滿足步進(jìn)電動(dòng)機(jī)位置控制的性能要求，本文選用常見的線性滑模面，其表達(dá)式:

式中:C 為狀態(tài)矩陣，X 為狀態(tài)向量。

設(shè)θ*為步進(jìn)電動(dòng)機(jī)給定位置，θ 為轉(zhuǎn)子實(shí)際位置。令e = θ*- θ，x1= e，x2=，u = iq。聯(lián)立式(6)，可得步進(jìn)電動(dòng)機(jī)的位置誤差狀態(tài)方程:

因此選擇滑模面:

2.2 趨近律的改進(jìn)

選擇合適的滑模趨近律并加以改進(jìn)可以使系統(tǒng)得到較好的性能，并且能夠有效削弱抖振。常規(guī)指數(shù)趨近律的不足之處在于其切換帶為帶狀，系統(tǒng)在切換帶中向平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，最后不能趨近于平衡點(diǎn)，而是在趨近于平衡點(diǎn)附近進(jìn)行抖振，這可能激發(fā)系統(tǒng)未建模的高頻成分。文獻(xiàn)［8］給出了一種變指數(shù)趨近律:

修正后的時(shí)變切換增益ε':

采用飽和函數(shù)sat(s)代替理想符號(hào)函數(shù)sgn(s)能夠進(jìn)一步削弱系統(tǒng)抖振:

Δ 為一個(gè)數(shù)值較小的正常數(shù)。

因此，本文最終采用的趨近律表達(dá)式如下:

聯(lián)立式(8)、式(9)、式(13)，可得控制率:

2.3 穩(wěn)定性分析

3 負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器的構(gòu)建

傳統(tǒng)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩降階觀測(cè)器只利用積分進(jìn)行辨識(shí)［9-10］，辨識(shí)收斂速度較慢。本文將比例和積分同時(shí)加入到負(fù)載轉(zhuǎn)矩的辨識(shí)中，可提高負(fù)載轉(zhuǎn)矩辨識(shí)的收斂速度。

由于控制器采樣時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩的變化時(shí)間，所以視負(fù)載擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩為一個(gè)狀態(tài)變量，且假定它是一個(gè)恒值，則有=0。結(jié)合式(6)，得系統(tǒng)狀態(tài)方程如下:

構(gòu)建負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器:

設(shè)系統(tǒng)特征根為s1，s2，并假定B =0，設(shè)計(jì)l1=l3=0，則狀態(tài)反饋系數(shù)l2，l4的值:

由式(19)可得觀測(cè)器的極點(diǎn):

根據(jù)李雅普諾夫第一法，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，需滿足Re［s1］＜0，Re［s2］＜0，設(shè)觀測(cè)器的兩個(gè)極點(diǎn)都配置在s1=s2= -sp處(sp＞0)，因此可得l2= -，l4=-2Jsp。根據(jù)系統(tǒng)期望的特性選擇極點(diǎn)所在的位置，按照式(17)構(gòu)建負(fù)載觀測(cè)器，即可觀測(cè)出TL的值。

為實(shí)現(xiàn)狀態(tài)觀測(cè)器的數(shù)字化控制，將式(17)進(jìn)行離散化，即可得到轉(zhuǎn)速和負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)值的遞推公式:

4 控制系統(tǒng)仿真結(jié)果及分析

表1 兩相混合式步進(jìn)電動(dòng)機(jī)的參數(shù)

系統(tǒng)分別跟蹤方波和鋸齒波指令信號(hào)，方波指令為周期3 s，幅值45°的位置信號(hào)，步進(jìn)電動(dòng)機(jī)首先空載運(yùn)行，在1.5 s 時(shí)突加2 N·m 負(fù)載轉(zhuǎn)矩;鋸齒波指令為周期1 s，幅值180°的位置信號(hào)。仿真過程中采用相同的PID 控制器和滑模控制器參數(shù)，其位置響應(yīng)曲線如圖2、圖3 所示。

圖2 跟蹤方波指令仿真波形

圖3 跟蹤鋸齒波指令仿真波形

從圖2 (a)可以看出，步進(jìn)電動(dòng)機(jī)在空載運(yùn)行時(shí)，與傳統(tǒng)PID 控制相比，采用滑模控制器能更快地跟蹤方波位置信號(hào)且基本上沒有超調(diào);突加負(fù)載時(shí)，電機(jī)在PID 控制方式下有一個(gè)較為明顯的位置跌落和回升過程，而在滑模控制方式下位置跌落較小，回升較快，如圖2 (b)所示。

圖3 顯示，使用相同的控制器參數(shù)跟蹤鋸齒波位置信號(hào)時(shí)，滑模控制的響應(yīng)速度更快，位置誤差更小。由此可以看出，在兩相混合式步進(jìn)電動(dòng)機(jī)的位置控制系統(tǒng)中，滑模控制可以得到比傳統(tǒng)PID 控制更好的動(dòng)態(tài)性能，而且對(duì)不同性質(zhì)指令和負(fù)載擾動(dòng)具有更強(qiáng)的魯棒性。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本文采用的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖4 所示。系統(tǒng)由一臺(tái)86 式兩相混合式步進(jìn)電動(dòng)機(jī)、驅(qū)動(dòng)板、直流電源和上位機(jī)組成，電機(jī)相關(guān)參數(shù)同表1。為了便于對(duì)比仿真結(jié)果，在該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)下，系統(tǒng)使用兩種控制器分別跟蹤上述兩種位置指令信號(hào)。實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，將上位機(jī)兩個(gè)采樣通道中相同時(shí)間段內(nèi)的數(shù)據(jù)取出，并用MATLAB 重新繪制，實(shí)驗(yàn)波形如圖5、圖6 所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

對(duì)比實(shí)驗(yàn)波形與仿真波形可以看出，兩者結(jié)果基本一致。兩種控制器都可以使步進(jìn)電動(dòng)機(jī)快速準(zhǔn)確地跟蹤方波指令信號(hào)，且基本上無穩(wěn)態(tài)誤差，但滑模控制的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間略短于PID 控制且基本無超調(diào)，如圖5(b)所示。另外，由于實(shí)際步進(jìn)電動(dòng)機(jī)正反轉(zhuǎn)的模型參數(shù)和特性不完全對(duì)稱，PID 控制在跟蹤方波指令信號(hào)時(shí)正負(fù)超調(diào)稍有差別，如圖5(a)所示。圖6 顯示，使用相同的控制器參數(shù)跟蹤鋸齒波指令信號(hào)時(shí)，滑模控制的控制效果更好。以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了滑模控制在實(shí)現(xiàn)兩相混合式步進(jìn)電動(dòng)機(jī)位置控制上的可行性和優(yōu)越性。

6 結(jié) 語

本文針對(duì)兩相混合式步進(jìn)電動(dòng)機(jī)的位置控制系統(tǒng)，采用改進(jìn)的具有時(shí)變切換增益的指數(shù)趨近律對(duì)其進(jìn)行了滑模算法設(shè)計(jì)，并針對(duì)負(fù)載擾動(dòng)構(gòu)建了負(fù)載觀測(cè)器，在Simulink 環(huán)境下搭建了仿真模型，并進(jìn)行了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法相比于傳統(tǒng)PID 控制，在位置跟蹤上具有更好的動(dòng)態(tài)性能，使系統(tǒng)具有更強(qiáng)的魯棒性。

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