一維層狀二組元聲子晶體的帶隙研究

唐啟祥，胡家光，邱學云

(文山學院 信息科學學院，云南 文山 663000)

?

一維層狀二組元聲子晶體的帶隙研究

唐啟祥，胡家光，邱學云

(文山學院 信息科學學院，云南 文山 663000)

摘要：運用傳輸矩陣法數值計算了彈性波分別通過不同晶格常數、不同組元厚度比和不同復合周期數的一維層狀二組元聲子晶體的透射率，確定了帶隙的起止頻率和寬度。結果顯示，晶格常數增大，起止頻率和帶隙寬度均變小；厚度比增加，起始頻率幾乎不變，而截止頻率和帶隙寬度幾乎成線性增加；周期數增加，起止頻率和帶隙寬度均幾乎不變。

關鍵詞：二組元；聲子晶體；傳輸矩陣；透射率；帶隙

聲子晶體是由彈性復合介質構成的周期性結構[1-2]，當彈性波在其中傳播時，受其內部周期結構的調制作用，形成特殊的色散關系即能帶結構。色散關系曲線之間彈性波被抑制范圍稱為禁帶或帶隙。帶隙的下限頻率為起始頻率，上限頻率為截止頻率，二者之差為禁帶寬度。禁帶之間為導帶。處于導帶頻率范圍內的彈性波在色散關系的作用下將無耗散地傳播[3]。

按照復合介質的空間分布特點，聲子晶體可以分成一維、二維和三維聲子晶體。在一維聲子晶體中，按照介質組元的多少，又可將其分為二組元結構、三組元結構等。一維聲子晶體因帶隙容易控制且制作較為簡單而備受關注。文獻中只考慮相同厚度或遞變式厚度的一維二組元聲子晶體的帶隙特性[4-5]。本文將以彈性波通過聲子晶體的透射率作為傳輸特性來反映帶隙的變化規律，研究不同晶格常數、厚度比及復合周期數對帶隙變化的影響規律。

1模型和計算方法

一維層狀二組元聲子晶體的結構如圖1所示，由A和B兩層無限大的不同均勻彈性介質材料復合構成,A和B的厚度分別為d1和d2，構成聲子晶體的一個原胞，其晶格常數a=d1+d2。令T=d1/d2為A和B兩種介質的厚度比，便于后面的研究和討論。整個結構由N個原胞組成，兩端置于各向同性的材料C中。

圖1一維二組元聲子晶體的結構模型

為了研究此類聲子晶體的傳輸特性，采用傳輸矩陣法進行計算[6]。可以同時研究平面縱波和平面橫波垂直入射時的透射率。研究垂直入射，不存在橫波與縱波的相互轉型問題。取垂直于介質A向右為z軸正方向，向上x為軸正方向，將平面波的傳播簡化成在xoz平面內的傳播。由位移和應力的x分量和z分量在介質A和介質B的界面兩側連續的邊界條件，可得到從介質A到介質B的界面上的傳遞矩陣為

(1)

式中，MA為介質A的系數矩陣，MB為介質B的系數矩陣。以MA為例，具體為

(2)

式中kAL=ω/cAL,kAL=ω/cAT，分別為縱波和橫波在介質A中的波矢，cAL和cAT分別為縱波和橫波在介質A中的波速，ω為圓頻率，λ及μ為拉梅常數。將MA中的A換成B或C即得MB和MC。

彈性波通過厚度為d1的介質A時的傳遞矩陣為

(3)

將厚度換成d2，波矢換成介質B中的波矢，即可得通過介質B的傳遞矩陣GB。彈性波通過整個聲子晶體的傳遞矩陣為

W=MCAGAMABGBMBA…MBC

(4)

由W中的矩陣元可得縱波透射率tL和橫波的透射率tT為

(5)

2算例分析

選取A層介質材料為鋼，B層介質材料為環氧樹脂構成一維周期結構聲子晶體，整個結構置于有機玻璃介質C中，以不同頻率的彈性波垂直入射計算它們的透射率。透射率等于零的地方為禁帶，不等于零的地方為導帶，由此確定禁帶的起止頻率和寬度。有關材料參數見表1所示。

首先，選取晶格常數a為0.03 m、厚度比T為1，周期數N等于10的晶格，計算它的透射率，結果如圖2所示。縱坐標為彈性波的透射率，圖2(a)和圖2(b)為縱波和橫波兩種情況，橫坐標為入射波的頻率f，相鄰透射率譜線之間的空白區域為帶隙，構成聲子晶體的透射率譜圖。

表1　材料參數

從圖2中可以看出，縱波的帶隙較寬，排列較疏，橫波的帶隙較窄，排列較密。分別對縱波和橫波的帶隙變化規律的進一步研究，發現它們具有相似的規律，在此僅選擇對縱波研究的結果進行說明，不影響結論對橫波的正確性。

(a)縱波透射率譜圖 (b)橫波透射率譜圖

圖2簡單晶格透射率譜圖

從透射率的表達式可看出，它含有多個參數，我們選取其中的晶格常數、厚度比及周期數作為變量，分別計算縱波的透射率，尋找各個參數對傳輸性能的影響，轉化為對帶隙的起止頻率和帶隙寬度的影響。通過對多個帶隙的計算，發現都有相似的規律，這里僅列出對第一帶隙的計算結果。

2.1晶格常數對帶隙的影響

選取厚度比T為1，周期數N等于10，改變晶格常數a，計算縱波在一維二組元聲子晶體中的透射率，從而算出第一帶隙的起止頻率和帶隙寬度，結果如圖3所示。在晶格常數a小于0.03 m之前，帶隙的起止頻率和禁帶寬度均隨晶格常數增加迅速減小；當a大于0.03 m后，帶隙的起止頻率和帶隙寬度的減小較為緩慢。

圖3　帶隙與晶格常數的關系

2.2厚度比對帶隙的影響

考慮到上述特點，選取較小的晶格常數a為0.03 m，周期數N等于10，改變厚度比T，計算彈性波在一維二組元聲子晶體中的透射率，進一步確定第一帶隙的起止頻率和帶隙寬度。結果如圖4所示，當厚度比T大于0.2之后，帶隙的起始頻率趨于穩定，大約維持在20.5 kHz左右，而截止頻率則幾乎隨厚度比線性增加，導致帶隙寬度也幾乎隨厚度比T線性增加。厚度比T每增加0.1，帶隙寬度約增加3.878 kHz。

圖4　帶隙與厚度比的關系

2.3周期數對帶隙的影響

選取晶格常數a為0.03 m，厚度比T等于1，改變復合周期數N計算彈性波在一維二組元聲子晶體中的透射率，確定第一帶隙的起止頻率和帶隙寬度，結果如圖5所示。

圖5 帶隙與周期數的關系

在周期數N小于4之前，起始頻率較高些，截止頻率較低些，帶隙寬度隨著周期數的增加而增加；但當周期數大于4之后，帶隙的起止頻率分別保持在20.36 kHz和82.26 kHz左右，帶隙寬度幾乎保持不變，約為61.90 kHz。

3結論

通過改變一維層狀二組元聲子晶體的晶格常數和二組元的厚度比，聲子晶體的透射性能均會發生變化，帶隙的起止頻率和寬度發生改變。在晶格常數a小于0.03 m之前，帶隙的起止頻率和禁帶寬度均隨晶格常數增加迅速減小；當a大于0.03m后，帶隙的起止頻率和帶隙寬度的減小較為緩慢。當厚度比大于0.2之后，帶隙的起始頻率趨于穩定，大約維持在20.5kHz左右，而截止頻率則幾乎隨厚度比線性增加，導致帶隙寬度也幾乎隨厚度比線性增加。厚度比每增加0.1，帶隙寬度約增加3.878kHz。周期數的改變對聲子晶體透射性能的影響較小。在周期數小于4之前，起始頻率較高些，截止頻率較低些，帶隙寬度隨著周期數的增加而增加；但當周期數大于4之后，帶隙的起止頻率分別保持在20.36kHz和82.26kHz左右，帶隙寬度保持幾乎不變，約為61.90kHz。

參考文獻:

[1]S.John.Stronglocalizationofphotonincertaindisordereddielectricsuperlattices[J].Phys.Rev.Lett., 1987(23):2486-2489.

[2]M.M.Sigalas,E.N.Economou.Elasticandacousticwavebandstructure[J].SoundVib.,1992(2):377-382.

[3] 溫熙森,溫激鴻,郁殿龍,等.聲子晶體[M].北京:國防工業出版社,2009:53-101.

[4] 劉啟能.一維聲子晶體的傳輸特性[J].人工晶體學報, 2008,37(1):179-182.

[5] 曹永軍,董純紅,周培勤.一維準周期結構聲子晶體透射性質的研究[J].物理學報，2006,55(12):6470-6475.

[6] 劉啟能.彈性波斜入射聲子晶體的傳輸特性[J].應用力學學報，2009,26(2):397-400.

Study on Transmission Characteristics of 1D Layered Binary Phononic Crystals

TANG Qi-xiang, HU Jia-guang, QIU Xue-yun

(School of Information Science, Wenshan University, Wenshan 663000, China)

Abstract:Using the transfer matrix method, the transmission coefficients of elastic waves transmitting through the one-dimensional layered binary phononic crystal have been numerically calculated for different lattice and thickness ratio of component and number of recombination periods. Furthermore, the start frequencies and cutoff frequencies and band gap width are calculated. The results show that both the starting frequencies and the cutoff frequencies and the band gap width decrease with the lattice constant increasing. With the thickness ratio increasing, the starting frequencies are almost invariant, but the cutoff frequencies and the band gap width increase. However, the starting frequencies and the cutoff frequencies and the band gap width are almost invariant with the number of recombination periods increasing.

Key words:binary, phononic crystals, transfer matrix, transmission coefficient, band gap

文章編號：1007-4260(2015)03-0057-03

中圖分類號：O471.1

文獻標識碼：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.016

作者簡介：唐啟祥，男，云南東川人，碩士，文山學院信息科學學院副教授，研究方向為材料物理。

基金項目：云南省教育廳科學研究基金項目(2014Y474)和云南省科技計劃青年項目(2014FD055)。

收稿日期：2014-12-02

網絡出版時間：2015-8-25 15:40網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.016.html