一類具分布時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一致穩(wěn)定性

李　琳，楊海洋，田　壘

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 安徽 安慶 246133)

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一類具分布時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一致穩(wěn)定性

李琳，楊海洋，田壘

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 安徽 安慶 246133)

摘要：本文討論了一類具分布時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的一致穩(wěn)定性問(wèn)題，主要應(yīng)用分?jǐn)?shù)微積分理論與Banach不動(dòng)點(diǎn)定理得到了該系統(tǒng)解的存在唯一性條件和一致穩(wěn)定性結(jié)果。

關(guān)鍵詞：Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)；分布時(shí)滯；解的存在唯一性；一致穩(wěn)定性

分?jǐn)?shù)微積分是整數(shù)微積分的推廣，分?jǐn)?shù)階微分算子具有記憶和非局部特性，在應(yīng)用方面比整數(shù)微積分更適合描述現(xiàn)實(shí)生活中的基本現(xiàn)象[1-10]。時(shí)滯現(xiàn)象存在于生物、化學(xué)、工程、物理、醫(yī)藥等領(lǐng)域，其產(chǎn)生的原因主要有兩方面：一是系統(tǒng)本身固有的滯后現(xiàn)象，二是構(gòu)成實(shí)際系統(tǒng)的裝置所引起的滯后現(xiàn)象。因而，在對(duì)時(shí)滯的研究過(guò)程中可以根據(jù)時(shí)滯的表象形式把系統(tǒng)分為離散時(shí)滯系統(tǒng)和分布時(shí)滯系統(tǒng)。穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)中最基本的和令人感興趣的問(wèn)題之一，含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性已取得了一些重要成果[7-12]，但對(duì)于含分布時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究還相對(duì)較少。

本文主要通過(guò)Banach不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了一類具分布時(shí)滯的Caputo分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

(1)

下面給出相關(guān)概念和重要引理。

定義1[1]函數(shù)x(t)的q階分?jǐn)?shù)積分定義：

(2)

(3)

其中n-1≤q≤n∈N+。

(4)

其中n-1≤q≤n∈N+。

定義4[14]若對(duì)?>0,t0≥0，存在δ(,t0)使得t>t0≥0，‖φ(t)-ψ(t)‖<δ(,t0)，即對(duì)任意兩個(gè)解x(t,t0,φ)和x*(t,t0,ψ)有

‖x*(t,t0,ψ)-x(t,t0,φ)‖<

引理1[1]若f(t)∈Cn-1[t0,t],n-1

特別地，當(dāng)0

本文獲得主要結(jié)果如下。

定理1若滿足條件S∶fj(j=1,2,…,n)是Lipschitz連續(xù)的，即

|fj(x)-fj(x*)|≤Lj|x-x*|

(5)

其中Lj是Lipschitz的條件，則系統(tǒng)(1)在[0,J]上存在唯一連續(xù)解x(t)。

證明系統(tǒng)(1)和以下方程是等價(jià)的：

ui(θ)]dθ,t∈[0,J]

構(gòu)造一個(gè)映射Ti,定義如下:

其中Tx=(T1x1,T2x2,…,Tnxn)T。對(duì)任意兩個(gè)不同的x(t),x*(t)∈C([0,J],Rn)，有

從而有|Tx(t)-Tx*(t)|=

其中P是一個(gè)足夠大的常數(shù)，且可使

‖A‖+(‖B‖+τ‖C‖)L

則‖Tx(t)-Tx*(t)‖<‖x(t)-x*(t)‖，即T是一個(gè)壓縮映射，由Banach不動(dòng)點(diǎn)定理知它有一個(gè)固定點(diǎn)x=Tx,使系統(tǒng)(1)存在一個(gè)唯一解。

在定理1的基礎(chǔ)上，得出定理2的結(jié)論。

定理2若系統(tǒng)(1)滿足條件S，則它的解是一致穩(wěn)定的。

證明設(shè)x(t)是系統(tǒng)(1)的解，則

令x*(t)是系統(tǒng)(1)的另一解，則

|x(t)-x*(t)|≤|φi(0)-ψi(0)|+

從而e-Pt|x(t)-x*(t)|≤e-Pt|φi(0)-ψi(0)|+

即

因P是一個(gè)足夠大的常數(shù)，故可選擇一個(gè)P使‖A‖+(‖B‖+τ‖C‖)L

即對(duì)?ε>0，有δ(ε)=((Pq-‖A‖-

(‖B‖+τ‖C‖)L)/Pq)ε>0，

則根據(jù)定義4知，系統(tǒng)(1)的解是一致穩(wěn)定的。

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Uniform Stability of a Class of Fractional-Order Neural Networks with Distributed Delays

LI Lin，YANG Hai-yang，TIAN Lei

(School of Mathematics and Computation Science, Anqing Normal University, Anqing 246133,China)

Abstract:This paper mainly discusses uniform stability problems of a class of fractional-order neural networks with distributed delays. We obtain existence and uniqueness conditions of solutions and uniform stability results for this system by applying fractional calculus theory and Banach fixed point theorem.

Key words:Caputo fractional-order derivative, neural network systems, distributed delays, existence and uniqueness of solutions, uniform stability

文章編號(hào)：1007-4260(2015)03-0022-04

中圖分類號(hào)：O175.13

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.007

作者簡(jiǎn)介：李琳，女，安徽阜南人，安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微分方程。

基金項(xiàng)目：安徽省高等學(xué)校省級(jí)自然科學(xué)研究基金項(xiàng)目(KJ2011A197，KJ2013Z186)。

收稿日期：2014-05-20

網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2015-8-25 15:40網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.007.html