Banach空間中二階非線性脈沖微分方程初值問題解的存在性

張 海 燕

(宿州學院 數學與統計學院, 安徽 宿州 234000)

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Banach空間中二階非線性脈沖微分方程初值問題解的存在性

張 海 燕

(宿州學院 數學與統計學院, 安徽 宿州 234000)

摘要：利用Monch不動點定理和分段估計方法, 結合Gronwall不等式, 研究了Banach空間中一類二階非線性脈沖微分方程初值問題解的存在性。 將該問題轉化為等價的一階非線性脈沖積分方程, 在較弱的非緊性條件和先驗估計條件下, 獲得了其解的存在性充分條件, 改進和推廣了相關文獻的結果。

關鍵詞：脈沖微分方程；初值問題；不動點定理； 非緊性測度

脈沖現象作為一種瞬時突變現象，其數學模型可歸結為脈沖微分系統。這類脈沖系統在人口動力系統、經濟學、物理學和控制理論等學科中有具體的模型應用。本文考慮實Banach空間中二階非線性脈沖微分方程初值問題(IVP)：

(1)

1預備知識和引理

J′=J{t1,t2,…,tm},J0=[0,t1],J1=(t1,t2],…,Jm-1=(tm-1,tm]，

Jm=(tm,a],Tr={x′∈E|‖x′‖PC≤r},

Br={x∈PC1[J,E]|‖x‖PC1≤r}。

若x∈PC1[J,E]∩C2[J′,E]滿足(1)式，則稱x是(1)的解。對Banach空間中的有界集V用α(V)來表示V的Kuratowskii非緊性測度,有關非緊性測度的定義及性質參見[6]。為了后文表述方便，首先給出下列引理：

引理1[7]設H={xn}?L[J,E]且存在

g∈L[J,R+],使得對一切

xn∈H,‖xn(t)‖≤g(t),a.e.,t∈J，

2主要結果

為方便起見，先列出下列條件

(H1)對任何r>0,f在J×Tr×Tr×Tr上一致連續，Ik在Tr上有界。

(H3)存在Mi≥0(i=1,2,3)，使得對任何H?Br,t∈J有α(t(t,(BH)(t),H(t),(TBH)(t))≤M1α((BH)(t))+M2α(H(t))+M3α((TBH)(t))

定理1設條件(H1)-(H3)滿足，則IVP(1)在PC1[J,E]∩C2[J′,E]中至少有一個解。

證明IVP(1)等價于一階非線性脈沖微分方程組

(2)

IVP(2)等價于非線性脈沖積分方程組

(3)

IVP(3)等價于一階非線性脈沖積分方程

(4)

則IVP(1)與積分方程(4)的解等價。而積分方程(4)的解等價于算子A有不動點，即存在y∈PC[J,E]，使得(Ay)(t)=y(t)。由(H1)和(H3)易知A∶PC[J,E]→PC[J,E]是連續算子。

下面利用Monch定理證明算子A有不動點。首先由假設(H2)知存在β>c和N>0使得

‖f(t,(By)(t),y(t),(TBy)(t)‖<β‖y(t)‖,

t∈J,‖y(t)‖>N，

再由(H1)中f的一致連續性可知

‖f(t,(By)(t),y(t),(TBy)(t)‖<

β‖y(t)‖+G,t∈J

(5)

其中G=sup{‖f(t,(By)(t),y(t),(TBy)(t)‖∶t∈J,‖y(t)‖

下證Ω0={y∈PC[J,E]|y=λAy,0≤λ≤1}是PC[J,E]中的有界集。對任給y∈Ω0，則存在0≤λ0≤1，使得y(t)=λ0(Ay)(t)。

當t∈J0=[0,t1]時，由(4)(5)式得

(6)

故由(6)式和Gronwall不等式知

‖y(t)‖≤(‖y0‖+Gt1)eβt1=M0

‖I1((By)(t),y(t))‖≤β0

(7)

于是由(4)式和(7)式得

M0+β0

(8)

I1((By)(t1),y(t1))]

(9)

于是由(5)，(7)~(9)式得

‖u(t)‖≤‖y0‖+(1+t1)β0+

(10)

由(10)式和Gronwall不等式知

‖u(t)‖≤[‖y0‖+(1+t1)β0+

(t2-t1)G]eβ(t2-t1)=M1

故‖y‖PC≤M1,t∈J1。

以下驗證滿足引理2的兩條件。首先取R>M″=max{M,M′}，令Ω={y∈PC[J,E]|max{‖y‖PC,‖By‖PC}

當t∈J0=[0,t1]時，由非緊性測度的性質、(4)式和假設(H3)以及引理1有

M3α((TBH)(s))]ds

(11)

因為BH,TBH在每個區間Jk上都是等度連續的有界集，所以由引理1得

(12)

將(12)式代入(11)式知

(13)

于是由(13)式和Gronwall不等式有

α(H(t))=0,t∈J0

(14)

當t∈J1=(t1,t2]時，由(13),(14)式可得

α(I1(BH)(t1),H(t1))=

M3(t2-t1)k0(t-s)α(H(s))]ds≤

(15)

由(15)式及Gronwall不等式,知α(H(t))=0,

3小結

文[1-3]在討論IVP(1)時，使用了脈沖項緊性條件和非緊性測度的先驗估計限制性條件。本文利用分段估計方法，去掉了上述條件，獲得一般情形下IVP(1)解的存在性結果，本質上推廣和改進了文[1-3]的結果。

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Existence of Solutions for a Class Initial Value Problems of Second-Order Nonlinear Impulsive Differential Equations in Banach Spaces

ZHANG Hai-yan

(School of Mathematics and Statistics, Suzhou University, Suzhou 234000, China)

Abstract:By using the Monch fixed theorem and a piece wise estimation method, and combining with a Gronwall inequality, a class initial value problems of second-order nonlinear impulsive differential equations in Banach Spaces is investigated, which can be reduced to the equivalent first-order nonlinear impulsive integral equation. Under weaker noncompactness and priori estimate conditions, some sufficient results on the existence of solution for the initial value problem are established. Some known results are extended and improved.

Key words:impulsive differential equations, initial value problems, fixed point theorem, measure of noncompactness

文章編號：1007-4260(2015)03-0019-03

中圖分類號：O175.8

文獻標識碼：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.006

作者簡介：張海燕，女，安徽靈璧人，碩士，宿州學院數學與統計學院副教授，主要從事非線性泛函分析及研究。

基金項目：安徽省教育廳自然科學基金重點項目(KJ2014A252)。

收稿日期：2015-02-02

網絡出版時間：2015-8-25 15:40網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.006.html