非連續治療策略對一類病毒傳染病全局動力學模型的影響

李　迅，孫光訊

(安徽師范大學 數學計算機科學學院，安徽 蕪湖 241000)

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非連續治療策略對一類病毒傳染病全局動力學模型的影響

李迅，孫光訊

(安徽師范大學 數學計算機科學學院，安徽 蕪湖 241000)

摘要：本文主要研究了一個具有非連續治療策略的病毒傳染病動力學模型。定義了基本再生數R0，利用微分包含的相差知識分析研究了該細胞病毒免疫反應的平衡點存在性問題。當R0>1時，通過構造相應的Lyapunov函數可證明模型滿足初始條件的每一個解都是在有限時間內全局收斂于地方病平衡點；當R0<1時，模型在有限時間內收斂于無病平衡點。

關鍵詞：病毒動力學模型；非連續治療策略；有限時間全局收斂；Lyapunov函數

數學模型在幫助理解病毒動力學方面扮演了一個重要的角色，如細胞病毒動力學問題[1-2]，但只討論了連續的微分方程，即細胞病毒的治療是連續的。但是在實際治療過程中，由于一些人為或者自然因素的影響，受感染的病毒數量會出現突然的增加，這就是非連續的治療現象。以下研究非連續治療策略對病毒傳播的影響。

1模型的建立

文獻[1]主要研究了如下的微分模型

在上述模型中引進一個非連續的函數h(y)，得到如下的右端不連續微分方程

(1)

這里的參數都是正參數，其中x(t)表示易感染細胞，xy(t)表示已感染細胞(可產生病毒粒子)，z(t)表示免疫細胞數量，βxy表示細胞感染速率，pz表示免疫反應的強度，函數h(y)表示治愈率，λ表示細胞的自然再生率，d表示細胞的自然死亡率。為了討論更一般的情況，允許函數h(y)存在一些跳躍間斷點，下面給出一些假設：

(H1) h(y)=φ(y),φ∶R+→R+是一個非減函數且在每一個緊致區間內至多有有限個跳躍間斷點。

備注1不失一般性，假設函數φ在0處連續，否則將φ在0處的值定義為φ(0+)，這對模型(1)沒有任何影響。模型(1)的初始條件：

x(0)=x0≥0,y(0)=y0≥0,

z(0)=z0≥0

(2)

為了方便討論模型(1)解的問題，需引入右端不連續微分方程的Filipov解的定義，考慮如下右端不連續微分方程

x′(t)=f(t,x(t))

(3)

其中f關于變量是可測的且是局部有界的。

定義1[3]考慮如下的集值映射

(4)

設(x(t),y(t),z(t))，t∈[0,T)，T∈(0,+∞)是模型(1)的一個Filipov定義下的解，且該解在[0,T)的任一個子區間[t1,t2]上都是一致連續的，則由定義1知(x(t),y(t),z(t))滿足下面的微分包含

(5)

(6)

備注2對于上述的可測函數m(t)滿足以下兩個條件：

(1)m(t)是除[0,T)內一系列零測度集以外的函數，由(x(t),y(t),z(t))唯一確定的測度函數；

(2)當且僅當(x(t),y(t),z(t))對所有的t∈[0,T)連續可微時，m(t)對所有的t∈[0,T)是連續的。

推論1假設(H1)是成立的，令(x(t),y(t),z(t))是模型(1)帶有初值條件x(0)=x0≥0,y(0)=y0≥0,z(0)=z0≥0在[0,T)上的一個解，這里的T∈(0,+∞)。由此可得x(t)≥0，y(t)≥0，x(t)≥0，t∈[0,T)。

證明由對模型(1)定義下的Filipov解的理解，可得(x(t),y(t),x(t))微分包含(5)的一個解。由微分方程(5)，可以得到

再結合x(0)=x0≥0,則能得到x(t)≥0，t∈[0,T)。

(7)

假設y0=0，則從(7)可以得到對任意的t∈[0,T)有y(t)=0。假如y0>0，可得對任意的t∈[0,T)有y(t)>0；否則，令t1=inf{t∶y(t)=0}，則有t1>0并且y(t1)=0。因為y(t)在[0,T)上是連續的，則存在一個正的參數θ，對t∈[t1-θ,t1]使得t1-θ>0，且0

這就產生了矛盾，因此，可得對任意的t∈[0,T)有y(t)>0。

類似于y(t)>0的證明，也可得對任意的t∈[0,T)有z(t)>0。

2平衡點

為得到模型(1)的平衡點，先來定義它的一個常數解(x,y,z)=(x*,y*,z*),t∈(0,+∞)。顯然，若(x*,y*,z*)是模型(1)的平衡點，當且僅當

(8)

同時存在一個ξ滿足

(9)

這里的常數ξ*是唯一的，且ξ*=βx*y*-dy*-py*z*。

當假設(H1)成立時，為了得到模型(1)的平衡點，接下來討論如下的微分包含：

(10)

(11)

由(11)式可以得到如下微分包含

(12)

令

證明首先來證微分包含(12)式存在一個正解。因為R0>1，則g(0)>φ(0)>0，又因為g(y)是單調遞減函數，φ(y)關于y是非單減的函數。另外，g(y)≤0當且僅當

(13)

將(13)式的兩個方程相減可得，

定理1當基本再生數R0>1時，模型(1)存在唯一的地方病平衡點E*=(x*,y*,z*)滿足(11)式，其中y*是由引理1確定的唯一正解。

3有限時間內的全局收斂

這一節主要通過構造合適的Lyapunov函數來證明模型(1)全局收斂于地方病平衡點E*和無病平衡點E0，為了證明這個結論，首先給出下面的假設，

(H2)假設R0>1，φ(y)在y*處有一個跳躍間斷點，其中y*是由引理1確定的唯一正解。另外取η*=βx*-d-pz*∈(φ((y*)-),φ((y*)+))，根據(H2)可以定義θ∶=min{φ((y*)+)-η*,η*-φ((y*)+)}>0

定理2在假設(H1),(H2)都成立的條件下，模型(1)所有滿足初始條件(2)下的每個解都在有限時間內全局收斂于平衡點E*=(x*,y*,z*)。也即對于所有的

都有

(x,y,z)=(x*,y*,z*),t∈(0,+∞)

其中V0(x(0),y(0),z(0))=

(14)

構造下面的Lyapunov函數

(15)

其中γ是一個正的常數，定理后面將給出它的取值范圍。很容易發現V1(S(t),I(t),R(t))是一個正則函數，當(S(t),I(t),R(t))≠0時，V1(S(t),I(t),R(t))>0且V1(0,0,0)=0;當S→+∞或I→+∞或R→+∞時，V1(S(t),I(t),R(t))→+∞，則有

[η(t)-η*](I+y*)}≤-ds2+γβS[η(t)-η*]-

將上式兩邊從0到t積分可得

0≤V1(S(t),I(t),R(t))≤

(H3)h∶R+→R+是一個非單調遞減函數，且在每一個緊致區間內至多有有限個間斷點，另外h(0)=0但是h(y)在y=0處不連續。

V2(S(0),I(0),R(0))=

這也就是說病毒將在有限時間內滅亡。

(16)

(17)

構造一個新的Lyapunov函數：

V2(S(t),y(t),R(t))=

(18)

由推論1可知，模型(1)在初始條件(2)下的任意解(x(t),y(t),z(t))都是非負的，則函數V2(S(t),y(t),R(t))是一個正則函數，當(S,y,R)≠0時，V2(S(t),y(t),R(t))>0；而僅當(S,y,R)=0時，V2(S(t),y(t),R(t))=0。對(18)式求導可得，

由此可得

將上式兩邊從0到t積分可得

0≤V2(S(t),y(t),R(t))≤

參考文獻:

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Impact of Discontinuous Treatments on Global Dynamics of a Viral Infection Model

LI Xun, SUN Guang-xun

(College of Mathematics and Computer Science,Anhui Normal University,Wuhu 241000,China)

Abstract:In this article,we mainly study the impact discontinuous treatments on global dynamics of a viral infection model. By calculating the model equation,we define the basic reproductive rate R0>1, and structure appropriate Lyapunov function and achieve the convergence to the endemic equlibrium in finite time,if R0<1, we also can get convergence to the disease equilibrium in finite time.

Key words:viral infection dynamic model,discontinuous treatment,convergence in the finite time,Lyapunov function

文章編號：1007-4260(2015)03-0014-05

中圖分類號：O231.9

文獻標識碼：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.005

作者簡介：李迅，男，安徽全椒人，安徽師范大學數學計算機科學學院碩士研究生，研究方向為應用數學。

基金項目：安徽高校省級優秀青年人才基金重點項目(2011SQRL022ZD)。

收稿日期：2015-02-03

網絡出版時間：2015-8-25 15:40網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.005.html