關于不定方程x2+4n=y11(n=6,7)的求解

李 遠 航

(西南大學 數學與統計學院，重慶 400715)

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關于不定方程x2+4n=y11(n=6,7)的求解

李 遠 航

(西南大學 數學與統計學院，重慶 400715)

摘要：利用代數數論的方法，證明了不定方程x2+4n=y11,當n=6,7時無整數解。

關鍵詞：不定方程；整數解；代數數論

設A,B∈Z+，A無平方因子，不定方程

Ax2+B=yn,

(1)

x,y∈Z+,n∈Z,x≡1(mod2),n>1

解的討論是代數數論中的一類重要課題。當A=1,B=1時，Ledesgue證明了式(1)無整數解。Nagell證明了當A=2,B=1,n=5時，式(1)僅有整數解(x,y)=(±11,3)。對于A=1,B=43或44,n=5,7時的情況均已討論過，而對于A=1,B=46或47,n=11時的情況未曾討論。因此，本文討論此情況，給出了如下定理。

引理設M是唯一分解整環，正整數k≥2，α,β∈Z,(α,β)=1，那么若αβ=γk,γ∈M，則有α=ε1μk,β=ε2vk,μ,v∈M，其中ε1,ε2是M中的單位元素，并且ε1ε2=εk，ε為單位元素。

定理1不定方程

x2+46=y11

(2)

無整數解。

證明這里分x≡1(mod2),x≡0(mod2)兩種情況進行討論。

(1)當x≡1(mod2)時，在Z[i]中，則(2)式可寫成(x+26i)(x-26i)=y11,x,y∈Z。

設d=(x+26i，x-26i)，由d|(2x,27i)=2知d只能取1,1+i，2，因x≡1(mod2)知x+23i≡1(mod2),所以d≠2；如果d=1+i，則N(1+i)|N(x+26i)，可知2|x2+46，這與x≡1(mod2)矛盾，所以d=1。由此可知x+26i=(a+bi)11,x,a,b∈Z,因而有

x=a11-55a9b2+330a7b4-462a5b6+

165a3b8-11ab10

(3)

26=b(11a10-165a8b2+462a6b4-

330a4b6+55a2b8-b10)

(4)

從式(4)可得b=±1,±2t(1≤t≤5),±26。

①當b=±1時，1±26=11(a10-15a8+42a6-30a4+5a2)，等式兩邊同時取模11，得

12≡0(mod11)或者3≡0(mod11)，矛盾。

②當b=±2t(1≤t≤5)，可得

±26-t=11a10-165a8b2+462a6b4-

330a4b6+55a2b8-b10

對等式兩邊同時取模2，則0≡a10(mod2)，知a為偶數，由x=a11-55a9b2+330a7b4-462a5b6+165a3b6-11ab6，知x也為偶數，這與x≡1(mod2)矛盾。

③當b=26時，1+260=11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8，對等式的兩邊同取模11，則可得2≡0(mod11)，這是不可能的。

④當b=-26時，可得

a2(11a8-165a6b2+462a4b4-330a2b6+55b8)=

260-1=32×52×7×11×13×31×41×61×151×331×1 321

因a∈Z，則a2=1,9,25或225代入驗證如下

當a2=1時，b=-26，

11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8-b10=-1 137 463 050 564 685 813≠-1；

當a2=9時，b=-26，

11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8-b10=-1 015 422 616 648 967 869≠-1；

當a2=25時，b=-26，

11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8-b10=-779 945 957 071 073 101≠-1；

當a2=225時，b=-26，

11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8-b10=1 268 850 388 033 017 899≠-1；

綜上，當x≡1(mod2)時，原方程無整數解。

定理2不定方程

x2+47=y11

(5)

無整數解。

證明同定理1，分兩種情況討論。

(1)當x≡1(mod2)時，在Z[i]中原方程為

(x+27i)(x-27i)=y11,x,y∈Z

設d=(x+27i,x-27i)，由d|(2x,28i)=2，知道d只能是1,1+i，2。因x≡1(mod2)知x+27i≡1(mod2)，所以d≠2；如果d=1+i，則N(1+i)|N(x+27i)，即2|x2+47，與x≡1(mod2)矛盾，因此d=1。由此知x+27i=(a+bi)11,x,a,b∈Z，則可以得到

x=a11-55a9b2+330a7b4-462a5b6+

165a3b8-11ab10

(6)

27=b(11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6

+55a2b8-b10)

(7)

因此b=±1,±2t(1≤t≤6),±27。

①當b=±1時，1±27=11(a10-15a8+42a6-30a4+5a2)，對等式兩邊同時取模可得8≡0(mod11)或5≡0(mod11)，這是不可能的。

②當b=±2t，(1≤t≤6)時，

±27-t=11a10-165a8b2+462a6b4-

330a4b6+55a2b8-b10

則a必為偶數，再由x=a11-55a9b2+330a7b4-462a5b6+165a3b6-11ab6知，x也為偶數，這與x≡1(mod2)矛盾。

③當b=27時，1+240=11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8，等式兩邊同取模11得2≡0(mod11)，這是不可能的。

④當b=-27時，可得如下的等式：

11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8=

270-1=3×11×17×31×43×71×127×

281×86 171×122 921

由于a∈Z，所以a2=1。下面討論這兩種情況。

當a2=1，b=-27時，有

11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8-b10=-1 176 629 904 276 659 453 941≠-1

綜上，當x≡1(mod2)時，原方程無整數解。

綜上討論，不定方程x2+47=y11無整數解。

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On Diophantine Equation x2+4n=y11(n=6,7)

LI Yuan-hang

(Mathematics and Statistics College, Southwest University, Chongqing 400715, China)

Abstract:In the paper, using the properties of congruence and integral domain in number theory, the author has proved that the indefinite equation x2+46=y11,x,y,n∈Z has no integer solution when n is 6 and 7.

Key words:integer solution, indefinite equation, algebraic number theory

文章編號：1007-4260(2015)03-0009-02

中圖分類號：O172,G642

文獻標識碼：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.003

作者簡介：李遠航，男，重慶江津人，西南大學數學與統計學院碩士研究生，主要從事計算數論研究。

收稿日期：2014-11-06

網絡出版時間：2015-8-25 15:40網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.003.html