一類矩陣跡的不等式

周其生，金樂樂

(安慶師范學院 數學與計算科學學院，安徽 安慶 246133)

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一類矩陣跡的不等式

周其生，金樂樂

(安慶師范學院 數學與計算科學學院，安徽 安慶 246133)

摘要：本文利用Young不等式和Lieb-Thirring不等式，給出一類矩陣跡的新的不等式，且推廣了一些文獻的結果。

關鍵詞：矩陣；跡；不等式

矩陣的跡是矩陣的一個重要數值特征，由于矩陣跡的運算在數值計算、逼近論以及統計估計、隨機控制、濾波和經濟計量學等理論中應用廣泛，因此，對于它的討論引起眾多數學工作者的重視。由于矩陣的乘法無實數乘法所具有的交換性，這使得許多關于實數的不等式不能直接推廣到矩陣論中，一些看似平常的代數不等式，推廣為按L?wner偏序的矩陣不等式一般可能不成立。由于矩陣跡運算克服了矩陣乘法交換性的困難，又使得實數不等式的推廣成為可能，鑒于矩陣乘積的跡一般不等于矩陣跡的乘積，故而又成為推廣的障礙，因此，研究矩陣不等式不僅具有應用價值，而且也極具挑戰性。本文將利用矩陣跡的Young不等式和Lieb-Thirring不等式，以及關于跡的性質，將一些熟知的實數不等式推廣到矩陣論中，得到關于矩陣跡的不等式。

楊晉和稽國平、湯正誼等人分別在文[1]和[2]中給出如下一些實數不等式。

2.設a,b,c為正數，則

本文將以上實數不等式推廣為矩陣跡的相應不等式，并做了更深入的討論。為此，先給出兩個重要引理。

特別，當A，B為同階半正定Hermite矩陣時，有

等號成立當且僅當B=Ap-1。

引理2[4](Lieb-Thirring不等式)設A,B為同階半正定Hermite矩陣，n為任意正整數，則

tr(AB)n≤tr(AnBn)

等號成立當且僅當n=1或AB=BA。

關于矩陣跡的性質可參閱文獻[5-6]。下面給出本文的主要工作。

定理1設A,B為半正定Hermite矩陣，n為任意正整數，則有

ntr(An-1B)≤(n-1)trAn+trBn

(1)

等號成立當且僅當B=A。

定理1是Jacobsthal不等式的推廣，當n=2時就是AG不等式。將它變形，即

定理2設A，B為半正定Hermite矩陣，B可逆，n為任意正整數，則有

tr(AnB-(n-1))≥ntrA-(n-1)trB

(2)

等號成立當且僅當n=1或者A=B。

因此，(2)式成立。

推論1設A,B,C是半正定Hermite矩陣，且任兩個的和為可逆陣，則有

tr[A2(B+C)-1+B2(C+A)-1+C2(A+B)-1]≥

(3)

tr[A2(A+B)-1+B2(B+C)-1+C2(C+A)-1]≥

(4)

當且僅當A=B=C時等號成立。

證明由定理2并以2A，2B，2C分別代替A，B，C得

tr[(2A)2(B+C)-1]≥4trA-tr(B+C)

tr[(2B)2(A+C)-1]≥4trB-tr(A+C)

tr[(2C)2(A+B)-1]≥4trC-tr(A+B)

三不等式相加得

4tr[A2(B+C)-1+B2(C+A)-1+C2(A+B)-1]≥

2tr(A+B+C)

所以(3)式成立。再由定理2知，(3)式等號成立當且僅當2A=B+C，2B=A+C，2C=A+B，即A=B=C。同理可證(4)式及等號成立條件。

注1(3)式不能改成如下形式的推廣：

tr[A2(B+C)-1+B2(A+C)-1+C2(A+B)-1]≥

進一步，有下面更一般結果。

定理3設A1,A2,…,An(n>1)為同階半正定Hermite矩陣，任意n-1個之和可逆，則

(5)

(6)

等號成立當且僅當A1=A2=…=An。

證明為得到不等式左邊矩陣商和式的跡的最佳下界，在上面已證不等式tr(A2B-1)≥2trA-trB中以αΑ代A(α為正數)得

α2tr[A2B-1]≥2αtrA-trB

(7)

在(7)式中分別以A1,…,An代A，以A2+…+An，…,A1+…+An-1代B得

……

將上面各不等式相加得

(5)式等號成立當且僅當αA1=A2+…+An,…,αAn=A1+…+An-1，當且僅當α=n-1,A1=A2=…=An。同理可證(6)式及等號成立的條件。

定理4設A1,A2,…,An(n>1)為同階半正定Hermite矩陣，任意n-1個之和可逆，則

(8)

(9)

證明由定理2并以αA1(α為正數)代替A，再以A2+…+An代替B得

同理可得另外n-1個不等式，將這n個不等式相加得

為了繼續推廣上面的結果，先給出類似于定理2的一個結論。

定理5設A,B為同階半正定Hermite陣，B可逆，則對任意自然數k，n(k

tr(AnB-k)≥2tr(An-1B-k+1)-tr(An-2B-k+2)

(10)

從而有(10)式成立。

定理6設A1,A2,…,An(n>1)為同階半正定Hermite矩陣，任意n-1個之和可逆，則

(11)

(12)

下面進一步研究k次冪的商和式的跡,有如下結果，

定理7設A1,A2,…,An(n>1)為同階半正定Hermite矩陣，任意n-1個之和可逆，k≥2為正整數，則

(13)

(14)

證明仿照定理6的證明可得

再由Young不等式得

j=2,3,…,n

代入上式得

相仿地可得其余n-1個不等式。把這n個不等式相加，化簡得

顯然當α=n-1時，得到最佳結果(13)式。同樣可證(14)式。

定理8設A1,A2,…,An(n>1)為同階半正定Hermite矩陣，任意n-1個之和可逆，則對任意自然數n，有

(15)

(16)

證明記S=A1+A2+…+An，由定理4并仿照定理6的證明，可得

將各式相加得

由定理7可得

代入上式得

取最佳常數α=n-1時，即知此時(15)式成立。同理可得(16)式。

注2通過以上討論，猜想，對同階半正定Hermite矩陣A1,A2,…,An(n>1)，任意n-1個之和可逆，則對任意自然數k,n(k

當k=1,2,n-1時，分別是定理7(令k=n)，定理8和定理4的結果。

參考文獻:

[1]楊晉.一個不等式變形的應用[J].中學數學月刊，1999，12：44-46.

[2]稽國平，湯正誼.兩個優美而有用的不等式[J].中學數學月刊，2000，6：24-27.

[3]T.Ando.Matrix young inequlities[J].Oper.Theory Adv.Appl.,1995,75:33-38.

[4]R.Bhatia.Matrix analysis[M].New York:Spring-Verlag,1997:289-317.

[5]X.Zhan.Matrix inequalities[M].Berlin:Springer-Verlag,2002:35-38.

[6]王松桂，吳密霞，賈忠貞,等.矩陣不等式[M].北京：科學出版社，2006.

Inequality on Trace of a Class of Matrix

ZHOU Qi-sheng, JIN Le-le

(School of Mathematics and Computation Science,Anqing Teachers College,Anqing 246133,China)

Abstract:In this paper, inequality on trace of a class of matrix are provided, by using Young inequality and Lieb-Thirring inequality, and the result of some of the literature is generalized.

Key words:matrix, trace, inequality

文章編號：1007-4260(2015)03-0001-04

中圖分類號：O178，O151.21

文獻標識碼：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.001

作者簡介：周其生，男，安徽金寨人，安慶師范學院數學與計算科學學院教授，主要研究方向為算子理論。

基金項目：安徽省教育廳自然科學項目(2013Z186)。

收稿日期：2014-11-25

網絡出版時間：2015-8-25 15:40網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.001.html