一類(lèi)雙重退化滲流方程解的存在性

湯林冰　，詹華稅

(1.集美大學(xué)理學(xué)院,福建 廈門(mén) 361021； 2.廈門(mén)理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，福建 廈門(mén) 361024)

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一類(lèi)雙重退化滲流方程解的存在性

湯林冰1，詹華稅2

(1.集美大學(xué)理學(xué)院,福建 廈門(mén) 361021； 2.廈門(mén)理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，福建 廈門(mén) 361024)

[摘要]結(jié)合Fichera-Oleinik理論,研究一類(lèi)雙重退化滲流方程uspan=div(ρspanuspan)，(x,t)∈Qspan=Ω×(0,T)的可解性問(wèn)題.其中Ω是Rspan中的有界區(qū)域,邊界?Ω充分光滑,ρ(x)=dist(x,?Ω),m>1,α≥2,u0非負(fù),u0∈Lspan(Ω),ρspan(Ω)).借助于一般粘性解的定義，給出了該滲流方程存在具有齊次邊界條件的弱解的定義，并證明其存在性.

[關(guān)鍵詞]雙重退化；滲流方程;弱解;Fichera-Oleinik理論

0引言

本文研究一類(lèi)雙重退化滲流方程

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適當(dāng)光滑，有許多的成果[1-13]討論方程(1)的可解性問(wèn)題，下面給出方程的弱解定義.

定義1u是方程(1)的一個(gè)弱解,如果u∈L∞(0,T;Lm+1(Ω)),ρα/2對(duì)任意在?Ω和t=T上為零的函數(shù)φ∈C1(QT),u滿(mǎn)足

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易知定義1等價(jià)于:1)u∈L∞(0,T;Lm+1(Ω)),ρα/2um∈L∞(0,T;L2(Ω))；2)?滿(mǎn)足∫QT((ραum)φ-uφt)dxdt=0；3)對(duì)所有t>0,u(t)∈L1(Ω)且.需要注意的是，其中并沒(méi)有涉及到邊界值問(wèn)題.

退化拋物方程解的這種性質(zhì)很早就被數(shù)學(xué)家們所重視，文獻(xiàn)[14]首次研究了

(4)

的情形,得到了以下重要結(jié)論： 若0<α

則稱(chēng)u是方程(1)的具有齊次邊界條件的解.

本文將借鑒多孔介質(zhì)方程的解的存在性證明方法，證明如下的結(jié)論：

定理1設(shè)u0非負(fù),u0∈Lm+1(Ω),ρα/2(Ω)),α≥2,則具有初值條件(2)的方程(1)在定義1下存在具有齊次邊界條件的解.

1Fichera-Oleinik理論

考慮形如

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的二階方程,若對(duì)于任意的實(shí)向量ξ=(ξ1,ξ2,…,ξm)和任意點(diǎn)x∈Ω,具有條件arsξrξs≥0,就稱(chēng)為Ω上的具有非負(fù)特征形式的二階方程.顯然,有非負(fù)特征形式的二階方程包含橢圓方程和拋物方程,一階方程(arsξrξs≡0的情況),超拋物方程,Brown運(yùn)動(dòng)方程,在上半平面的Tricomi方程等等.

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其中,f……