一種組合并聯機構的運動學分析及剛度分析

槐創鋒，陳華，劉平安，舒迎將

(華東交通大學機電學院，江西南昌 330013)

一種組合并聯機構的運動學分析及剛度分析

槐創鋒，陳華，劉平安，舒迎將

(華東交通大學機電學院，江西南昌 330013)

以一種新型的可實現3-PUU機構和3-UPU機構的組合并聯機構為對象，對該機構在可實現兩種并聯機構的情況下分別進行機構自由度分析、運動學分析，得出機構的運動學正逆解以及雅克比矩陣，根據所求出的雅克比矩陣進一步對機構進行機構剛度分析，并用MATLAB軟件求解剛度值，繪制出在給定的位姿時上下平臺的相關結構參數對整體剛度值的影響曲線圖，為此組合并聯機構的進一步分析提供了理論分析的依據，對組合并聯機構的設計具有一定指導作用。

組合并聯機構;運動學;雅可比矩陣;剛度分析

0 前言

并聯機構在工作進程中總會承受外力載荷，即其末端執行器會對被作用的物體施加力或力矩的作用，如果并聯機構的整體剛度較小，就會發生較大變形，導致其無法進行正常的工作，因而分析并聯機構的剛度對于機構性能研究具有重要的理論價值和意義［1］。

至今已有不少學者對并聯機構的剛度進行過分析，其中韓書葵等［2］采用螺旋理論方法推導出了少自由度機構剛度計算公式，分析了機構條件數，給出了機構最大剛度與最小剛度的計算方法，繪出了機構最大剛度和最小剛度曲線;孟巧玲［3］采用基于新的守恒協調剛度矩陣推導出3-PRR平面并聯機構、6-SPS空間并聯機構剛度映射公式，結合其工作空間對所研究的機構進行剛度特性分析;樂林林等［4］從動平臺所受作用力和發生位移的關系角度，建立了剛度模型，并給出了機構靜剛度的度量指標;胡波等人［5］在建立的剛度模型中考慮了約束反力對機構剛度的影響，能夠體現約束對機構剛度的影響。可以看出，關于機構結構參數對機構剛度的影響還鮮有研究，本文作者從影響并聯機構剛度的機構結構參數入手，研究一種可實現3自由度宏觀運動和3自由度微動調節的3PUPU的醫療并聯機構［6］的剛度隨機構結構參數變化情況。先分別對處于兩種結構狀態時的并聯機構的進行運動學分析，得出機構運動正逆解，并計算出機構的雅克比矩陣;其次，通過得出的雅克比矩陣分析機構的整體剛度值隨上下平臺結構參數的變化情況;最后，應用MATLAB軟件對整體剛度值進行運算分析，并繪制出上下平臺結構參數對整體剛度的影響曲面圖。根據影響曲面圖，得出機構整體剛度是否受上下平臺結構參數的影響，如果有影響，可以對所設計的并聯機構結構尺寸進行適當的修正，使之能夠獲得較高的剛度，進而保證機構能夠順利圓滿地完成每一個工作任務。

1 3-PUPU并聯機構

如圖1所示，該裝置利用3-UPU和3-PUU兩種3自由度并聯機構支鏈運動副組成相近的特點，將兩種并聯機構支鏈中的“PU”部分支鏈進行共用，組成了一種能夠實現3自由度宏觀運動和3自由度微動調節的3PUPU的醫療并聯機器人。它是一種部分支鏈重合的組合并聯機構，通過部分驅動運動副鎖死和放開實現可用于醫療機器人的位置和姿態控制，能夠實現宏觀運動和微動調節兩種復合運動形式的場合。

圖1 3-PUPU并聯機構總裝配示意圖

2 機構運動學分析

2.1 機構作為3-UPU并聯機構實現運動輸出

要實現三自由度3-UPU并聯機構運動輸出時，鎖死滑塊9、10、11，將機構簡化如圖2所示。其中動靜平臺通過3條UPU支鏈連接在一起，P副作為驅動副，U副為從動副，而且分別與動靜平臺相連的兩個轉動副軸線相互平行，并共同平行于動靜平臺，P副兩端的兩個轉動副軸線也是相互平行的。在動靜平臺上分別建立oxyz和OXYZ空間直角坐標系，初始位置時，Z軸和z軸均垂直于動靜平臺，Y軸與$i1重合，y軸與$i5重合。

圖2 3-UPU并聯機構示意圖

2.1.1 計算3-UPU并聯機構的自由度

運用螺旋理論，求出第i條分支的分支運動螺旋系如下:

利用分支運動螺旋和分支約束螺旋相逆的原理，由分支運動螺旋可以推導出第i條分支的分支約束螺旋系，如下:

由式 (1)可知，3-UPU并聯機構的每個UPU分支鏈對動平臺都會施加1個平行于基座標系Z軸方向的約束力偶，由于靜平臺基座標系的X、Y軸分別與靜平臺相連的萬向鉸兩個軸線平行，這個約束力偶一定會垂直于與靜平臺相連的萬向鉸兩個軸線所在平面，而且靜平臺處相連的3個萬向鉸軸線所在平面均不平行也不重合，故3個約束力偶也互不平行，因此，3個約束力偶將會約束動平臺的3個轉動，此3-UPU并聯機構擁有3個移動自由度。

2.1.2 作為3-UPU并聯機構時的位置逆解的計算

并聯機構的位置反解指已知輸出參數求輸入參數，如圖2所示，設動靜平臺各個虎克鉸的中心點的連線分別為兩個相似的等邊三角形△abc和△ABC，其邊長分別為d和D，且 Aa=L1，Bb=L2，Cc=L3，動平臺的中心點o在靜平臺坐標系OXYZ中的坐標為Oo=(x y z)，可列出如下方程組:位形，兩種情況均有

2.2 機構作為3-PUU并聯機構實現運動輸出

如前文所述，要實現三自由度3-PUU并聯機構運動輸出時，鎖死直線驅動器16、17、18，滑塊1、滑塊2和滑塊3為該機構的驅動裝置，3-PUU機構簡圖如圖3所示，此時，動靜平臺通過3條PUU支鏈連接在一起，P副作為驅動副，U副為從動副，而且分別與動靜平臺相連的轉動副軸線對應相互平行，并共同平行于動靜平臺。在動靜平臺上分別建立oxyz和OXYZ空間直角坐標系，Y軸與$i3平行，X軸與$i2平行，且$i2與$i4平行，$i3與$i5平行。

由式 (8)可知，3-UPU并聯機構在D=d時，即上下平臺為全等的等邊三角形時，處于奇異位形狀態，這時3條UPU支鏈相互平行，另外當z=0時，此時動靜平臺已經相互重合為一個平面了，也是奇異

圖3 3-PUU并聯機構示意圖

2.2.1 計算3-PUU并聯機構的自由度

運用螺旋理論，求出第i條分支的分支運動螺旋系如下:

同理，利用分支運動螺旋和分支約束螺旋互逆的原理，由分支運動螺旋可以推導出第i條分支的分支約束螺旋系，如下:

由式 (9)可知，其是一個反螺旋力偶矢量，它表示的物理意義是3個分支同時約束了動平臺繞著平行于 (0 0 1)的轉動，與前面分析的3-UPU并聯機構一致，此約束力偶方向與靜平臺上基座標系的Z軸方向一致，而與靜平臺相連的萬向鉸兩個軸線分別平行于靜平臺的X、Y軸，故此約束力偶方向與該萬向鉸兩軸線所在平面垂直，而且靜平臺處相連的3個萬向鉸軸線所在平面均不平行也不重合，故3個約束力偶也互不平行，因此，3個約束力偶必會約束動平臺的3個轉動，此3-UPU并聯機構僅擁有3個移動自由度。

2.2.2 作為3-PUU并聯機構時的位置逆解的計算

這里已知輸出參數x，y，z和機構結構參數R，r，L，l，解3個一元二次方程可以比較容易的求出位置逆解 l1，l2，l3(li≥0，i=1，2，3)。

2.2.3 作為3-PUU并聯機構時的位置正解的計算

已知輸入參數l1，l2，l3和結構參數R，r，L，l，θ，由式 (10)、(12)可以用MATLAB軟件很方便地計算出上面方程組的解x，y，z，且z必取大于零的值，x，y，z的值即為所求的3-PUU并聯機構的位置正解。

2.2.4 3-PUU并聯機構的雅可比矩陣的求解

同理，將式 (10)、(12)方程組對時間求導可得雅可比矩陣:

2.2.5 3-PUU并聯機構奇異位形的分析計算

并聯機構均處于奇異位形，此時△abc和△DEF為全等的等邊三角形，三支鏈相互平行，或者當z=0時，此時上下平臺會重合一部分，機構也會處于奇異位形。

3 機構的剛度分析

3.1 機構作為3-UPU并聯機構時的剛度分析

C GOSSILIN在1990年提出:并聯機構在其工作空間內一點的剛度可以通過它的剛度矩陣來描述的，由此他給出了并聯機構的剛度矩陣公式:

上述公式 (15)中的Kj為關節剛度矩陣，且為含有常量kii的對角矩陣 (i=1，2，3);J為并聯機構的雅可比矩陣，這里取kii=k(i=1，2，3)，即3-UPU并聯機構的所有支鏈的剛度值為k，因此，公式 (15)可化簡為如下公式:

其中k1，k2，k3依次分別為KC主對角線上的元素，雅可比矩陣J已經求出，對并聯機構的結構參數進行賦值，取x=30 mm，y=40 mm，z=100 mm，k=20 N/m，下面根據上述機構參數的值應用MATLAB軟件分析3-UPU并聯機構的上下平臺邊長D和d對機構整體剛度K值的影響，如圖4、5所示。

圖4 3-UPU并聯機構整體剛度K隨D值變化曲線圖

圖5 3-UPU并聯機構整體剛 度K隨d值變化曲線圖

MATLAB繪圖結果表明:對于3-UPU并聯機構，當末端動平臺中心點O相對于靜平臺的位姿參數確定時 (這里取一組數據值x=30 mm，y=40 mm，z=100 mm，k=20 N/m)，3-UPU并聯機構的整體剛度值為一個定值60 N/m，即針對3-UPU并聯機構而言，其整體剛度值K并不受上下平臺機構結構尺寸D和d值的影響，通過改變D和d是無法增大其整體的剛度值的，提升其剛度值還需從其他方面著手。

3.2 機構作為3-PUU并聯機構時的剛度分析

同理，對3-PUU并聯機構的結構參數進行賦值，取已知輸出參數x=30 mm，y=40 mm，z=300 mm，和機構結構參數R，r，L，l，k=20 N/m，下面根據上述機構參數的值，應用MATLAB軟件研究3-PUU并聯機構的上下三角形平臺外接圓半徑R和r對機構整體剛度K值的影響。如圖6、7、8所示。

圖6 3-PUU并聯機構整體剛度K隨R和r值的變化曲線圖

圖7 3-PUU并聯機構整體剛度K隨r值變化曲線圖

圖8 3-PUU并聯機構整體剛度K隨R值變化曲線圖

同理，根據圖6—8可以得出:對于3-PUU并聯機構，當末端動平臺中心點O相對于靜平臺的位姿參數確定時 (這里取一組數據值k=20 N/m，L=240 mm，x=30 mm，y=40 mm，z=300 mm，l=80 mm)，3-UPU并聯機構的整體剛度值分別隨著R和r的增大逐漸增大，且當R=r=110 mm時，K取得最大值2.161×104N/m，即對3-PUU并聯機構而言，可以通過適當的提高其上下平臺半徑值，來達到增加整體剛度的目標。

4 結論

(1)可實現3-PUU機構和3-UPU機構的組合并聯機構在兩種機構構型下均能實現3個移動自由度，其整體剛度值與末端位姿參數相關。

(2)當該組合并聯機構處于3-UPU機構構型時，機構的整體剛度值不隨其上下平臺的邊長的變化而變化，提升其剛度值還需從其他方面研究;當該組合并聯機構處于3-PUU機構構型時，機構的整體剛度值隨著上下平臺外接圓半徑R和r的增大而增大，即可以通過適當的提高上下平臺外接圓半徑的尺寸來提高此時機構的整體剛度。

(3)當機構中滑塊9、10、11和直線驅動器16、17、18均處于未鎖死狀態時，即機構處于3-PUPU并聯機構時，其機構的剛度仍有待于進一步研究。

［1］艾青林，黃偉鋒，張洪濤，等.并聯機器人剛度與靜力學研究現狀與進展.力學進展［J］.2012，42(5):583 －592.

［2］韓書葵，方躍法，槐創鋒.4自由度并聯機器人剛度分析［J］.機械工程學報，2006，42(增):31 －34.

［3］孟巧玲.并聯機構剛度特性分析［D］.沈陽:東北大學，2008.

［4］樂林林，李開明.3-(2SPS)并聯機構靜剛度分析［J］.現代設計與先進制造技術，2010，39(13):39－43.

［5］胡波，路懿.求解3-RPS并聯機構剛度的新方法［J］.機械工程學報，2010，46(1):24 －29.

［6］槐創鋒，劉平安，程賢福.基于3UPU-3PUU型組合并聯機構的主動振動抑制控制［J］.機床與液壓，2013，41(9):21－24.

Kinematics and Stiffness Analysis of a Combined Parallel Mechanism

HUAIChuangfeng，CHEN Hua，LIU Pingan，SHU Yingjiang
(School of Mechatronics，East China Jiaotong University，Nanchang Jiangxi330013，China)

By taking a new realized type of combined parallel3-UPU and 3-PUUmechanism as the research object，the degree of freedom and kinematics of the combined mechanismare analyzed in the case of two realize parallelmechanism respectively，to get the forward displacement and inverse displacement analysis in kinematicsofmechanism.According to the Jacobian matrixgotten，stiffness analysis of themechanism was carried out further.Moreover，the stiffnesswas calculated by using the software ofMATLAB，under the given position，to obtain influence graphs of the overall stiffness value through related structural parameters of the up and down platform.It provides the basis of theoretical analysis for the further research of the combined mechanism，and has a certain guiding role in designing it.

Combined parallelmechanism;Kinematics;Jacobian matrix;Stiffness analysis

TP242

A

1001－3881(2015)21－008－5

10.3969/j.issn.1001 －3881.2015.21.002

2014－9－19

國家自然科學基金資助項目 (51265011);江西省自然科學基金資助項目 (Gjj13347)

槐創鋒(1981—)，男，博士，副教授，主要研究方向為機械設計、機構學、機器人技術。E－mail:hcf811225@163.com。