非線性Schr?dinger方程的五次B-樣條逼近

謝　燁，梁宗旗

(集美大學理學院，福建 廈門 361021)

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非線性Schr?dinger方程的五次B-樣條逼近

謝燁，梁宗旗

(集美大學理學院，福建 廈門 361021)

[摘要]利用五次B-樣條配點有限元方法研究了經典的三次非線性Schr?dinger方程.在該格式中，關于時間方向的離散是基于Crank-Nicolson差分格式，而空間方向采用了分片五次B-樣條函數逼近，其得到的剛度矩陣是一個分塊五對角型矩陣.同時，利用線性穩定性分析方法證明了該格式是無條件穩定的.通過數值例子，驗證了該格式保持了方程的守恒性質及具有較高的精度，最后模擬了兩個孤立子的碰撞.

[關鍵詞]非線性Schr?dinger方程；B-樣條；數值逼近；孤立子

0引言

非線性Schr?dinger方程是一種典型的色散波動方程[1]，這類方程從數學角度揭示了線性色散與非線性的交互作用，同時也是研究光孤子特性的基本方程.等離子體的Langmuir波、一維色散的自調制、二維定態平面波的自聚焦、超導電子對電磁場中的運動等都可以用非線性Schr?dinger方程來描述.非線性Schr?dinger方程不僅具有無窮個守恒律，存在Backlund變換和完全可積等特性，同時利用散射反演法和修正映射等方法得到了該方程及帶有克爾效應的非線性Schr?dinger的精確解及其孤立子解[2-7].為了考察孤立子的穩定性和相互作用，一大批非線性進化方程的數值計算方法也隨之應運而生，因為是否保持原方程的守恒性和孤立子碰撞及是否改變其形態可以作為衡量和檢驗數值方法好壞的一個重要標尺.

本文研究如下的三次非線性Schr?dinger方程的Dirichlet初邊值問題：