錐形運動控制的導彈姿態穩定性分析*

段笑菊，孫瑞勝，白宏陽，薛曉中

(1.南京理工大學瞬態物理國家重點實驗室，南京210094;2.南京理工大學能源與動力工程學院，南京210094)

錐形運動是導彈以固定攻角繞速度矢量旋轉，形成一個以速度矢量為中心的圓錐面的運動現象［1］。它能夠使導彈產生等幅的誘導攻角，增加彈體阻力，降低飛行速度。所以，錐形運動控制是實現導彈飛行速度控制的有效途徑［2-4］。但是，錐形運動也會產生如附加的馬格努斯效應、陀螺效應導致的通道間嚴重耦合等，嚴重時甚至造成彈體飛行失穩。美國的奈特霍克探空火箭在試驗中就曾很多次出現了發散的錐形運動。

近年來，國內外眾多學者紛紛展開錐形運動控制的策略和穩定性研究，提出了多種建模和分析方法。1969年Peterson［5］首先分析了導致錐形運動的可能因素:發射不確定因素、起旋系統的不同軸性、能量耗散、初始擾動、馬格努斯力和力矩等。為進一步了解錐形運動產生的原因，1970年Tobak采用風洞試驗的方法證明了馬格努斯力和力矩是產生極限圓錐運動的主要原因之一。1972年Schiff［6］采用旋轉坐標系解穩態歐拉方程，計算了圓錐體圓錐運動中的超音速非黏性的流場。在此基礎上，Nicolaides［7］通過理論推導和風洞實驗證明了旋轉誘導產生的面外力和面外力矩是產生錐形運動的直接原因。此后，很多學者又通過不同的方法針對錐形運動的機理開展了更加深入的研究。趙良玉［8］探討了圓錐運動穩定性判別與彈道仿真一體化的分析方法，提出通過判斷速度最大點的圓錐運動穩定性來評估整個飛行過程中的圓錐運動穩定性態勢。李奉昌［9］采用奇點理論與振幅平面方程推導了非對稱赤道阻尼力矩作用下產生極限圓錐運動的條件;還有一些學者［10-12］直接利用剛體導彈運動方程結合李雅普諾夫方法及勞斯判據，對錐形運動及其運動發散的條件進行研究和數值仿真，但都沒有從陀螺效應的角度直接對錐形運動的生成機理和運動方式進行分析，因此有必要從導彈錐形運動控制的需求出發，研究基于錐形運動控制的穩定性判定方法，為導彈速度控制的方案設計提供依據。

1 導彈速度控制的姿態穩定性分析

錐形運動一般有全攻角和復攻角［13］兩種數學描述方法，在國內外現有文獻中，采用復攻角方法研究導彈運動及穩定性的成果較多，主要是通過將彈體運動分為長周期運動(質心運動)和短周期運動(姿態運動)［14］，分析彈體的姿態運動特性，并將彈體繞質心的姿態運動近似為攻角運動，這種錐形運動穩定性的研究方法對低空彈道是行之有效的。

在錐形運動控制中，采用如圖1所示的控制結構，其中ωn為阻尼回路的穿越頻率，nyc，ny分別為飛行控制系統俯仰通道的過載指令和實際過載;Kω，Ka為控制參數，Gp(s)，Gg(s)，Ga(s)分別表示舵機環節、角速率陀螺、加速度計傳遞函數，均看作放大系數為1的比例環節。錐形運動彈體模型的詳細推導過程可參考文獻［15］。為分析控制系統對彈體穩定性的影響，將制導控制環節作為彈體攻角方程的一部分，采用李雅普諾夫穩定性判定方法分析彈體的穩定特性。

圖1 導彈縱向通道控制結構Fig.1 Control structure of the missile longitudinal channel

1.1 控制回路對導彈的影響分析

通常導彈采用軸對稱氣動布局，因而縱向與側向通道的控制結構相同，錐形運動控制的控制律為

導彈的實際過載可表示為

導彈錐形運動控制的導引指令包括兩部分，分別為錐形運動指令和比例導引指令，如式(2)所示，其中錐形運動指令在縱向和側向平面分別采用正弦和余弦的過載指令。

式中，ω為交變角速度，nδ為指令攻角對應的過載指令。將式(2)帶入式(1)可得:

令Φ=θV+iφ，下標C表示復平面的控制信息，則δC=δzc+δyc·i，nC=nyc+nzc·i，ωC=ωz+ωy·i。將式(3)合并可得復平面的控制律:

由導彈復平面的姿態關系，文獻［15］通過詳細的推導得到如下關系:

忽略馬氏力a13等小量，可得

將式(7)代入式(4)，化簡可得

將式(8)帶入式(6)，消去δC，可得關于復攻角的二階非齊次微分方程

控制系統的穩定性是指彈體受到干擾后，長周期和短周期運動幅值均具有收斂趨勢，從數學意義講，就是要求齊次運動方程特征根具有負實部。對于上式所示的非齊次運動方程，其穩定性可以通過齊次微分方程的特征根判定。

為方便推導，定義

定義x=［Φσ˙σ］T，可得狀態方程:

式(10)的特征多項式為

根據數值分析理論［16］，式(12)的所有特征根均在復平面負半軸的充分必要條件為

忽略與b22的乘積項，整理可得:

第二種形式可表示為

由于p1p2-p3〉0，因此彈體穩定性條件為

進一步整理可得

穩定性條件式(15)具有明顯的物理意義:即要求做錐形運動時保持彈體復攻角σ所需的控制力矩必須大于復攻角σ產生的氣動力不穩定力矩，才能保證導彈受到干擾后依然能夠回到初始運動狀態。在實際情況中，導彈控制系統不僅要求滿足穩定性條件，還必須:①具有一定的穩定裕度，以提高系統抗干擾能力;②補償系統元件慣性和彈性特性;③具有較好的動態響應特性，即較快的收斂特性和較小的過渡時間和超調量等。

1.2 阻尼回路對導彈的影響分析

根據式(15)推導得到的錐形運動控制穩定性必要條件，采用基于增益調度的自適應控制方法［17］設計飛行控制系統控制回路的控制參數Kα。令Kα保持不變，對比不同阻尼回路控制參數對彈體穩定性的影響。以表1所示的特征點為例研究控制系統性能，根據式(15)所示的穩定性判定方法，若基于錐形運動控制的導彈能夠保持穩定，阻尼回路參數Kω必須大于0.12。

表1 導彈某特征點的動力學系數Tab.1 Dynamic coefficients of a feature point

分別選取Kω=0.2和Kω=0.1，繪制特征點控制系統的頻域響應曲線，結果如圖2、圖3所示。

以某一段彈道為例進行錐形運動控制仿真，過載指令僅包含保持錐形運動的控制指令，復攻角的變化曲線如圖4、圖5所示。

由仿真結果可見，當控制參數Kω滿足式(7)的邊界條件時，導彈錐形運動能夠保持彈體穩定。反之，若控制參數Kω不滿足條件，則復攻角呈發散趨勢，彈體出現不穩定現象。

圖2 Kω=0.2時的頻域響應曲線Fig.2 Frequency response curve when Kω=0.2

圖3 Kω=0.1時的頻域響應曲線Fig.3 Frequency response curve when Kω=0.1

圖4 Kω=0.2時的復攻角變化曲線Fig.4 Curve of the complex attack angle when Kω=0.2

2 基于錐形運動控制的彈道仿真

以導彈末制導為例研究錐形運動控制對彈體穩定性的影響。假設末制導時的初速為450m/s，初始位置(0，10km，0)，初始彈道傾角-20°，彈道偏角0°，目標位置(14km，10km，0)。根據式(15)所示的控制系統穩定性判定方法，繪制控制器參數Kα，Kω的關系曲線，建立控制系統的邊界條件，如圖6所示。當控制器參數位于圖中空白區域內時，導彈的復攻角將保持收斂趨勢，反之將發生發散現象。

圖5 Kω=0.1時的復攻角變化曲線Fig.5 Curve of the complex attack angle when Kω=0.1

圖6 控制系統穩定區間Fig.6 Stable range of the control system

如圖7所示，導彈攻角始終繞速度矢量旋轉，形成了一個以速度矢量為中心的圓錐面，導彈保持錐形運動飛行。

如圖9所示，相比于單純的比例導引，導彈飛行速度大幅降低。仿真結果表明，所設計的控制器能夠克服干擾，使姿態角偏差限制在容許范圍內，并根據導引指令改變彈體姿態，滿足控制系統穩定性的邊界條件。

作為對比，降低控制器帶寬，設計不滿足穩定性的邊界條件的控制器，取Kω=0.5，Kα=0.3，仿真結果如圖10至圖12所示。

圖7 復攻角的變化曲線Fig.7 Curve of the change of the complex attack angle

圖8 彈道傾角與時間的關系Fig.8 Relation between missile flying-path angle and time

圖9 速度與時間的關系Fig.9 Relation between missile velocity and time

阻尼回路的作用是提高系統阻尼，增強彈體的飛行穩定性，使彈體在受到干擾后依然能夠恢復到原來的穩定狀態，因此必須設計合理的控制參數。當控制回路的控制參數Kα位于不穩定區間時，由圖11、圖12仿真結果可見，起始10s內，導彈僅采用比例導引，尚未加入錐形運動導引指令時，俯仰、偏航通道的過載跟蹤曲線逐漸偏離，特別是錐形運動開始后，導彈雖然能夠保持相對穩定，但與設計結果相差甚遠，出現明顯的控制偏差，導彈在做第八個圓錐運動時，偏航過載指令曲線發散，說明所設計的控制器不能實現導彈錐形運動控制。將圖10和圖7的復攻角結果仿真對比可以看出，控制參數分別位于穩定與不穩定區域的控制器具有完全不同的控制性能，驗證了該導彈穩定性判定方法的可行性。

圖10 復攻角的變化曲線Fig.10 Curve of the change of the complex attack angle

圖11 俯仰通道的過載曲線Fig.11 Curve of overload in pitch channel

圖12 偏航通道的過載曲線Fig.12 Curve of overload in yaw channel

3 結論

本文從錐形運動控制降低導彈飛行速度的需求出發，開展了導彈錐形運動控制的穩定性判定方法研究，建立了導彈錐形運動的控制模型，揭示了控制系統阻尼回路和控制回路對提高導彈錐形運動穩定性的影響規律，提出了一種判定導彈控制系統穩定性的方法。該方法結構簡單、思路清晰，能夠適應工程實踐的應用要求，可以用來判定導彈錐形運動控制時的控制器穩定性，為導彈錐形運動的制導控制系統設計提供了理論基礎。

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