多區(qū)塊偏最小二乘回歸及在環(huán)境-食品重金屬遷移中的應(yīng)用*

蔣紅衛(wèi)張 磊尹 平

多區(qū)塊偏最小二乘回歸及在環(huán)境-食品重金屬遷移中的應(yīng)用*

蔣紅衛(wèi)1△張 磊2尹 平1

目的探討處理復(fù)雜數(shù)據(jù)存在多個變量區(qū)塊情形的一種統(tǒng)計(jì)分析方法：多區(qū)塊偏最小二乘回歸（MBPLSR），并將其用于環(huán)境-食品重金屬遷移研究之中。方法將重金屬鎘從環(huán)境向大米遷移的影響因素，劃分為土壤理化特性與各態(tài)鎘含量兩類，運(yùn)用MB-PLSR建立環(huán)境-大米鎘轉(zhuǎn)移模型，并且與傳統(tǒng)偏最小二乘回歸（PLSR）進(jìn)行性能比較。結(jié)果MB-PLSR較好地利用變量區(qū)塊的先驗(yàn)信息，使得其無論是在數(shù)據(jù)擬合、預(yù)測性能方面，還是在維度壓縮方面，均優(yōu)于PLSR。結(jié)論MB-PLSR適用于具有變量區(qū)塊的復(fù)雜數(shù)據(jù)建模，具有較好的信息綜合和解釋能力。

變量區(qū)塊 成分 重金屬 偏最小二乘回歸

在許多大型研究中，所需要處理的變量數(shù)目達(dá)到幾十個，甚至成百上千個，通常可以按照某種內(nèi)涵的相似性，將其劃分為多個變量類屬（變量區(qū)塊，variable block）。一般而言，與不同類屬的變量相比，相同類屬的變量之間往往具有更強(qiáng)的相關(guān)性與特定的專業(yè)意義，便于信息提取與模型解釋［1］。例如，大型流行病學(xué)調(diào)查中，常將危險(xiǎn)因素劃分為多個類屬（區(qū)塊），如，人口學(xué)指標(biāo)類、心理行為指標(biāo)類、生理生化指標(biāo)類、社會經(jīng)濟(jì)指標(biāo)類等，以期在分析各因素對健康影響的強(qiáng)度基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析各變量類屬對健康影響的重要程度。又如，食品重金屬污染研究中，常將影響因素劃分為土壤重金屬指標(biāo)類、土壤理化指標(biāo)類、污染排放指標(biāo)類等，需要明確各因素對重金屬從環(huán)境向食品遷移的作用。若直接運(yùn)用傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分析方法，就會導(dǎo)致模型極為龐雜，參數(shù)估計(jì)不穩(wěn)定，結(jié)果難以分析與解釋等問題。目前常用的處理方法主要有兩類，一是變量篩選，二是降維。研究表明［2-3］，通過變量篩選，大量解釋變量無法按照其在所屬區(qū)塊中的重要性予以納入或剔除，容易形成錯誤的統(tǒng)計(jì)模型，也無法確定各變量區(qū)塊的作用，導(dǎo)致對結(jié)果虛假的分析與解釋。因而，針對具有多變量區(qū)塊的復(fù)雜數(shù)據(jù)，更偏向于使用降維方法，如多區(qū)塊主成分分析，多區(qū)塊偏最小二乘回歸（multi-block partial least squares regression，MB-PLSR）等。

作為一種相當(dāng)高效的第二代統(tǒng)計(jì)分析方法，偏最小二乘回歸（partial least squares regression，PLSR）集多元線性回歸、主成份分析和典則相關(guān)分析于一體，同時實(shí)現(xiàn)了回歸建模、降維與兩組變量相關(guān)性分析［4］。它采用非線性迭代偏最小二乘算法（nonlinear iterative partial least squares，NIPALS），建立解釋潛變量與反應(yīng)潛變量的回歸關(guān)系。研究表明［4］，PLS可以有效地降低模型的復(fù)雜度，克服了回歸分析中多重共線性、高維低樣本量等問題，適用于弱理論領(lǐng)域和數(shù)據(jù)的軟建模。由于不同區(qū)塊的影響因素有著本質(zhì)差別，因而，必須在一個統(tǒng)一的統(tǒng)計(jì)框架下，予以分開處理［5］。針對復(fù)雜數(shù)據(jù)的變量區(qū)塊特性，Wangen與Kowalski［3，6］提出了多區(qū)塊偏最小二乘回歸。該方法不僅繼承了PLSR的優(yōu)良性質(zhì)，而且適用于處理變量區(qū)塊問題，可以更好地解釋來自不同區(qū)塊間變量的作用。因此，本文將在引入變量區(qū)塊概念的基礎(chǔ)上，較系統(tǒng)地研究多區(qū)塊偏最小二乘回歸模型，并用于食品重金屬污染實(shí)例分析。

基本理論與算法

1.基本思想

假定存在著B＋1個變量區(qū)塊，包含反應(yīng)變量區(qū)塊Y，與B個解釋變量區(qū)塊Xb，b＝1，2，…，B。其中，反應(yīng)變量區(qū)塊Y包含一或多個反應(yīng)變量，解釋變量區(qū)塊Xb包含mb個解釋變量，合并解釋變量X＝［X1｜X2｜…｜XB］，共含有m＝m1＋m2＋…＋mB個解釋變量。所有變量均來自于n個研究個體的觀測。MB-PLSR從每個解釋變量區(qū)塊中提取區(qū)塊成分，再次從區(qū)塊成分中提取解釋變量全局成分，并與反應(yīng)變量空間成分建立直接的回歸關(guān)系，從而，間接建立全部解釋變量與反應(yīng)變量的回歸關(guān)系，其基本思想如圖1所示。

圖1 多區(qū)塊數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與MB-PLSR思想示意圖

2.基本原理

多區(qū)塊偏最小二乘回歸的優(yōu)化準(zhǔn)則如下：

可以證明，反應(yīng)變量成分u的解為矩陣Y最大特征值所對應(yīng)的特征向量，區(qū)塊成分tb（X）是反應(yīng)變量成分u在解釋變量區(qū)塊Xb的投影。由此可見，MB-PLSR可滿足以下兩個條件：①盡量提取各變量區(qū)塊變異信息；②所提取的解釋變量區(qū)塊信息能最大限度地解釋反應(yīng)量的變異信息。

3.基本算法

MB-PLSR在每一步中采用NIPALS，提取各變量區(qū)塊成分，并獲得解釋變量全局成分與反應(yīng)變量成分回歸模型的估計(jì)。以下是MB-PLSR算法之一：

第一步，將解釋變量空間X和反應(yīng)變量空間Y進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換，令X0＝X，Y0＝Y(jié)。

第二步，指定任意隨機(jī)數(shù)列，作為反應(yīng)變量Y的成分u0。

第三步，計(jì)算解釋變量區(qū)塊Xb第a個成分tab（X）及其權(quán)重向量wab（X）。

第四步，計(jì)算第a個解釋變量全局成分及其權(quán)重wa（T），以及反應(yīng)變量Y的成分ua與權(quán)重向量qa。

第五步，重復(fù)第三、四步，直至第a個全局成分ta（T）收斂。

第六步，計(jì)算解釋變量X的區(qū)塊載荷Pb（X）與回歸系數(shù)B。

第七步，計(jì)算解釋變量殘差空間Xa＋1與反應(yīng)變量殘差空間Ya＋1。

為了衡量解釋變量對反應(yīng)變量的作用，使用變量投影重要性指標(biāo)（variable importance of the projection，VIP）來衡量，相關(guān)定義見文獻(xiàn)［7］。類似于VIP定義，區(qū)塊投影重要性指標(biāo)（block importance of the projection，BIP）使用全局成分與反應(yīng)變量的相關(guān)系數(shù)平方和來定義［3］，反映各變量區(qū)塊對反應(yīng)變量的影響程度與重要性。

本文采用SAS9.3完成多區(qū)塊偏最小二乘回歸模型的統(tǒng)計(jì)分析。

圖2 多區(qū)塊偏最小二乘回歸算法圖示

實(shí)例分析

重金屬通過不同形態(tài)由環(huán)境向食品逐步遷移累積，直接威脅食品安全，造成人群健康水平風(fēng)險(xiǎn)［8］。只有構(gòu)建合理的環(huán)境-食品重金屬遷移模型，才能較全面認(rèn)識重金屬遷移的統(tǒng)計(jì)規(guī)律［9-10］。本實(shí)例的食品重金屬污染數(shù)據(jù)來自于2008年湖北省天門市環(huán)境與食品污染調(diào)查的一部分。具體調(diào)查方案是，于晚稻成熟期間，在水稻主產(chǎn)區(qū)的崗狀平原，采用系統(tǒng)抽樣采集52塊稻田，獲取土壤52份，及其相應(yīng)的晚稻樣品52份。本次調(diào)查變量劃分三個區(qū)塊。一是，土壤理化變量區(qū)塊，含土壤的酸堿度（pH值）、容重（g／cm3）、有機(jī)質(zhì)（%）、交換性酸度（cmol／kg），分別記為x11，x12，x13，x14；二是，各態(tài)鎘變量區(qū)塊，包含土壤中總鎘（mg／kg）、有效態(tài)鎘（mg／kg）、碳酸鹽態(tài)鎘（mg／kg）、有機(jī)結(jié)合態(tài)鎘（mg／kg），分別記為x21，x22，x23，x24；三是，反應(yīng)變量大米中鎘含量（mg／kg），記為y。其中，各鎘含量均取自然對數(shù)。現(xiàn)運(yùn)用MB-PLSR探討土壤理化特性、各態(tài)鎘對大米鎘含量的影響關(guān)系。

對原始數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)化變換，采用交叉核實(shí)法，確定提取2個全局成分（記為t1（T），t2（T）），同時，在土壤理化變量區(qū)塊中提取2個區(qū)塊成分（記為t11（X），t12（X）），在各態(tài)鎘變量區(qū)塊中提取2個區(qū)塊成分（記為t21（X），t22（X）），構(gòu)建MB-PLSR模型。

各區(qū)塊成分與其相應(yīng)的解釋變量的關(guān)系如下：

其中，t11（X）和t12（X）對土壤理化的解釋程度達(dá)到70.2%，成分t11（X）主要反映了酸堿度x11與交換性酸度x14的信息，成分t12（X）突出反映了有機(jī)質(zhì)x13的信息；t21（X）和t22（X）對各態(tài)鎘含量的解釋程度達(dá)到77.1%，成分t21（X）綜合反映了土壤各態(tài)鎘的信息，成分t22（X）重點(diǎn)反映了有效態(tài)鎘x22的信息。由此可見，這四個成分分別反映了土壤中酸度水平、有機(jī)質(zhì)水平、總鎘水平與易吸收鎘水平四類信息。

區(qū)塊成分與全局成分的關(guān)系如下：

其中，t1（T）和t2（T）對反應(yīng)變量大米鎘的解釋程度達(dá)到65.7%，全局成分t1（T）反映了土壤中酸度水平t11（X）、有機(jī)質(zhì)水平t12（X）、總鎘水平t21（X）與易吸收鎘水平t22（X）的綜合信息，且酸度信息與鎘水平呈反向關(guān)系，間接表明了原始變量區(qū)塊分為土壤理化與各態(tài)鎘水平兩區(qū)塊的合理性；結(jié)合全局成分t1（T）和t2（T）可見，土壤中不同態(tài)鎘水平對大米鎘含量影響存在差異，其中，有效態(tài)鎘呈正向關(guān)系，其他形態(tài)鎘的影響尚需進(jìn)一步明確。

各變量投影重要性指標(biāo)與載荷，見圖3。

圖3 各解釋變量及所屬區(qū)塊與反應(yīng)變量關(guān)系圖

結(jié)合圖3a與圖3c可見，大米鎘水平與有效態(tài)鎘水平關(guān)系最為密切，且呈正向關(guān)聯(lián)，與酸堿度、交換性酸度關(guān)系密切程度次之，且呈負(fù)向關(guān)聯(lián)，與碳酸鹽態(tài)鎘和總鎘水平稍呈負(fù)向關(guān)聯(lián)，其關(guān)系密切程度較弱；而容重、有機(jī)質(zhì)、有機(jī)結(jié)合態(tài)鎘與大米鎘水平關(guān)系不甚密切。由圖3b可見，相對于土壤理化特性而言，土壤中的各態(tài)鎘水平對大米鎘水平影響稍強(qiáng)。

為了便于MB-PLSR與傳統(tǒng)PLSR比較，擬從成分?jǐn)?shù)nt、回歸決定系數(shù)與預(yù)測決定系數(shù)三方面來評價(jià)兩種方法的優(yōu)劣。從原始樣本中，按照20%的比例隨機(jī)抽取樣本，作為訓(xùn)練樣本，余下的樣本作為驗(yàn)證樣本，分別用MB-PLSR和PLSR進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合與預(yù)測，重復(fù)100次，取的平均數(shù)。之后，與此類似，每次將訓(xùn)練樣本的比例提高5%，而驗(yàn)證樣本比例相應(yīng)降低5%，直至訓(xùn)練樣本比例達(dá)到80%為止。在不同訓(xùn)練樣本比例下，兩種方法所提取的成分?jǐn)?shù)nt、回歸決定系數(shù)與預(yù)測決定系數(shù)見圖4。

圖4 不同訓(xùn)練樣本比例下MB-PLSR與PLSR的成分?jǐn)?shù)與模型決定系數(shù)

由圖4a可見，MB-PLSR提取的成分?jǐn)?shù)一致地少于PLSR。這表明MB-PLSR可以更有效地壓縮解釋變量空間維度，具有更強(qiáng)的信息綜合能力。由圖4b可見，隨著訓(xùn)練樣本比例的上升，兩種方法的回歸決定系數(shù)呈下降趨勢，預(yù)測決定系數(shù)則呈上升趨勢，并且回歸決定系數(shù)一致地高于預(yù)測決定系數(shù)。兩種方法相較而言，無論在回歸決定系數(shù)方面，或是在預(yù)測決定系數(shù)方面，MB-PLSR均要優(yōu)于PLSR。這提示MB-PLSR通過區(qū)塊成分的提取，可以更為有效地剔除原始數(shù)據(jù)中的部分噪聲干擾，具有更好的模型解釋與預(yù)測能力。

結(jié) 論

本文通過采用多區(qū)塊偏最小二乘回歸對食品重金屬污染進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)，MB-PLSR可以在分析各類因素作用的基礎(chǔ)上，較好地確定各變量區(qū)塊影響大米重金屬含量的重要性。與傳統(tǒng)的偏最小二乘回歸相比較，MB-PLSR具有更強(qiáng)的信息綜合能力，模型擬合與預(yù)測精度也有所提高，并且，可以從變量、區(qū)塊、成分三個層面，對結(jié)果給予更為清晰、簡便與合理的解釋。

對復(fù)雜數(shù)據(jù)而言，MB-PLSR無需對解釋變量進(jìn)行篩選，僅需按照相近內(nèi)涵，事先對解釋變量加以分類，劃分為多個變量區(qū)塊。一方面，通過各區(qū)塊變量信息的綜合提取，反映相應(yīng)區(qū)塊的內(nèi)涵意義與潛在結(jié)構(gòu)，以便分析各解釋變量在區(qū)塊中的影響程度與重要性；另一方面，通過構(gòu)建全局成分與反應(yīng)變量之間的回歸模型，反映各區(qū)塊對反應(yīng)變量的影響程度與重要性，從而，間接地反映各解釋變量對反應(yīng)變量的影響與作用。可見，MB-PLSR通過利用變量區(qū)塊的先驗(yàn)知識，可以大幅度地降低模型建構(gòu)的復(fù)雜性，更好地符合與利用數(shù)據(jù)來源的自然結(jié)構(gòu)，進(jìn)而，達(dá)到簡化模型，整體分析的目的。

需要注意的是，MB-PLSR尚存在三個方面的不足。一是，良好的變量區(qū)塊必須依賴于堅(jiān)實(shí)的專業(yè)理論知識，變量的不良區(qū)塊會直接影響到MB-PLSR的分析效果；二是，全局成分的權(quán)重向量正交，而各解釋變量區(qū)塊成分的權(quán)重向量并不正交，這將導(dǎo)致解釋變量區(qū)塊的信息提取，存在著部分信息交叉，給在變量層面的解釋帶來一定困難；三是，該方法只能用于構(gòu)建較簡單的潛結(jié)構(gòu)關(guān)系，不適于分析具有更復(fù)雜路徑關(guān)系的高維數(shù)據(jù)，此時，需借助結(jié)構(gòu)方程模型、偏最小二乘路徑模型等其他統(tǒng)計(jì)分析方法來予以處理。

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（責(zé)任編輯：郭海強(qiáng)）

Multiblock Partial Least Squares Regression Model for Environment-Food Heavy Metal Transfer

Jiang Hongwei，Zhang Lei，Yin Ping（Department of Epidemiology and Health Statistics，Tongji College，Huazhong University of Science and Technology（430030），Wuhan）

ObjectiveTo explore multiblock partial least squares regression（MB-PLSR）that deal with multiple variable blocks in complex data，and apply this statistical method to modeling environment-food heavy metal transfer.MethodsThe influence factors of cadmium（Cd）transfer from environment to rice were divided into two blocks：soil physical-chemical variable block and multi-state Cd variable block.MB-PLSR was used for modeling environment-food Cd transfer，and was compared with classical partial least squares regression（PLSR）in their performance.ResultsIn terms of the dimensional reduction，model prediction and interpretation，MB-PLSR is superior to PLSR.ConclusionAs a practical statistical method of soft modeling for handling complex data with multiple variable block structure，MB-PLSR has several technical advantages in information extraction and model interpretability.

Variable block；Component；Heavy metal；Partial least squares regression

*國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（81373104）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)資助（2012QN241）

1.華中科技大學(xué)同濟(jì)醫(yī)學(xué)院公共衛(wèi)生學(xué)院流行病學(xué)與衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)系（430030）

2.國家食品安全風(fēng)險(xiǎn)評估中心

△通信作者：蔣紅衛(wèi)，E-mail：jhwccc＠sina.com