基于磁滯回線數學模型的變壓器勵磁電流分析

劉 康，程漢湘，郭有翠，朱貴遼

(1.廣東工業大學，廣州 510006;2.中山市凱豐電力電子設備有限公司，廣東 中山 528400)

變壓器是電力系統中的重要設備，它的安全性和穩定性對整個電力系統的運行具有相當的重要性。因此，對變壓器在合閘時產生的勵磁涌流及直流偏磁影響下的勵磁電流的分析，是學者們一直重點研究的方向。勵磁涌流實際上就是在鐵芯繞組所施加的電壓突然出現大幅度變化時，在繞組鐵芯中引起的電場急劇變化，導致鐵芯中的眾多磁偶極子發生快速偏轉，以及磁場產生快速改變，磁場變化速率越高，則對應的磁勢越大;而磁勢越大，對應的繞組勵磁電流也越大，即產生了勵磁涌流。繞組中存在的直流電流會使變壓器鐵心中存在相應的直流磁動勢和直流磁通，直流磁通與交流磁通相疊加，造成鐵心的迅速飽和，從而對變壓器和電網運行性能產生嚴重的危害［1］。因此，從鐵磁材料的磁滯軌跡出發去研究相關問題，對分析解決問題具有重要意義。

近年來，眾多學者對變壓器B－H曲線的確定提出了許多方法。文獻［2］提出了用高階多項式擬合磁滯回線;文獻［3］提出了基于樣條曲線的磁滯回線的擬合方案;文獻［4］和文獻［5］分別提出了標準磁滯回線的測量方法和直流偏磁條件下磁滯回線的測量;文獻［6］和文獻［7］則分別采用Pspice和MATLAB仿真軟件對磁滯回線進行建模仿真。但是這些方法大多是采用數據擬合，并沒有針對磁滯回線的性質提出一種通用模型，具有一定的局限性。本文在經典Preisach模型基礎之上，得到了一種的磁滯回線數學模型，通過修改模型相關參數，可以用于描述大多數鐵磁材料的磁滯回線。

1 磁滯回線的編程實現

1.1 磁滯回線數學模型［8］

20世紀70年代，俄國數學家Krasnoselskii首先將磁化材料的磁化特性問題歸結到數學模型的建立層面，拋開模型的物理意義，將其表達成類似譜分析算子式的純數學形式。這樣就形成了用于描述任何物理滯后現象的新的數學思想。與此同時，Krasnoselskii的數學理論也更深刻地揭示了Preisach模型的現象本質，形成了經典的 Preisach模型［9－11］(CPM，Classic Preisach Model)。標準磁滯回線如圖1所示。

圖1 標準磁滯回線Fig.1 Standard hysteresis loop

在圖1中，磁滯回線可分為上升段即cda段，下降段abc段，交點分別為(－Hm，－Bm)和(Hm，Bm)。該磁滯回線的數學模型可表示為

在式(1)中，k1＜1，hc可由矯頑力Hc確定的相關參數，可令hc=Hc。整個回線的形狀取決于鐵磁材料的飽和點(Hm，Bm)，在整個(－Hm，－Bm)區間上的下降段曲線可用式(2)表示為

當H=0時，得到的Bm(0)即是所對應的剩磁大小。由于磁滯回線的對稱性，上升段的表達式可由Bm(－H)得到。通過調整式(1)、式(2)中的hc、h1和k1三個參數，可得到任意的軟磁和硬磁材料的磁滯回線。要想得到直流偏磁條件下的磁滯回線;在程序中加入一個假設的偏磁量，分別對上下段曲線進行修正，可得出直流偏磁條件下大致的磁滯回線。

1.2 磁滯回線編程實現

由VC++實現該回線編程，按文獻［8］提供的參數進行設置，Bm=1.7，Hm=500，hc=70，k1=0.8，h1=30，以 H 的在［－Hm，Hm］區間上的變化作為輸入變量，將程序所得數據生成.dat文件，并使用MATLAB調用數據顯示得到B－H的曲線，即磁滯回線。標準磁滯回線如圖2所示;在上述模型的基礎之上，假定一個偏磁量ΔB=0.5，得到的具有偏磁影響的磁滯回線如圖3所示。

圖2 無偏磁量時編程所得磁滯回線Fig.2 Hysteresis loop obtained by programming at unbiased magnetic amount

圖3 有偏磁量時編程所得磁滯回線Fig.3 Hysteresis loop obtained by programming at biased magnetic amount

由圖2、圖3可知，由該模型得到的磁滯回線與實際測量結果非常相似，可見該數學模型具有較高的準確性。可用于對變壓器勵磁涌流進行分析。

2 變壓器勵磁電流分析

研究工作分為三步，首先，以單相變壓器為例，列出所需的磁路與電路方程，然后用VC++語言對方程進行程序編寫，最后將所得電流與時間的數據對生成.dat文件。用MATLAB調用數據文件，并對所得結果進行分析。

2.1 編程計算

令變壓器二次側開路，一次側連接在電壓u1=220 V的電網上，則可近似認為e=u1。

根據電磁感應定律

對e進行積分，可得磁通的表達式為

根據磁路定律，可知

式中，S為鐵芯的有效截面積。

全電流定律

對于每求得的一個H值，其相應的勵磁電流為

式中，l為主磁路長度;N為線圈匝數。

只要知道磁場強度H的表達式，便可求得勵磁電流。

由式(2)可求得

由式(1)可得

將式(8)帶入式(9)，則可得到磁場強度 H的表達式

將(10)代入式(7)即可求出勵磁電流。由VC++6.0對以上公式編程，第一步首先設置相關參數，其中 Hm、Bm、hc、h1、k1與本文前述設置一致，一次側電壓為220 V，主磁路長度l=1.1460，線圈匝數N=2022，鐵芯截面積S=0.025 78，顯示周期為0.02 s，總共顯示2個周期，頻率為50 Hz，步長dt為0.000 05，在考慮偏磁的影響時，先假定一個偏磁量Bdc，求出來對應的勵磁電流波形，與理論波形進行對比，驗證模型的正確性。假設變壓器在t=0時刻合閘，不考慮剩磁的影響。程序流程圖如圖4所示。

圖4 程序流程圖Fig.4 Flow chart of program

2.2 結果及分析

將所得的結果生成.dat文件，使用MATLAB調用顯示，所得電流波形如圖5、圖6所示。

圖5 不加偏磁量的勵磁電流Fig.5 Excitation current magnetic without biasing magnetic amount

由圖5、圖6可以看出，由該回線數學模型編程所得到的勵磁電流波形與直流偏磁條件下變壓器勵磁電流的實際波形非常接近，隨著偏磁量的增加，變壓器的勵磁電流畸變越來越嚴重，并出現嚴重的半周飽和。

圖6 加偏磁量時勵磁電流波形Fig.6 Excitation current waveform added bias magnetic amount

3 結語

本文通過對經典Preisach模型進行改進，并修正模型相關參數，得到了直流偏磁影響下的磁滯回線，若將該磁滯回線方程與電路方程相結合，可得到對應的勵磁電流波形。用MATLAB仿真軟件對其進行驗證，得出該模型能正確反映變壓器勵磁電流實際波形，由此，為解決變壓器直流偏磁條件下的勵磁電流問題提供了新方法。

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