豎向荷載下彈性支承直墻拱反彎點(diǎn)理論分析

韓永帥，周健南，金豐年，孔新立，范華林，2

（1.解放軍理工大學(xué) 國防工程學(xué)院；爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210007；2.河海大學(xué) 力學(xué)與材料科學(xué)院，南京 210098）

拱結(jié)構(gòu)是常用的結(jié)構(gòu)形式之一，特別是在隧道、地下洞室中，由于其較好的傳力路徑、較高的受彎承載力，得到了廣泛的應(yīng)用。

學(xué)者們對不同支承形式、不同受力特點(diǎn)圓弧拱的力學(xué)性能開展了一系列深入的研究工作。夏桂云等［1］指出大曲率深拱中，剪切變形不可忽略，進(jìn)而研究了考慮曲率、剪切變形的大曲率圓弧深拱平面彈性穩(wěn)定性；楊永華等［2］給出了固支形式下圓弧拱彎扭屈曲荷載的理論解，指出徑向均布荷載作用下，屈曲荷載隨著圓心角的增大而逐漸減小；Plaut R.等［3］研究了拱腳轉(zhuǎn)動約束的正弦拱在豎向均布荷載作用下的臨界屈曲荷載，其轉(zhuǎn)動約束的扭轉(zhuǎn)剛度隨支座的水平推力可線性變化；Bradford等［4］研究了水平彈性支承的軸壓拋物線拱在豎向均布荷載作用下的穩(wěn)定問題；楊洋等［5－6］用水平彈簧等效替代支承于其它構(gòu)件上的拱腳支座約束，研究了鋼拱的平面內(nèi)極限承載力、彈性屈曲等；周健南等［7－8］針對不同拱結(jié)構(gòu)形式，給出了動荷載動力系數(shù)的確定方法，從而推導(dǎo)出了不同荷載作用下拱形結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算公式，并給出了不同荷載作用下震后結(jié)構(gòu)抗動載能力評估方法。

在工程實(shí)踐中，直墻拱應(yīng)用廣泛，陳海龍等［9］的試驗(yàn)研究表明，由于直墻不是完全剛性的，在豎向爆炸荷載作用下，直墻會產(chǎn)生側(cè)向位移；李平［10］通過荷載－結(jié)構(gòu)法和有限元法對圓拱直墻隧道結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)最大位移集中在拱圈位置。在這一類的直墻拱中，拱腳的支承形式不能簡單假設(shè)為固支或者簡支。傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)力學(xué)方法計(jì)算時(shí)，拱腳按照固端無鉸拱考慮，同時(shí)考慮拱腳位移的影響［11－12］，為此，可以假設(shè)拱腳處為轉(zhuǎn)角約束、豎向約束以及水平彈性約束。目前，針對這類支承約束假設(shè)的研究較少，本文主要針對此種約束下，建立水平彈簧剛度的近似計(jì)算方法、理論分析不同受力形式下圓弧拱彎矩反彎點(diǎn)的分布規(guī)律，為直墻圓拱的合理設(shè)計(jì)提供依據(jù)，也為深入分析直墻圓拱的極限承載力與穩(wěn)定性奠定基礎(chǔ)。

1 圓弧拱內(nèi)力計(jì)算

在直墻圓弧拱的受力分析中，主要關(guān)心圓弧拱部分的力學(xué)行為，為了簡化計(jì)算，可以只取圓弧拱部分進(jìn)行計(jì)算，將圓弧拱拱腳約束合理假設(shè)為轉(zhuǎn)角約束、豎向約束以及水平彈性約束，如圖1所示。

圖1 結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 The structure diagram

該結(jié)構(gòu)為一等截面滑移彈簧支座圓弧拱，截面為b×h的矩形，拱的圓心角為2φ0，半徑為R，分別承受豎向均布荷載、豎向三角形荷載和豎向集中力荷載作用。

結(jié)構(gòu)為三次超靜定對稱結(jié)構(gòu)，取其一半并應(yīng)用力法［13］解其未知力，取消拱頂處轉(zhuǎn)角約束、豎向約束和拱腳處水平彈簧約束，計(jì)算簡圖如圖2所示。在對稱荷載作用下，拱頂處的反對稱未知力X3為零。豎向均布荷載、豎向三角形荷載和豎向集中力荷載作用下，結(jié)構(gòu)基本體系如圖3所示。

圖2 計(jì)算簡圖Fig.2 The calculation diagram

力法方程為

圖3 不同荷載作用下基本體系Fig.3 The basic system under the different loads

對于矢跨比較小的圓弧拱，剪力、軸力對結(jié)構(gòu)變形的影響不能忽略，這里考慮彎矩、剪力、軸力共同作用，有

式中：k0為切應(yīng)變截面形狀系數(shù)。

由于水平彈簧（彈簧剛度為k）的影響，系數(shù)δ22＝δ22′＋δ22″＝δ22′＋1／k。

解力法方程，求出多余未知力

承受豎向均布荷載q的作用，任一點(diǎn)彎矩方程為

承受豎向三角形荷載q（x）的作用，任一點(diǎn)彎矩方程為：

承受豎向集中力荷載F的作用，任一點(diǎn)彎矩方程為

2 等效彈簧剛度計(jì)算

彈簧支座剛度為等效直墻的抗推剛度，取下端固支、上端允許水平位移的直墻計(jì)算等效彈簧支座剛度k，如圖4所示。

圖4 等效彈簧剛度計(jì)算簡圖Fig.4 The calculation diagram of equivalent spring stiffness

直墻高為L，截面同圓弧拱截面，材料相同，計(jì)算如下：

3 算例分析

3.1 算例

跨度一定時(shí)，不同圓心角的直墻拱結(jié)構(gòu)形式，如圖5所示。

圖5 跨度一定時(shí)不同圓心角的直墻拱結(jié)構(gòu)Fig.5 The straight wall arch structure of different central angle with certain span

3.2 彈簧剛度的影響

如上所述，彈簧剛度是等效直墻的抗推剛度，在直墻截面、材料參數(shù)不變的情況下，直墻高度l越小，等效剛度越大；當(dāng)直墻高度l趨近于零時(shí)，等效剛度趨近于無窮大，此時(shí)拱腳相當(dāng)于固支。不同直墻高度時(shí)，豎向均布荷載作用下，半圓拱（2φ0＝180°）沿弧長彎矩分布如圖6所示。

圖6 不同彈簧剛度時(shí)沿弧長彎矩分布圖Fig.6 The moment distribution along the arc with different elastic stiffness

從圖6可看出，不同的彈簧剛度（不同的直墻高度）對沿弧長彎矩分布有較大影響：當(dāng)直墻較低時(shí)，抗推剛度較大，水平彈性約束較強(qiáng)，拱腳位移較小，趨向于拱腳固支（直墻高度為0）；當(dāng)直墻較高時(shí)，水平彈性約束較弱，半圓拱的拱頂、拱腳彎矩異號，即沿弧長彎矩分布形式發(fā)生變化。

計(jì)算表明：直墻高度與圓拱半徑比值L／R≤0.333 5時(shí)，半圓拱拱頂、拱腳彎矩與拱腳固支時(shí)拱頂、拱腳彎矩值相差均在10%以內(nèi)，此時(shí)可以忽略彈簧剛度的影響；直墻高度與圓拱半徑比值L／R≥0.469 4時(shí)，半圓拱拱頂、拱腳彎矩與拱腳固支時(shí)拱頂、拱腳彎矩值相差均超過20%，不可忽略彈簧剛度的影響；隨著直墻高度與圓拱半徑比值的增大，半圓拱拱頂、拱腳彎矩與拱腳固支時(shí)拱頂、拱腳彎矩值相差增大；當(dāng)直墻高度與圓拱半徑比值L／R≥0.901 9時(shí)，半圓拱的拱腳彎矩變?yōu)樨?fù)值，拱頂與拱腳彎矩異號，彎矩分布形式發(fā)生改變。

3.3 不同荷載不同圓心角時(shí)沿x軸彎矩分布

圓弧拱圓心角 2φ0分別為 40°、80°、120°、160°時(shí)，分別承受豎向均布荷載、豎向三角形荷載和豎向集中力荷載的作用，其彎矩沿x軸分布如圖7所示。

圖7 不同荷載不同圓心角時(shí)沿x軸彎矩分布圖Fig.7 The moment distribution along the x-axis with different central angles under different loads

3.4 拱腳彎矩為零時(shí)的圓心角

對于地下直墻拱結(jié)構(gòu)，在地震、爆炸等動荷載作用下，結(jié)構(gòu)可能因開裂而導(dǎo)致承載力降低，相關(guān)研究表明，拱結(jié)構(gòu)拱腳處由于開裂，承載力將降低50%以上［7］。

因此，科學(xué)合理的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)避免在拱腳位置出現(xiàn)彎曲拉應(yīng)力而導(dǎo)致拱腳混凝土開裂。拱腳彎矩為零在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的重要工程應(yīng)用價(jià)值和意義在于該位置不產(chǎn)生彎曲拉應(yīng)力，可抑制拱腳混凝土開裂，確保拱腳截面的抗剪強(qiáng)度。

利用彎曲拉應(yīng)力和軸向壓力以及混凝土抗拉強(qiáng)度，建立拱腳的開裂準(zhǔn)則［14］：

式中：σc為受拉邊緣混凝土的應(yīng)力；W0為受拉邊緣的截面抵抗矩；A0為換算截面積；M為彎矩；N為軸力；ft為混凝土的抗拉強(qiáng)度。

當(dāng)受拉側(cè)彎矩M較小或者為零時(shí)，拉應(yīng)力較小或者為負(fù)值，此時(shí)的σc遠(yuǎn)小于混凝土抗拉強(qiáng)度ft，截面不開裂，拱腳的抗剪承載能力不減弱。

當(dāng)圓心角較小時(shí)，拱頂、拱腳彎矩異號；當(dāng)圓心角較大時(shí)，拱頂、拱腳彎矩同號；所以對某一算例，存在一個(gè)圓心角角度，使拱腳彎矩為零。對于該算例，對應(yīng)于豎向均布荷載、豎向三角形荷載和豎向集中力荷載，使得拱腳彎矩為零的圓心角分別為2φ0＝142°、2φ0＝131°、2φ0＝117°，其沿弧長彎矩分布如圖8所示：

圖8 拱腳彎矩為零時(shí)沿x軸彎矩分布圖Fig.8 The moment distribution along the x-axis when the skewback moment is zero

3.5 討論

由圖7可以看出，拱頂處（x＝0）彎矩為正，內(nèi)側(cè)受拉；隨著坐標(biāo)x的增大，從拱頂向拱腳，沿弧長彎矩減小，直至為負(fù)，此時(shí)拱腳外側(cè)受拉（如圖7中圓心角2φ0＝40°、80°時(shí)），在弧長范圍內(nèi)存在一個(gè)反彎點(diǎn)，且正負(fù)彎矩的絕對值最大值相差較大，不利于結(jié)構(gòu)承載；當(dāng)圓心角2φ0繼續(xù)增大時(shí)，拱腳彎矩又變?yōu)檎担垂澳_內(nèi)側(cè)受拉（如圖7中圓心角2φ0＝160°時(shí)），在弧長范圍內(nèi)存在兩個(gè)反彎點(diǎn)，且正負(fù)彎矩的絕對值最大值相差不大，有利于結(jié)構(gòu)承載。

隨著圓心角2φ0的變化，拱頂、拱腳彎矩從異號變?yōu)橥枺源嬖谝粋€(gè)圓心角角度，使得拱腳彎矩為零，這時(shí)能夠避免拱腳混凝土截面因受拉而開裂，有利于保證截面的抗剪承載能力。由圖8可以看出，對于不同的荷載形式，拱腳彎矩為零的圓心角各不相同，且對于豎向均布荷載、豎向三角形荷載和豎向集中力荷載，圓心角依次減小。

比較圖7中同一荷載作用下不同圓心角（矢跨比）時(shí)彎矩最大值可以發(fā)現(xiàn)，圓心角較小（矢跨比較小）時(shí)，拱頂、拱腳處彎矩絕對值均較大；隨著圓心角的增大（矢跨比增大），拱頂、拱腳處彎矩明顯減小。另外，計(jì)算所得的使得拱腳彎矩為零的圓心角角度在120°附近或者120°與160°之間，而從圖7可以看出圓心角為120°和160°時(shí)，彎矩沿弧長范圍內(nèi)變化不大，只在拱腳處有所不同。因此，拱結(jié)構(gòu)跨度及所受荷載確定時(shí)，應(yīng)盡量選取使得拱腳彎矩為零的圓心角角度，有利于提高結(jié)構(gòu)抗彎承載力及拱腳抗剪承載力。

由于拱腳水平位移的存在，使得拱腳彎矩形式發(fā)生了變化，對圓弧拱的破壞形式有一定影響；選取合適的直墻高度，亦即合適的等效彈簧剛度，可以使得圓弧拱沿弧線最大正負(fù)彎矩大小相當(dāng)，有利于結(jié)構(gòu)承載。該結(jié)論對于工程建設(shè)中高邊墻拱結(jié)構(gòu)的合理設(shè)計(jì)具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié)論

1）假設(shè)拱腳有轉(zhuǎn)角約束、豎向約束和水平彈性約束的情況，理論推導(dǎo)了彎矩、剪力、軸力共同作用下，圓弧拱沿弧長彎矩公式。

2）圓弧拱圓心角較小時(shí)，沿弧長范圍內(nèi)只存在一個(gè)反彎點(diǎn)，最大正負(fù)彎矩值相差較大；圓弧拱圓心角較大時(shí)，沿弧長范圍內(nèi)存在兩個(gè)反彎點(diǎn)，最大正負(fù)彎矩值大小相當(dāng)。

3）對于豎向均布荷載、豎向三角形荷載和豎向集中力荷載，使得拱腳彎矩為零的圓心角依次減小。

4）水平彈簧剛度對沿弧長彎矩分布有較大影響，在一定范圍內(nèi)隨著彈簧剛度的減小，拱頂彎矩增大，拱腳彎矩減小。

5）選取合適的直墻高度和使得圓弧拱拱腳彎矩為零的圓心角大小，有利于提高結(jié)構(gòu)抗彎承載力及拱腳抗剪承載力。

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（編輯胡 玲）