飽和土中淺埋隧道耦合二維動(dòng)力響應(yīng)解答探討①

胡文韜， 徐長(zhǎng)節(jié)，2

(1.華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，江西 南昌 330013；

2.軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 浙江大學(xué)，浙江 杭州 310058)

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飽和土中淺埋隧道耦合二維動(dòng)力響應(yīng)解答探討①

胡文韜1， 徐長(zhǎng)節(jié)1，2

(1.華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，江西 南昌 330013；

2.軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 浙江大學(xué)，浙江 杭州 310058)

摘要：針對(duì)平面波耦合作用下飽和半空間中淺埋隧道二維動(dòng)力響應(yīng)的典型問題的解答進(jìn)行探討。首先基于Biot飽和孔隙介質(zhì)理論建立飽和土場(chǎng)方程，并通過中間勢(shì)函數(shù)的代入推導(dǎo)得到飽和土體中的快縱波、慢縱波及橫波的Helmholtz勢(shì)函數(shù)方程，隨后引入柱坐標(biāo)系下飽和土體和彈性襯砌的勢(shì)函數(shù)通解，并代入邊界條件中，建立以第n組參數(shù)為變量的多元一次齊次線性方程組。采用本文的推導(dǎo)思路，可以解決飽和土體中的淺埋隧道在地震作用時(shí)P波和S波耦合作用下的響應(yīng)問題。

關(guān)鍵詞：飽和土； 耦合響應(yīng)； 二維分析

0引言

考慮到施工成本及服務(wù)需求，淺埋隧道廣泛應(yīng)用于城市地鐵、城市隧道樞紐等交通網(wǎng)絡(luò)中，其工程抗震特性是一個(gè)非常值得研究的問題，這關(guān)系到隧道的安全性及工程的可行性論證。上世紀(jì)七十年代，波的折射和散射問題由Pao等[1]開創(chuàng)性地采用波函數(shù)展開法進(jìn)行分析，研究了無限空間中洞室在彈性波入射條件下的動(dòng)應(yīng)力集中問題。隨后Lee等[2]將研究工作拓展開到彈性半空間中洞室對(duì)SH波的散射問題，得到了解析解答。在其后期的研究中，Lee等[3-4]采用大圓弧假定條件分別研究了地下洞室對(duì)更為復(fù)雜的P波和SV波的散射解析解。

隨著研究的深入，考慮到工程實(shí)踐的需要，越來越多的學(xué)者針對(duì)飽和孔隙土體中洞室的動(dòng)力響應(yīng)問題進(jìn)行研究。Lin[5]基于Biot飽和孔隙介質(zhì)理論研究了P波作用下飽和孔隙介質(zhì)中的圓柱洞室的動(dòng)力響應(yīng)。李偉華等[6-7]通過數(shù)值分析方法研究了穩(wěn)態(tài)及瞬態(tài)平面SV波作用下飽和半空間中的隧洞的動(dòng)力集中問題。Kattis等[8]基于平面應(yīng)變條件假定，采用邊界元法解決了飽和無限半空間中任意形狀洞室對(duì)平面P波和SV波的折射問題。Wang等[9]采用復(fù)變量代換方法分析了飽和土淺埋襯砌隧道的平面波衍射問題，得到了半解析的解答。基于同樣的分析方法，Jiang等[10]進(jìn)一步對(duì)彈性襯砌厚度、模量比和孔隙率的影響效應(yīng)進(jìn)行了探討。

縱觀過去對(duì)飽和土體中洞室動(dòng)力響應(yīng)的研究工作可以看到，盡管對(duì)P波和S波的散射與折射問題的研究工作比較完備，但是鮮有文獻(xiàn)對(duì)兩種波的耦合作用下飽和土體中的洞室振動(dòng)問題進(jìn)行系統(tǒng)分析。而這一問題在地震多發(fā)地區(qū)的淺埋地下結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)時(shí)，尤其在需要考慮地震的長(zhǎng)期作用效應(yīng)時(shí)尤為重要。為完善這一工作，本文將根據(jù)Biot飽和孔隙介質(zhì)理論，采用大圓弧假定，針對(duì)平面波耦合作用下飽和半空間淺埋隧道的二維動(dòng)力響應(yīng)問題的解答進(jìn)行探討。

1基本方程

本研究的幾何模型如圖 1所示。飽和土體可假定為飽和半無限空間，內(nèi)徑和外徑分別為Ri,Ro的圓形襯砌隧洞淺埋在地表以下H深處。為便于分析，地表水平面可用一極大的半徑為RS(RS?H)圓弧的一段來表示。為表示不同波場(chǎng)，定義兩套柱坐標(biāo)系(r1,θ1)和(r2,θ2)，兩坐標(biāo)系的中心分別位于隧道的中心O1處和地表圓弧的圓心O2處，d為O1和O2之間的距離。入射平面波(上標(biāo)為“0”)的傳播方向與垂直方向夾角為α0，在地表平面處(“i”)和隧道表面(“o”)均形成散射波，同時(shí)在襯砌內(nèi)部形成外壁傳向內(nèi)壁(“i”)和內(nèi)壁傳向外壁(“o”)的散射波。

圖1　飽和半空間中襯砌隧道動(dòng)力模型Fig.1　Dynamic model of the lined tunnel in saturated　　　 half-space

1.1飽和土場(chǎng)方程

根據(jù)Biot飽和孔隙介質(zhì)理論[11]，飽和土體的本構(gòu)關(guān)系可表示為：

(1)

式中：σij為孔隙微元的總應(yīng)力張量;ui為土顆粒的位移分量;wi為孔隙流體相對(duì)于土顆粒的位移分量;εij和e分別為土顆粒的應(yīng)變張量和剪脹變形;ξ為孔隙流體的空間變化率;λ和μ為土體Lamé常數(shù);α和M為Biot系數(shù);pf為孔隙壓力;δij為Kronecker張量。當(dāng)孔隙流體滿足Darcy流體條件時(shí)，飽和孔隙介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

(2)

式中：b=nk-1；ρ和ρf分別是微元體密度和孔隙流體密度，且滿足關(guān)系ρ=(1-n)ρs+nρf，其中ρs為土顆粒的密度，n為孔隙率;η為孔隙流體的黏度；k為滲透系數(shù)。將式(1)代入式(2)得到以位移為變量的運(yùn)動(dòng)方程表達(dá)式：

(3)

方程組(3)的解可用Helmholtz理論進(jìn)行求解，引入標(biāo)量勢(shì)函數(shù)φ和χ，以及矢量勢(shì)函數(shù)ψ和Θ，令

(4)

同時(shí)考慮此運(yùn)動(dòng)為諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，諧頻率為ω，各位移分量與時(shí)間的相關(guān)性均可表示為參量eiωt。將式(4)及時(shí)間相關(guān)參量表達(dá)式代入方程組(3)可得到以下方程組：

(5)

由方程組(5) 后兩式可得到ψ和Θ間的關(guān)系表達(dá)式:

(6)

以及剪切波運(yùn)動(dòng)方程

(7)

為得到勢(shì)函數(shù)φ和χ之間的關(guān)系，引入中間勢(shì)函數(shù)φf和φs作為勢(shì)函數(shù)φ和χ的線性表示[12]:

(8)

式中：ξf和ξs為待定常數(shù)。將式(8)回代入方程組(5) 前兩式，經(jīng)過合并重組可得到如下方程:

(9)

其中：A=2μ+λ+α2M，B=ρfn-1ω2+iωb;2表示Laplace算子，與張量微分標(biāo)記“,jj”意義相同。方程組(9)成立的條件為 :

(10)

如此，中間勢(shì)函數(shù)φf和φs便滿足

(11)

ξf和ξs的表達(dá)式可求解式(10),得到

(12)

式中:

(13)

式(7)中的kt以及式(10)中的kf、ks分別對(duì)應(yīng)于孔隙介質(zhì)中的橫波、快縱波和慢縱波的復(fù)波數(shù)。為滿足波在土介質(zhì)中傳播的過程中逐漸衰減這一事實(shí)，必須始終滿足關(guān)系式Im(kt,f,s)>0，同時(shí)為確保快縱波的傳播始終快于慢縱波，認(rèn)定關(guān)系Re(kf)

(14)

1.2彈性襯砌場(chǎng)方程

假定襯砌為理想彈性材料，其Lamé常數(shù)為λl和μl，密度為ρl。令vi為襯砌位移分量，則根據(jù)經(jīng)典彈性理論，彈性襯砌的運(yùn)動(dòng)方程表達(dá)式為：

(15)

類似，引入勢(shì)函數(shù)表達(dá)式vi=ψ,i+eijkΦk,j，方程(15)可表示為Helmholtz方程的形式:

(16)

式中：klp和klt分別為襯砌中傳播的縱波與橫波實(shí)波數(shù)，其值為:

(17)

其中：vP和vS分別代表襯砌中的傳播的縱波與橫波波速。

1.3柱坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)解答

在柱坐標(biāo)系中，各位移分量可表示為:

(18)

根據(jù)式(1)可得到孔隙水壓和應(yīng)力分量:

(19)

式中：τij表示襯砌中的應(yīng)力張量，各參數(shù)的表達(dá)式為

(20)

首先分析飽和土體中傳播的波的解答，由方程組(7)和(11)可得到入射縱波和橫波的勢(shì)函數(shù)解:

(21)

式中：Jn為n階一類Bessel函數(shù);φ0f,0s和ψ0為相應(yīng)的入射波的振幅。飽和半空間外表面向內(nèi)產(chǎn)生的散射場(chǎng)勢(shì)函數(shù)表達(dá)式為:

(22)

考慮到隧道與飽和土體交界面處邊界問題的復(fù)雜性，襯砌表面向外產(chǎn)生的散射波可分解為兩部分：一部分是假定圓柱形隧道所占空間為完全剛性，向外產(chǎn)生的散射場(chǎng)(上標(biāo)“o1”表示)；另一部分是由隧道的振動(dòng)產(chǎn)生的散射場(chǎng)(上標(biāo)“o2”表示)。這樣式(18)中的位移可人為劃分為自由散射波產(chǎn)生的位移(上標(biāo)“(1)”表示)和隧道振動(dòng)產(chǎn)生的位移(上標(biāo)“(2)”表示)。散射勢(shì)函數(shù)表達(dá)式為:

(23)

(24)

由此，飽和土體中的縱波的總勢(shì)能場(chǎng)可表述為

(25)

類似，入射橫波的總勢(shì)能場(chǎng)可表述為:

(27)

彈性襯砌內(nèi)部的勢(shì)函數(shù)表達(dá)式為：

1.4邊界條件

本問題的邊界條件如下，假定襯砌完全不透水，且襯砌與土體完全接觸。在隧道與飽和土交界處，r1=Ro有

(29)

在隧道內(nèi)壁處，r1=Ri有

(30)

(31)

至此所有場(chǎng)方程和邊界條件都已全部得到。

2問題解答

將勢(shì)能場(chǎng)的表達(dá)式(25)、(26)和(28)代入式(18)、(19)，并代入邊界條件(29)～(31)可得到第 組多元一次方程組，其表達(dá)式如下：

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(41)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

至此，本文所討論的問題可得到精確解答，只需要將相關(guān)參數(shù)的數(shù)值代入到式(32)～(48)中的各待定常數(shù)，再將解答回代入式(25)、(26)和(28)中進(jìn)行級(jí)數(shù)求和，選取適當(dāng)?shù)碾A數(shù)，可最終得到隧洞的動(dòng)力特征解答。此外，從式(43)和(44)中可以看到，受地表淺埋的影響，隧洞的振動(dòng)特征與角度參量相關(guān)，這是與深埋隧道的分析不同之處，分析時(shí)需額外注意。

3結(jié)論與建議

探討平面波耦合作用下飽和半空間中淺埋隧道二維動(dòng)力響應(yīng)的典型問題的解答。從解答過程中可以看到，對(duì)于考慮埋深的襯砌隧洞而言，通過對(duì)多元一次特征方程組的解答，采用波勢(shì)函數(shù)級(jí)數(shù)解可對(duì)平面波耦合作用下隧道的二維振動(dòng)求解。本文的研究工作可以作為地下結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)的理論指導(dǎo)，在工程設(shè)計(jì)中進(jìn)行推廣。在今后的研究工作中，可以在本文所得結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)值分析，對(duì)各參數(shù)的影響規(guī)律進(jìn)行分析，對(duì)研究工作進(jìn)行進(jìn)一步拓展。

參考文獻(xiàn)(References)

[1]C C Mow, Y H Pao.The Diffraction of Elastic Waves and Dynamic Stress Concentrations[M].New York:Crane ,Russak and Company Inc.,1973.

[2]V W Lee, M D.Trifunac.Response of Tunnels to Incident SH-waves[J].Journal of the Engineering Mechanics Division,1979,105(4):643-659.

[3]V Lee,J Karl.Diffraction of SV Waves by Underground Circular Cylindrical Cavities[J].Soil Dynamics and Earthquake Engineering,1992,11(8):445-456.

[4]V Lee, J Karl.On Deformations Near a Circular Underground Cavity Subjected to Incident P Waves[J].European Earthquake Engineering,1993,11:445-456.

[5]C Lin.Diffraction of P-waves by Underground Circular Cylindrical Cavities In fluid-saturated Porous Medium[C]//Symposium on the Dynamic Response to Transient Loads,the Mechanics and Materials Summer Conference,2001.

[6]李偉華,申齊豪,趙成剛.飽和土半空間中地下圓形襯砌洞室對(duì)平面SV波的散射[J].防災(zāi)減災(zāi)工程學(xué)報(bào),2009,(2):172-178.

W H Li,Q H Shen,C G Zhao.An Analytical Solution for Scatting and Diffraction of Plane SV Waves by a Cylindrical Lined Cavity in Half-space of Saturated Soil[J].Journal of Disaster Prevention and Mitigatioin Engineering,2009,29(2):172-178. (in Chinese)

[7]李偉華,張釗.飽和土中深埋圓柱形襯砌洞室對(duì)瞬態(tài)平面波的散射[J].地球物理學(xué)報(bào),2013,(1):325-334.

W H Li,Z Zhang.Scattering of Transient Plane Waves by Deep Buried Cylindrical Lining Cavity in Saturated Soil[J].Chinese Journal of Geophysics,2013,56(1):325-334.(in Chinese)

[8]S Kattis,D Beskos, A Cheng 2D Dynamic Response of Unlined and Lined Tunnels in Poroelastic Soil to Harmonic Body Waves[J].Earthquake Engineering & Structural Dynamics,2003,32(1):97-110.

[9]J H Wang,X L Zhou, J F Lu.Dynamic Stress Concentration Around Elliptic Cavities in Saturated Poroelastic Soil Under Harmonic Plane Waves[J].International Journal of Solids and Structures,2005,42(14):4295-4310.

[10]L F Jiang, X L Zhou, J H Wang.Scattering of a Plane Wave by a Lined Cylindrical Cavity in a Poroelastic Half-plane[J].Computers and Geotechnics,2009,36(5):773-786.

[11]M A Biot.Mechanics of Deformation and Acoustic Propagation in Porous Media[J].Journal of Applied Physics,1962,33(4):1482-1498.

[12]G S Erjanov,S M Aitaliev,L A Alekseeva.Dynamics of Tunnels and of Buried Pipelines[M].Alma-Ata,1989.

[13]M Abramowitz, I A Stegun.Handbook of Mathematical Functions[M].Dover New York,1972.

Solutions for Two-dimensional Dynamic Response of Shallow Tunnels

in Saturated Soil under Coupling Interaction of P and S Waves

HU Wen-tao1, XU Chang-jie1, 2

(1.SchoolofCivilEngineeringandArchitecture,EastChinaJiaotongUniversity,Nanchang330013,Jiangxi，China;

2.MOEKeyLaboratoryofSoftSoilsandGeoenvironmentalEngineering,ZhejiangUniversity,Hangzhou310058,Zhejiang，China)

Abstract：This study briefly discusses solutions for a typical case concerning the two-dimensional dynamic response of shallow tunnels under the coupled influence of plane waves. The field equation of saturated soil is based on the Biot theory for a saturated porous medium.The Helmholtz equations for the potential functions of a fast P, slow P, and S waves are deduced by introducing additional potentials. By introducing the general solutions of the potential functions into the boundary conditions,the multivariate linear equations are built up in a cylindrical coordinate system. The deduction procedure of this paper can be utilized to solve problems concerning the seismic response of shallow tunnels in saturated soil under the coupled influence of P and S waves during an earthquake.

Key words：saturated soil; coupled response; 2D analysis

DOI:10.3969/j.issn.1000-0844.2015.04.1053

中圖分類號(hào):TU43

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào):1000-0844(2015)04-1053-07

作者簡(jiǎn)介：胡文韜(1986-)，男，講師，主要從事交通地基動(dòng)力分析等方面的教學(xué)和科研。E-mail：qqzei@zju.edu.cn。

收稿日期：①2014-08-20