激光干涉測量三維點坐標的PDOP模型研究和應用

范百興，李廣云，李佩臻，易旺民，楊 振

激光干涉測量三維點坐標的PDOP模型研究和應用

范百興1，李廣云1，李佩臻2，易旺民3，楊 振1

( 1．信息工程大學，河南鄭州450001; 2．河南省基礎地理信息中心，河南鄭州450003; 3．北京衛星環境工程研究所，北京100094)

一、引言

激光跟蹤儀采用激光干涉測距IFM( Interferometer)原理，測距誤差小于0．5 μm/m，但其測角誤差可達到( 15 μm+6 μm/m)，是影響激光跟蹤儀點位誤差的主要因素。可采用激光干涉的精密距離觀測值建立高精度的三維控制網，通過N( N≥3)臺激光跟蹤儀的距離交會精密測量空間點的三維坐標值，消除角度誤差影響，提高點位測量精度。

基于激光跟蹤儀的激光干涉測距三維網由于沒有角度觀測值，其對控制網的橫向誤差控制較差，空間點位誤差受測站點和測量點之間的空間位置關系影響較大。三維位置幾何精度衰減因子( position dilution of precision，PDOP)從本質上講就是誤差放大因子，即在空間點的三維坐標解算中，激光跟蹤儀的測距誤差被放大PDOP倍得到位置誤差。也就是說，在激光跟蹤儀測距激光干涉測距精度一定的條件下，空間點的三維坐標測量精度隨著空間位置的不同而不同。本文在加權秩虧平差模型的基礎上，建立了激光干涉測距三維網的PDOP值計算模型，實現了點位精度的先驗估計，并對實際算例進行了計算，以避開不利方向，提高點位測量精度。

二、激光干涉三維測邊網PDOP值解算模型

如圖1所示，設i( i=1，2，…，m)臺激光跟蹤儀對空間點j( j=1，2，…，n)進行了激光干涉距離測量，距離觀測值為Sij，其中m≥3。設測站坐標分別為(i，i，i)，j點的坐標值為(j，j，j)，則距離測量方程為

圖1 激光干涉交會測量示意圖

對式( 1)進行線性化即可得到誤差方程為

式中，cij、dij、eij為線性化系數; lij為自由項。在激光干涉三維測邊網中，只有長度而無位置和方位信息，屬于秩虧自由網平差，必須加入約束矩陣G才能解算［1］。當測站坐標(i，i，i)已知且m≥3時，即為空間距離前方交會，式( 2)可變為

式中，系數cij、dij、eij中的測站坐標值已知。按照最小二乘原理可得

未知參數中誤差為

從式( 5)中可以看出，激光干涉三維測距網和距離交會測量時，在單位權中誤差一定的情況下，點位精度隨著系數矩陣A變化，空間點的三維坐標中誤差為

系數矩陣是測站點和測量點空間位置的反映，則空間點三維位置幾何精度衰減因子為

三、PDOP值的仿真解算

以L1、L2、L33臺激光跟蹤儀距離交會測量為例，則誤差方程的系數矩陣為

設3臺激光跟蹤儀測站坐標為L1( 0，0，0)、L2( 0，0，1000)、L3( 0，5000，0)，則XOY平面內，X在－10～+10 m內的PDOP值的分布如圖2所示。

圖2 XOY面內測量點PDOP等值線分布

圖中帶數值的線是以5為等間距的PDOP等值線，其余是以1為等間距的PDOP等值線，為了圖形的清晰，在PDOP等值線梯度變化劇烈的區域，只顯示了以5為等間距的PDOP等值線。

從圖2可以看出，在XOY平面內，測量點的PDOP值隨著離測站點距離的增加而增加，在接近直線L1L2L3時，PDOP值急劇增加，對應的點位精度也會急劇降低。XOY平面的PDOP等值線分布圖形隨著Z值的不同會發生變化，但是趨勢是一致的。此外，在Y軸負方向上，PDOP等值線分布圖和Y軸正方向上對稱分布。進一步可以得到YOZ( X = 1)平面和XOZ( Y= 0)平面內的PDOP等值線分布圖，分別如圖3和圖4所示。

圖3 YOZ面內測量點PDOP等值線分布

圖4 XOZ面內測量點PDOP等值線分布

四、測站數對PDOP的影響

從理論上講，對空間點進行距離交會測量時，測站數和測站分布都直接影響PDOP值。在3臺激光跟蹤儀L1、L2、L3的距離交會測量空間點的基礎上，增加一臺激光跟蹤儀L4( 2000、6000、2000)，則此時存在多余觀測，可以按照最小二乘原理進行空間點三維坐標求解，在XOY平面( Z=0)處的PDOP等值線圖如圖5所示。

圖5 4臺激光跟蹤儀交會時XOY面PDOP等值線分布

比較圖2和圖5可以發現，4臺跟蹤儀在進行激光干涉交會測量時，其在XOY平面內的PDOP等值線分布明顯優于3臺交會測量時的情況。此時，整個XOY平面內的PDOP等值線分布變化比較均勻，不存在PDOP值劇烈變化的區域，PDOP值只是隨著距離的增加而均勻緩慢地變化。因此，增加激光跟蹤儀的數量，可以顯著降低PDOP值，提高點位測量的精度。進一步，當新增測站在四面體PL1L2L3的表面或內部時，P點的PDOP值幾乎沒有變化，若新增測站在四面體外部時，對P點的PDOP值影響明顯。

五、體積與PDOP的關系

在圖1中，測量點P與3臺激光跟蹤儀L1、L2、L3的連線可以組成四面體P-L1L2L3，則四面體PL1L2L3的體積V為

進一步，當激光跟蹤儀的個數m≥4時，則各個測站和交會點之間的連線可以分解為m－2個四面體，則此時的體積為

分析式( 9)和式( 8)可以發現，體積和PDOP值的計算公式中都包含測量點與測站點的坐標差值因子(Δx01，Δy01，Δz01)。也就是說，體積值和PDOP值都與激光跟蹤儀的測站與交會點的空間位置有關，即三維位置幾何精度衰減因子即與四面體的體積V相關［2］

隨著四面體體積的增大，多臺激光跟蹤儀交會測量點的精度會得到提高，為提高激光跟蹤儀交會測量的點位精度，一般要求PDOP值盡可能小，即所構成的四面體的體積盡可能大。

六、數據解算

為解算PDOP值和點位誤差，采用徠卡AT901-B激光跟蹤儀在實驗室內共布設了L1—L8共8測站，測站間的最大高差約為0．4 m，各個測站近似水平，每測站對13個定向點進行測量，定向點均勻分布且最大高差約為1．5 m，其中P1—P8位于地面上，其他點位于墻壁上。

按照加權秩虧自由網平差模型，同時解算測站點和定向點的PDOP值及其與空間體積，結果見表1和表2。

表1 測站點平差結果

表2 定向點平差結果

從表1和表2可以看出:

1)點位誤差和PDOP值之間呈現嚴格的線性關系。

2)體積值和PDOP值及點位誤差之間具有一定的相關性，但是與空間距離交會測量點坐標不同，由于激光干涉測距三維網的空間圖形復雜，對PDOP值的影響比較復雜，體積值與PDOP值的相關性不強。

3)由于測站之間的最大高差只有0．4 m，導致定向點的PDOP值較大(平均值為3．6)，體積值較小(平均值為3．8 m)，點位精度較低(平均值為16．5 μm)。

4)定向點分布均勻且最大高差為1．5 m，因此測站點的PDOP值很小(平均值為2．5)，體積值較大(平均值12．6 m)，點位精度較高(平均值11．7 μm)。

根據上述規律，在實際測量中可以加大激光跟蹤儀之間的高差，減小PDOP值，以提高點位測量的精度。

七、結論

1)基于激光跟蹤儀的激光干涉三維測距網的PDOP解算模型，較好地反映了測站點和定向點的空間分布對點位精度的影響規律，可以獲取PDOP值的空間分布等值線圖，在測量之前可以對空間點位精度進行估算，根據點位的先驗精度估計值，選擇最優測量位置，最大限度地提高點位測量精度。

2)體積和PDOP值之間存在相關性，在體積一定的情況下，PDOP值受測站點位空間分布的影響比較明顯，二者之間接近似為反比關系。

3)增加測站點之間高差和定向點之間的高差，可以增大測站點和定向點的體積值，對象的PDOP值也會顯著提高，從而使對應的點位精度也得到提高。

4)當新增測站在原有四面體之外時，對減小測量點的PDOP值的作用非常明顯，可以消除PDOP值劇烈變化區域，但是新增測站在原有四面體表面或內部時，對測量點的PDOP值改變幾乎沒有影響。

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PDOP Model of Laser Interferometry 3D Trilateration Network

FAN Baixing，LI Guangyun，LI Peizhen，YI Wangmin，YANG Zhen

激光跟蹤儀的激光干涉測距精度可以達到0．5 μm/m，利用激光干涉精密距離測量值可以建立高精度的三維控制網，點位誤差受到測站點和定向點的空間幾何分布影響。建立三維位置幾何精度衰減因子模型，可以計算空間點的三維坐標測量精度隨著空間位置的變化，估算激光干涉三維測距網的先驗精度信息，避免不利測量位置，提高空間點測量精度。本文基于激光干涉三維測距網PDOP值計算模型，仿真計算了PDOP值的空間分布等值線模型，分析了體積值與PDOP值和點位誤差的關系，并對實際算例進行了解算。

激光跟蹤儀;激光干涉測距;三維測邊網; PDOP值;等值線

范百興( 1978—)，男，副教授，主要從事精密工業與工程測量方面的研究。E-mail: fbxhrhr@ sina．com

P237

B

0494-0911( 2015) 11-0028-04

范百興，李廣云，李佩臻，等．激光干涉測量三維點坐標的PDOP模型研究和應用［J］．測繪通報，2015( 11) : 28-31．

10．13474/j．cnki．11-2246．2015．0339

2014-11-23

國家自然科學基金( 41101446) ;航天器高精度測量聯合實驗室基金