基于高斯過程的GPS高程轉換模型

羅亦泳，姚宜斌，張立亭，周世健，魯鐵定

基于高斯過程的GPS高程轉換模型

羅亦泳1，2，姚宜斌2，張立亭1，周世健3，魯鐵定1

( 1．東華理工大學測繪工程學院，江西南昌330013; 2．武漢大學測繪學院，湖北武漢430079; 3．江西省科學院，江西南昌330096)

一、引言

GPS定位技術具有精度高、速度快、全天候、測站間無須通視等優點，能快速提供目標三維坐標，因此在各領域得到廣泛應用。但由于GPS采用WGS-84坐標系，得到的是目標的大地高H大地，而在實際工程應用中采用的是正常高H正常，并且大地高與正常高之間存在高程異常ξ，導致GPS測量得到的高程數據不能服務于實際工程項目而造成數據浪費［1-2］。目前通常采用傳統水準測量獲得目標正常高，需要投入較大的人力、物力及財力，并且工作效率較低。因此，如何構建GPS高程轉換模型，對利用GPS定位技術快速地為工程建設提供可靠的正常高數據具有重要的現實與理論意義，成為當前GPS研究的重要內容。

當前GPS高程轉換模型研究成果較為豐富，主要包括多項式擬合、多面函數法及BP神經網絡等常規方法。由于這些擬合方法均基于傳統的統計理論，在具有較大的訓練樣本數據時，GPS高程轉換成正常高具有較好的精度［3-4］。但在實際工程領域，通常具有較少的訓練數據(即經過水準測量聯測的GPS高程點較少)，嚴重影響GPS高程轉換精度。針對該問題，許多學者基于支持向量機構建GPS高程轉換模型，對小樣本數據具有較好的高程轉換精度［5-6］。但是支持向量機存在核函數選擇及參數優化問題，并且損失函數構建對模型影響較大。綜上所述，當前GPS高程轉換模型對處理小樣本問題在精度、可靠性方面有待提高，并且很少對模型預測結果進行不確定分析。因此，如何構建基于小樣本、參數自適應、具有概率意義的GPS高程轉換模型具有重要研究價值。

高斯過程( Gaussian process，GP)是近期發展的基于統計學習理論的機器學習新方法，適合處理高維數、小樣本、非線性等復雜問題，并且模型參數自適應化，具有概率式的預測結果，是當今國內外機器學習領域研究熱點［7-8］。鑒于GP算法的以上特點，本文提出基于高斯過程的GPS高程轉換模型。通過與其他GPS高程轉換模型進行精度對比，以證實新方法的可行性及可靠性。

二、GPS高程轉換的GP方法建立

利用GP算法建立目標高程異常ξ與其對應的平面坐標( x，y)之間的復雜函數關系，構建基于GP 的GPS高程轉換模型。利用該模型求解其余GPS高程點對應的高程異常ξ，實現大地高與正常高之間的轉換。

1．高斯過程學習回歸模型基本原理

GP算法定義任意一組隨機變量X = { xi∈Rd，i=1，2，…，N}及其對應的過程函數f( X) = { f( xi)∈R，i= 1，2，…，N}的聯合概率密度分布服從N維高斯分布。因此，高斯過程f( X)完全由其均值函數m( X)與協方差函數K( X，X')確定［9-10］。高斯過程可表示為式中，核函數K( X，X')為正半定矩陣。

假設有觀測訓練數據集E = { ( xi，yi)，i = 1，2，…，n}，xi為模型輸入，yi為受到噪聲影響的模型輸出觀測值，噪聲服從分布ε～N( 0，σ2n)。則yi可表示為

從式( 1)、式( 2)可推導y的分布，具體概率分布見式( 3)，其中In為n階單位矩陣。

對于新的輸入X*，預測對應的輸出為y*，y與y*的聯合概率分布為

由以上公式，可得到預測值y*的后驗概率分布

式中，u( X*)、σ2y*為y*的期望與方差，即

建立訓練樣本集E的對數邊緣似然函數，對超參數求偏導，采用共軛梯度優化方法搜索出模型的超參數最優解，自適應確定模型參數，最終構建高斯過程回歸模型。

2．GPS高程轉換模型建立

以GPS高程點平面位置( x，y)作為GP算法的輸入，對應的高程異常ξ為模型輸出，構建訓練數據集S={ Xi，ξi}，其中Xi=( xi，yi)，i= 1，2，…，n，n為訓練數據個數。通過GP模型對訓練數據的學習，確定對應參數，建立高程異常ξ預測模型。通過GPS高程減去高程異常預測值將GPS高程轉換成正常高。基于Matlab語言和GP的GPS高程轉換模型具體建立過程如下:

1)建立訓練數據集S = { Xi，ξi}ni=1及測試數據集D={ Xj，ξj}Tj=1，并對S、D進行歸一化。

2)選擇協方差函數K( X，X')，確定模型超參數解算方法。依據文獻［7］對協方差函數的分析結果，通過反復試算選擇Materniso協方差函數，采用共軛梯度優化方法搜索出模型的超參數最優解。

3)訓練數據集S訓練GP算法，確定模型超參數。對S、D數據集的高程異常進行預測，獲得對應的高程異常預測值ξi、ξj，以及對應方差σ2ξ'i、σ2ξ'j。

4)將GPS高程減去高程異常預測值ξ'，預測GPS點的正常高

5)計算模型的內附精度σ內及外符精度σ外，評價模型精度

6)由GP算法估計得到的高程異常期望與方

差(ξi'、ξj'、σ2ξ'i、σ2ξ'j)可計算H常'的置信區間，分析預測結果的可靠性。以95%置信度的置信區間為例，建立GP算法置信區間估計公式( 11)，其中zθ/2= 1．96［11］。

三、實例分析

1．建模數據方案建立

以某沿江地形平緩區域的GPS控制網為例，控制網包含17個控制點，平均邊長約1 km，區域面積約10 km2［6］。按國家GPS網B級要求實測，采用二等水準聯測各GPS點，通過計算獲得17個GPS點的平面坐標、大地高、正常高、高程異數據，具體數據見表1。

表1 GPS點平面坐標、高程數據 m

續表1

由于不同訓練數據集對GPS高程轉換模型精度具有較大影響，選擇不同數量的訓練數據集及測試數據集，構建4種建模數據方案( plan1、plan2、plan3、plan4)，評價GP模型可靠性，具體方案見表2。本文同時采用平面擬合、二次曲面擬合、支持向量機( SVM)方法建立GPS高程轉換模型，并與GP方法進行精度對比，證實新方法的精度優越性。

表2 建模數據方案

2．模型精度及可靠性分析

針對以上4種方案，分別基于平面擬合、二次曲面擬合、支持向量機、高斯過程算法建立GPS高程轉換模型，計算不同方案的各GPS高程轉換模型的內附精度σ內及外符精度σ外，對比評價模型預測精度，具體數據見表3。

表3 GPS高程轉換模型精度 mm

由表3可知，對于訓練數據較少的plan1、plan2方案，高斯過程模型的內附精度及外符精度明顯優于平面擬合、二次曲面擬合、支持向量機方法，證實高斯過程模型能很好地處理小樣本數據問題，具有很好的預測精度。當訓練數據較多時，對于plan3、plan4方案，高斯過程模型精度與支持向量機相當，略優于二次曲面擬合，較大程度地優于平面擬合。

由式( 11)可計算GP算法各方案的GPS高程轉換結果的置信區間。表4、表5、表6、表7分別為各方案的95%置信度的置信區間。

將各GPS高程點實測正常高與各方案的GP模型置信區間數據(表4、表5、表6、表7)進行對比，實測正常高均落在各方案GP算法估計得到的置信區間內，證實基于GP的GPS高程轉換模型對不同數量特征訓練集具有可靠的建模精度，證實了新方法的可靠性。

表4 plan1方案置信區間 m

表5 plan2方案置信區間估計m

表6 plan3方案置信區間估計 m

表7 plan4方案置信區間估計m

四、結論

本文提出了基于GP的GPS高程轉換模型，并構建了不同的建模方案。通過與多種GPS高程轉換模型進行精度對比及置信區間分析，得到以下結論:

1)基于GP的GPS高程轉換模型針對4種方案均取得很高精度。當訓練數據較少時，GP方法的內附精度σ內及外符精度σ外明顯優于平面擬合、二次曲面擬合、支持向量機方法，證實GP模型處理小樣本GPS高程轉換問題具有很高的精度。

2)通過建立基于GP的GPS高程轉換結果的置信區間估計方法，計算4種方案的正常高轉換結果置信區間。實測正常高均在置信區間內，證實新方法的結果具有很高的可靠性。同時彌補了當前GPS高程轉換方法很少對預測結果進行可靠性分析這一缺點。

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GPS Height Transformation Model Based on Gaussian Process

LUO Yiyong，YAO Yibin，ZHANG Liting，ZHOU Shijian，LU Tieding

針對GPS高程轉換的小樣本、非線性特點，基于高斯過程算法提出了具有概率意義的GPS高程轉換模型。利用高斯過程采用4種不同建模方案建立了GPS高程轉換模型，并與平面擬合、二次曲面擬合、支持向量機方法進行了精度對比。同時構建了基于高斯過程的GPS高程轉換結果置信區間估計方法，分析了結果的可靠性。實例分析證實，高斯過程方法針對4種方案均獲得很高精度，并且精度指標優于其余3種方法;各GPS點的實測正常高均在置信區間內，證實高斯過程方法具有很好的可靠性。

高斯過程;高程轉換;高程異常

羅亦泳( 1982—)，男，博士生，講師，主要從事測繪數據處理理論與方法研究工作。E-mail: ecityyluo@ 163．com

羅亦泳，姚宜斌，張立亭，等．基于高斯過程的GPS高程轉換模型［J］．測繪通報，2015( 11) : 11-14．

10．13474/j．cnki．11-2246．2015．0335

P228．4

B

0494-0911( 2015) 11-0011-04

2015-04-17;

2015-07-10

國家自然科學基金( 41374007) ;江西省自然科學基金( 20151BAB213031)