在探索規(guī)律過程中感悟數(shù)學(xué)思想

江蘇張家港市泗港小學(xué)（215600） 高 燕

在探索規(guī)律過程中感悟數(shù)學(xué)思想

江蘇張家港市泗港小學(xué)（215600） 高 燕

“找規(guī)律”是一個讓學(xué)生探究事物之間的內(nèi)在聯(lián)系或變化趨勢的過程。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)之一，因此應(yīng)特別關(guān)注學(xué)生在探索規(guī)律過程中對數(shù)學(xué)思想的感悟，在教學(xué)中增加數(shù)學(xué)思維的滲透。

探索 規(guī)律 感悟 思想

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿把“四基”：基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗作為目標(biāo)體系。數(shù)學(xué)基本思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)之一，其重要性不言而喻。“找規(guī)律”是一個讓學(xué)生探究事物之間的內(nèi)在聯(lián)系或變化趨勢的過程。隨著新課程研究的深入，人們越來越深刻地認(rèn)識到這一內(nèi)容所蘊含的豐富內(nèi)涵和教育價值。但在實際教學(xué)中，普遍存在著“重規(guī)律的獲得，輕過程的尋找；重規(guī)律的運用，輕思想的探尋”。“找規(guī)律”不僅要關(guān)注學(xué)生是否能理解并嘗試運用規(guī)律，還應(yīng)特別關(guān)注學(xué)生在探索規(guī)律過程中對數(shù)學(xué)思想的感悟。筆者結(jié)合蘇教版五年級下冊“簡單圖形覆蓋現(xiàn)象的規(guī)律”的教學(xué)實踐，談?wù)剬πW(xué)生數(shù)學(xué)思想的滲透。

一、有效親歷發(fā)現(xiàn)的過程，感悟數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想方法是一種基于數(shù)學(xué)知識又高于數(shù)學(xué)知識的隱性知識，它比數(shù)學(xué)知識更抽象。因此，需要為學(xué)生設(shè)計一些生動、有趣的數(shù)學(xué)活動，在活動中展開觀察、操作、實驗、猜測、推理與交流，充分感悟數(shù)學(xué)思想方法的奇妙與作用。那么，我們在設(shè)計活動時該如何關(guān)注數(shù)學(xué)思想呢？

找規(guī)律，重在“找”，找就得讓學(xué)生親歷“找”的過程。教師應(yīng)幫助學(xué)生在找規(guī)律的過程中學(xué)會探究規(guī)律的方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感悟數(shù)學(xué)思想方法，才能充分彰顯找規(guī)律的教育價值。為此，在教學(xué)“找規(guī)律”的新授環(huán)節(jié)，我著重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行三次探索：

第一次探索：了解平移，感知規(guī)律

找出圖形覆蓋現(xiàn)象中的規(guī)律，難點是根據(jù)平移的次數(shù)，推算出被圖形覆蓋的總次數(shù)。在引導(dǎo)學(xué)生尋找“張數(shù)”與“拿法”關(guān)系時，我將電影票用數(shù)進(jìn)行編號，通過“符號化”，抽象成框數(shù)字問題，將一個現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，為滲透數(shù)學(xué)建模思想做準(zhǔn)備。“頭腦不是一個等待填滿的容器，而是一支等待燃燒的火把。”在探究規(guī)律過程中，教師要注意充分調(diào)動學(xué)生的生活經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生用多種方法尋找規(guī)律，鼓勵學(xué)習(xí)方式多樣化，使學(xué)生的主體地位得到真正的回歸與確立。比如，在尋找“從10張電影票中拿兩張連號票，共有多少種不同的拿法”時，有的學(xué)生用連線，有的用圈數(shù)，有的用一一列舉，有的用框數(shù)字的方法。魅力源自生活提煉，教師鼓勵學(xué)生用自己的生活經(jīng)驗表達(dá)對規(guī)律的理解，讓學(xué)生充分親歷規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程，體會有序思考的價值。學(xué)生在操作的基礎(chǔ)上清楚地了解了“平移”的方法，為后面的探究過程掃除了認(rèn)知障礙，并初步感知“平移的次數(shù)”和“一共有幾種拿法”之間的關(guān)系。

第二次探索：猜想驗證，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

首先，注重體驗感悟，逐步抽象。“每次拿3張連號的票，會有多少種不同的拿法”是學(xué)生在本節(jié)課中的第二次操作，至此學(xué)生已隱隱感覺到有一種內(nèi)在規(guī)律，但還處于“口欲言而不能達(dá)”的不確定狀態(tài)。教師結(jié)合課件形象化的動態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察前面兩次操作得到的拿法和平移的次數(shù)、每次拿票張數(shù)之間的變化關(guān)系。接著順勢提出“如果每次拿4張或5張連號的票，能分別得到多少種不同的拿法”后，并沒有讓學(xué)生進(jìn)行操作，而是讓學(xué)生先猜想，順應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，再通過演示平移驗證發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。接著教師引導(dǎo)學(xué)生在有序思考的基礎(chǔ)上觀察表格，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，再逐級抽象成數(shù)學(xué)符號，即用“算式計算”，能用數(shù)學(xué)語言表達(dá)算式內(nèi)涵，初步感知數(shù)學(xué)模型思想。其次，利用數(shù)形結(jié)合，發(fā)展思維。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少自覺，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔斷分家萬事難。”數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。“算法”的抽象，應(yīng)建立在形象的模型的基礎(chǔ)之上。如：在用課件驗證學(xué)生的猜想后，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧用框平移的過程，再觀察表格中的數(shù)據(jù)，此時學(xué)生的形象思維與抽象思維齊頭并進(jìn)，有助于學(xué)生用更準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。相信如果沒有形象的支撐，學(xué)生的理解也許最終會演變?yōu)樘啄Ｊ浇忸}。

第三次探索：歸納類推，完善認(rèn)知

在學(xué)生用數(shù)學(xué)語言總結(jié)出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律后，我設(shè)計了如下的教學(xué)環(huán)節(jié)：

（一）試一試

1．如果將電影券的總張數(shù)由10張增加到15張，你能用剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接說說每次拿兩張連號券，一共有多少種拿法嗎？

2．如果每次拿3張或4張呢？

（二）練一練

1．下面是小紅設(shè)計的一條花邊，每次給相鄰兩個方格蓋上紅色透明紙，一共有多少種不同的蓋法？

2．這道題和剛才的題目有區(qū)別嗎？

3．書上也有一條紅色的花邊，試著獨立解答。

4．如果給緊連的3個方格蓋上紅色透明紙，一共有多少種不同的蓋法？每次蓋上5個方格呢？

（三）完善認(rèn)知，深化思維

1．如果方格不是13個，而是n個，每次給相鄰的兩個方格蓋上紅色透明紙后，一共有多少種不同的蓋法？用字母列式表示。

2．如果一共有n個方格，每次給相鄰的a個方格蓋上紅色透明紙，一共有多少種不同的蓋法？你會用字母列式表示嗎？

3．揭示課題：簡單圖形覆蓋的規(guī)律。（板書：圖形覆蓋）

【思考】著名數(shù)學(xué)教育家弗蘭登塔爾曾說：“任何熔巖將凝固，任何思辨的新生事物都在其自身中包含著算法的萌芽，這是數(shù)學(xué)的特點……算法化意味著鞏固，意味著由一個平臺向更高點的跳躍。”經(jīng)過前面兩次探索，學(xué)生對規(guī)律有了感性的了解，初步感知“算法化”。在進(jìn)行第三次探索過程中，教師很快把學(xué)生的目光由10個數(shù)引向15、13個數(shù)，學(xué)生的思維也不斷被引向深入。從用“框數(shù)字”平移的方法找規(guī)律，到將規(guī)律“算法化”，再到用“字母式子“概括規(guī)律，學(xué)生初步體會建立數(shù)學(xué)模型的過程，即從具體到抽象，從特殊到一般，逐步揭示數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，并用數(shù)學(xué)化的形式表示規(guī)律，從而把思維和推理提高到一個更高的層次。

二、在實踐反思、靈活應(yīng)用中提煉數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想方法的獲得，一是來自于教師有意識的滲透和訓(xùn)練，二是靠學(xué)生自身反思過程中的領(lǐng)悟。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該關(guān)注問題解決的一般過程，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的策略，更應(yīng)該在解決問題以后有意識地“引導(dǎo)學(xué)生表述解決問題的思路”“重視引導(dǎo)學(xué)生交流與反思”，逐步形成反思的習(xí)慣，“促進(jìn)學(xué)生將解決問題的方法策略內(nèi)化為個人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)”。只有這樣，才能對數(shù)學(xué)思想方法有所認(rèn)識，由此對數(shù)學(xué)的理解一定會由量的積累發(fā)展到質(zhì)的飛躍。

比如在揭示出圖形覆蓋的規(guī)律后，我讓學(xué)生回過頭來用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決課一開始提出的問題：“從100張連號票中，每次拿兩張連號票，有多少種不同的拿法？”在驗證學(xué)生的猜測之后，組織學(xué)生反思解決問題的思維過程，并以圖文結(jié)合的方法清晰地展現(xiàn)出來：明確問題——猜測——探究規(guī)律——建立模型——驗證——解決問題。緊接著我又拋出一個問題：“同學(xué)們，回顧我們解決問題的過程，我們還從中學(xué)到了什么？”沉默一會，有學(xué)生領(lǐng)會了，說：“我主要學(xué)會了研究問題的方法。”我點點頭說：“是呀，究竟一共有多少種拿法并不重要，重要的是我們共同經(jīng)歷了研究問題的過程，對于復(fù)雜的圖形覆蓋的規(guī)律問題，我們可以通過猜測，采用化繁為簡的方法將其轉(zhuǎn)化成比較簡單的問題，再通過探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問題，驗證我們的猜測，這是解決科學(xué)問題的一個重要方法。”有了這樣的反思，將圖形覆蓋問題中蘊含的數(shù)學(xué)方法和策略直觀呈現(xiàn)，強化了學(xué)生的認(rèn)知，拓展解決問題的策略和方法，形成策略意識。

在讓學(xué)生感受了圖形覆蓋問題的解決策略后，我設(shè)計了一系列座位的變式問題：

（1）同學(xué)們，我們學(xué)校的禮堂一排有13個座位。要讓唐明雨和茆雪她倆坐在一起，并且唐明雨在茆雪的右邊，在同一排有多少種不同的坐法？

（2）高老師坐在她倆的中間，有多少種不同的坐法？

（3）還是讓她倆坐在一塊，去掉一個條件“唐明雨在茆雪的右邊”，其他條件不變，有多少種不同的坐法？為什么？

（4）當(dāng)唐明雨和茆雪來到禮堂時，這一排已經(jīng)坐了另一名同學(xué)。（課件演示）如果1號座位已經(jīng)有人坐了，唐明雨還是在茆雪的右邊，一共有多少種不同的坐法？

（5）如果這一排6號位置已經(jīng)有人坐了，唐明雨還是在茆雪的右邊，一共有多少種不同的坐法？

教師引導(dǎo)學(xué)生不斷進(jìn)行變式訓(xùn)練，進(jìn)一步運用“化歸思想”遷移解決類似圖形覆蓋問題，在解決問題的過程中進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)模型的價值，增強學(xué)生的建模意識和應(yīng)用規(guī)律的能力。

“數(shù)學(xué)思想方法是自然而平和的，我們不能把活生生的數(shù)學(xué)思考變成一堆符號讓學(xué)生去死記，以至讓美麗的數(shù)學(xué)淹沒在形式化的海洋里。”（張奠宙）從數(shù)學(xué)思想方法的特點和形成過程來說，對學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的滲透不是立竿見影的，而是一個不斷滲透、循序漸進(jìn)、由淺入深的過程。要真正發(fā)揮數(shù)學(xué)教材滲透數(shù)學(xué)思想方法的作用，需要數(shù)學(xué)教師進(jìn)一步更新觀念，加強學(xué)習(xí)，促進(jìn)自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不斷提升；深入研讀教材，提高思想方法滲透的自覺性，把握滲透的可行性，注重滲透的反復(fù)性，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到切實、有效的發(fā)展，進(jìn)而“通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)幫助學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思維”。

（責(zé)編 羅 艷）

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1007-9068（2015）02-056