點集拓撲教學中幾個反例的運用

張 婧

(伊犁師范學院數學與統計學院，新疆伊寧 835000)

點集拓撲教學中幾個反例的運用

張 婧

(伊犁師范學院數學與統計學院，新疆伊寧 835000)

在點集拓撲教學中通過對幾個典型反例的闡述和運用，能夠加強學生對基本概念和定理的理解，有利于學生理解和掌握證明過程中所蘊含的一些重要方法，提高學生分析問題和解決問題的能力。

反例；拓撲空間；公理

點集拓撲學是用公理化方法研究抽象空間性質的學科.所謂公理化方法是從少數原始概念和若干無矛盾的公理出發運用嚴密的邏輯推理建立理論體系的方法.因此，點集拓撲學與近代數學的其他分支一樣是一門抽象程度較高的學科.學好這門課需要較強的抽象思維能力，這恰恰是大多數學生覺得困難的地方.通過對課程中一些典型問題的分析研討，可以使學生更牢固地掌握數學的思想方法并具備初步進行數學理論研究的能力.在教學中適當地構造反例，通過反例使學生掌握點集拓撲學中的概念本質，簡明地說明概念間相互的聯系與差異，能夠使學生真正掌握概念，為修正學生對知識理解中出現的錯誤提供幫助.

1 點集

學習點集拓撲，首先應清楚拓撲空間中各類集合的定義及集合之間的關系，例如拓撲空間中的導集、閉集以及二者之間的關系.

定義1 設X是一個拓撲空間，A?X.如果點x∈X的每一個鄰域U中都有A中異于x的點，即U∩(A-{x})≠?，則稱點x是集合A的一個凝聚點或極限點.集合A的所有凝聚點構成的集合稱為導集，記作d(A).

定義2 設X是一個拓撲空間，A?X.如果A的每一個凝聚點都屬于A，即d(A)?A，則稱A是拓撲空間X中的一個閉集.

在數學分析中配備了由歐式空間上通常的度量所誘導出來的拓撲，就成為一個拓撲空間.對這個拓撲空間中的集合性質學生相對更加熟悉，但卻容易限定一般拓撲空間中集合的性質.在歐式度量空間內，有限集的導集必是空集，但在一般的拓撲空間內有限集的導集不必是空集.另外，在歐式度量空間中，一個集的導集必為閉集，而在一般的拓撲空間內，一個集的導集未必是閉集.下面僅就這兩種情況舉出反例.

例1 存在某個有限集合，其導集非空.

設X={x1,x2,x3},令τ={X,{x1,x2},{x1,x3},{x1},?},則(X，τ)為一個拓撲空間，考慮X的子集A={x1}，則點x2和x3是A的凝聚點.故d(A)={x2,x3}，即有限集A的導集d(A)非空.

例2 存在某個集合的導集不是閉集.

設X={x1,x2,x3},令τ={X,{x2,x3},{x1},?},則(X，τ)為一個拓撲空間.取A={x2}，易見d(A)={x3}且d(A)不是閉集.

2 同胚映射

拓撲學的中心任務是研究拓撲不變性質.所謂拓撲不變性質即為同胚的拓撲空間所共有的性質.而說明兩個拓撲空間是不是同胚的，恰恰就是看兩個空間之間是否存在一個同胚映射.因而，同胚映射在拓撲學中是很重要的概念.

定義3 設X和Y是兩個拓撲空間，如果f:X→Y是一個一一映射，并且f和f-:Y→X都是連續的，則稱f是一個同胚映射或同胚.

此定義要求的條件比較強，既要求f是連續的一一映射，同時要求f-也是連續的，這些條件是不能蘊含的，為此我們給出一個例子說明即便是連續的一一映射，其逆映射也可以不是連續的.

3 分離性公理

由拓撲空間的分離性公理，我們定義了T0,T1,T2,T3,T4空間(具體定義參見文獻[1])，滿足分離性的這五種拓撲空間之間有如下關系：T4?T3?T2?T1?T0，關于反方向蘊含不成立的反例在此一一給出.

例4 存在T0而非T1的拓撲空間.

設X={x1,x2,x3},令τ={X,{x1,x2},{x1,x3},{x1},?}，則(X,τ)為一個拓撲空間.易見，X是T0空間.因為對于點x1,x3而言，含點x3的開集必含有點x1，所以X不是T1空間.

例5 存在T1而非T2的拓撲空間.

設X為一不可數集，規定X上的拓撲為：X的閉子集族由X的至多可數子集連同X組成.易見，X是T1且X中任何兩個點都不能被開集分離，因而X不是T2空間.

例6 存在T2的非正則也非正規的空間.

Niemytzki平面.設X?R2,X={(x,y)|y≥0}，令R為x軸，在X引進如下拓撲基：

其中，B(P,ε)是R2中按歐式度量以P為中心、ε為半徑的開球.稱V(P,ε)為P的標準鄰域基元，則={V(P,ε)|ε>0,P∈X}是X上的一個拓撲基.事實上，我們不難驗證，滿足：

(1)X=UP∈XV(P,ε)；

(2)?V(P1,ε1),V(P2,ε2)∈,?x∈V(P1,ε1)∩V(P2,ε2),必存在V(P,ε)，使得

x∈V(P,ε)?V(p1,ε1)∩V(P2,ε2).對于?P1，P2∈X,P1≠P2,取ε=ρ(P1,P2),則

下面說明(X,τ)不是正則的,也不是正規的.由拓撲基構造知，x軸上任意子集是閉集.取點θ=(0,0)，閉集F=R/{θ}.

又因為F*={θ}是閉集，F∩F*=?，故?U∈U(θ)=U(F*)，?W∈U(F)同上所證，有U∩W≠?.所以(X,τ)也不是正規的.

4 拓撲空間中緊集與閉集

在緊的Hausdorff空間中每一個緊子集都是閉集，因而在緊的Hausdorff空間中兩個緊子集的交還是緊集.然而在一般的拓撲空間中這點是不一定成立的.

例7 存在某個拓撲空間中兩個緊集，其交不是緊集.

設Y是實數集并取通常拓撲，Z是點集{0,1}并取平庸拓撲，X=Y×Z取乘積拓撲.令A={[a,b]×{0}}∪{(a,b)×{1}},B={(a,b)×{0}}∪{[a,b]×{1}}.

需要注意的是，X的開集具有形式(c,d)×?或(c,d)×{0,1}.因此，假若X的開集G含有點x=(y,0)，那么G也一定含有點(y,1).

其次，A∩B不是緊的.因A∩B=(a,b)×{0,1}，而(a,b)不是Y的緊子集，故A∩B也不是Y的緊子集.

5 結語

以上是筆者總結的常用反例，在教學實踐中收到了較好的效果，對學生進一步理解概念和相關定理起到了促進作用，可以使學生澄清對某些概念和性質的模糊認識，也讓他們意識到拓撲空間是要比之前在數學分析中討論的度量空間更廣泛的一個范疇。通過反例的構造和應用，將度量空間中熟識的一些概念和性質進一步一般化，使學生對點集拓撲課程有更深刻的理解，提高他們分析問題、解決問題的能力，最終達到培養學生創新能力的教學目的.

[1]熊金城.點集拓撲講義[M].3版.北京:高等教育出版社,2003.

[2]朱培勇,雷銀彬.拓撲學導論[M].北京:科學出版社,2009.

[3]汪林,楊富春.拓撲空間中的反例[M].北京:科學出版社,2000.

[4]鄒應.拓撲學習題集[M].武昌:武漢大學出版社,2003.

[5]陳肇姜.點集拓撲學題解與反例[M].南京:南京大學出版社,1997.

2015-01-02

伊犁師范學院一般科研項目(2013YSYB18)。

張 婧(1980- )，女，山東濟寧人，伊犁師范學院數學與統計學院講師，博士研究生，從事調和分析研究。

O189；G642

A

2095-7602(2015)04-0017-03