關于廊坊市交通擁堵問題的數學模型的探究

徐秋麗，張召飛

(廊坊師范學院數學與信息科學學院，河北廊坊 065000)

關于廊坊市交通擁堵問題的數學模型的探究

徐秋麗，張召飛

(廊坊師范學院數學與信息科學學院，河北廊坊 065000)

本文通過調查廊坊市愛民道與新華路交口的車道設施、車流量及紅綠燈的設置等情況，將各方面數據進行量化，分析造成道路交通擁堵的原因，針對現行方案的不足之處進行建模優化，即黃燈閃爍時間設置、紅綠燈時間改進、信號燈設置調整、待行區域設置等方面的數學研究，得到更可行的交通緩解方案。

交通擁堵；微分方程；信號燈；待行區域

隨著經濟的快速發展、人們生活水平的日益提高，私家車的數量急劇增加，城市道路交通擁堵問題已經成為不容忽視的社會問題.就廊坊市區而言，交通擁堵問題已經影響人們的正常出行，尤其在上下班高峰時刻，多條道路擁堵嚴重，亟待得到有效的緩解.本文以廊坊市愛民道與新華路交口的交通現狀為例，通過實地統計調查，分析交通擁堵的原因，應用數學建模的方法討論緩解交通擁堵問題的辦法.

1 問題分析

1.1 交通擁堵的概念

交通擁堵是指在一定時間內道路的承載能力不能滿足車輛的通行需求，即道路上的車流量大于道路的最大車流量，超出部分的車輛滯留在路上的交通現象.

圖1 路口相位圖

1.2 交通現狀調查

以愛民道與新華路交口為例，此路口采用紅黃綠色信號燈控制，路口相位圖如圖1所示，交通高峰時刻的車流量統計數據如表1所示，一次信號燈變化周期內各信號燈時間如表2所示.

表1 車流量統計數據表

表2 一次信號燈變化周期內各信號燈時間示意表

1.3 交通擁堵原因分析

新華路是廊坊市南北中軸線，而愛民道是廊坊市東西中軸線，因此新華路與愛民道的交口可以被看作廊坊的最中心位置，附近商場、超市、公園等公共場所眾多，勢必會造成車流量大等交通困難.從調查情況來看，在上班早高峰期，由西向東車流量偏大，由北向南車流量偏大，而在下班高峰期，正好相反.造成交通擁堵的原因主要有以下幾點.

(1)道路建設嚴重滯后，不能滿足機動車數量的迅猛發展和日益增長的交通流量，以駛入愛民道西段為例，愛民道西段道路狹窄，從東向西兩個直行車道的車輛，加之從北向西右轉的車輛，一起涌入兩個車道，勢必會造成車速降低，有時為避免車輛刮蹭，甚至需要停車等待，從而導致由東向西方向大量車輛滯留，造成交通擁堵.

(2)公共交通發展滯后，首先是公共交通網絡線不發達，大多數市民都感覺沒有直達目的地的公交車，如果換乘公交車的話，短短20分鐘的車程就會花掉40分鐘甚至更長時間；其次是公交車間隔時間過長，兩趟車的發車間隔最少需要11分鐘，有時候甚至更長，使人感覺乘坐公交車出行多有不便.

(3)部分車輛與行人不遵守交通規則，若有行人闖紅燈，勢必造成車輛避讓、車流緩慢，還有部分司機不按照道路標線行駛，占用非機動車道，駛入十字路口時會影響行人和騎車人，并入車流時會導致正常直行車輛行駛，從而影響一個綠燈周期內的車輛通過數量.

(4)信號燈設置有待改善，黃燈時間較短，會造成有些車輛因來不及停車而越過十字路口的停車線，但又由于紅燈亮了而過不了路口，因而造成交通混亂.

2 模型建設

(1)假設車輛長度一致，車輛行駛速度一致；(2)假設道路狀況良好，沒有道路維修、交通事故、違章行駛；(3)不考慮天氣影響和汽車狀況的影響；(4)不考慮步行人流和非機動車流對交通的影響；(5)所有機動車輛同等對待，不區分私家車和公交車等；(6)不考慮右轉車輛匯入車流對交通的影響.

3 數學模型

3.1 模型一，黃燈閃亮時間模型

文獻[1]提出了十字路口黃燈閃亮時間的數學模型，簡單闡述如下：

設m為汽車質量,f為剎車摩擦系數，x(t)為行駛距離，fmg為剎車制動力，則剎車過程滿足下列運動方程：

根據統計數據，駕駛員的反應時間約為2秒，汽車通過路口的行駛平均速度約為35km·h-1，路口長度為30m，車長為5m，瀝青路面剎車摩擦系數為0.8，代入數據，得黃燈閃亮時間約為5秒.而在愛民道與新華路交口信號燈變化過程中，黃燈閃亮時間只有3秒.

3.2 模型二，紅綠燈時間改進模型

首先，需要統計等候紅綠燈的車輛，可以將超聲波用于回聲定位，利用測速儀測量汽車速度.

在距離信號燈x米處安裝設備，超聲波發出與返回的時間固定為t1，當有車輛經過時，t1會減小，利用計算機計算出這段時間為t0，利用測速儀測出這輛車的速度為v0，則該車的車長為L=v0·t0，這樣可以求得每輛車的車長，利用以下程序可以算出這個車道上的汽車數量.

include

void main()

{

doublet,t0=**；//t0為沒有車輛經過的時間；為有車輛經過時的時間

int;

for(i=0;;++)

{

scanf(“%if”,&t)；

if(t

j++;//有多少輛車

Printf(“%f”,t)；

}

}

停車后各個車輛之間存在車距，車距存在最小值，利用微分方程求最小車距如下.

設前車的位置為xn(t)，后車位置為xn+1(t)，則車距為

l(t)=xn(t)-xn+1(t).

(1)

由于前后車的速度差很小，視為相同，每輛車的剎車距離看作相同，司機的反應時間設為T，則后車的行駛距離為

(2)

設l*為停車后應該保持的距離，則有

(3)

將(1)代入(3)得到

人們等待5分鐘左右，就會感覺厭倦，所以當第一輛車到達信號燈處，設后面有k輛車，那么第k輛車必須在5分鐘內通過路口，第k輛車與信號燈的距離為S，則

S=kL+(k-1)l0.

設這段時間內信號燈改變了n次，每次紅燈的時間為t，汽車行駛的速度為v1，則有S=v1[300-(n-1)t]，如果雙向車道車流暢通，那么5分鐘內，紅燈和綠燈各150秒，此時根據車速可知5分鐘內直行通過路程S0和車輛數量K0，所以當一個車道上車輛數量大于K0時，或者第一輛車后面車流長度大于S0時，只有自動減少紅燈時間、增大綠燈時間，才能保證車輛順利通過.

3.3 模型三，信號燈調整

前面已經分析造成交通擁堵的一個原因是右轉車輛匯入車流時導致車速下降、通過能力降低，這一問題可以通過調整信號燈得以改善，參照路口相位圖，將紅綠燈進行調整如表3所示.

表3 紅綠燈調整表

上述信號燈的調整避免了右轉車輛匯入直行車流造成通行能力下降的問題.

3.4 模型四，待行區域設置模型

愛民道與新華路交口，路口信號燈變化規律為：南北直行綠燈；南向西、北向東左轉綠燈；東西直行綠燈；東向南、西向北左轉綠燈.在車輛直行時刻，左轉車輛進入待轉區域，當直行信號燈變紅，左轉信號燈變綠，可以有效地提高左轉車輛數量.通過實地調查測算，發現當車輛由南向西、北向東左轉時，接下來信號燈的變化應該是東西直行綠燈，而此時，東西方向可以在停止線前面設置待行區域，每個方向的直行待行區域長度可以達到7米左右，具體設置如圖2所示，而行車安全性可以通過有效控制信號燈來保證，有效地提高直行車輛通過數量.

圖2 模型四圖例

4 模型評價

在模型一中，綜合考慮了駕駛員的反應時間、車長及摩擦系數等多種因素，結合物理學和微分方程的知識，使得黃燈閃亮時間從理論上更準確，但沒有考慮到車輛速度的變化等因素，從而使黃燈閃爍時間從實際上看沒有那么精確.

在模型二中，在一定程度上考慮了駕駛員的主觀感覺，盡可能地將可以通過的路線疏通，但忽略了行人和右轉車輛的影響，同時此模型無法解決雙向同時擁堵問題.

在模型三中，通過對信號燈的調整，減少了右轉車輛對直行車速的影響，在一定程度上提高了路口的通行能力.

在模型四中，通過設置待行區域，可以有效地提高直行路口通過數量，但在實際操作過程中要注意交通安全，將待行區域的長度設置在安全范圍內.

以上各種模型只能緩解交通擁堵，并不能從根本上解決這一城市難題，最根本的辦法是加強城市的道路建設，大力發展公共交通事業，提倡公交出行.

[1]馬銳.十字路口黃燈閃亮時間的數學建模分析[J].云南民族大學學報,2004,13(4):302-304.

[2]王秀良,喬木.十字路口黃燈時間及困境區域的數學模型研究[J].武漢理工大學學報,2011,35(5):896-900.

[3]韓維信,楊奇.城市道路交通發展規劃的數學模型[J].數學的實踐與認識,2002,32(6)：881-884.

[4]姜啟源,謝金星.數學建模[M].北京:高等教育出版社,2003.

An Exploration on the Mathematical Model of Traffic Congestion in Langfang

XU Qiu-li, ZHANG Zhao-fei

(Mathematical and Information College, Langfang Teachers University, Langfang Hebei 065000, China)

By investigating the lane facilities, vehicle flow and signal lamp setting at the junction of Aimin Road and Xinhua Road in Langfang, this paper took all aspects of data to quantify, analyzed the reasons of causing traffic congestion, and then optimized the model for the inadequacies of the current program. Through setting the flashing time of yellow light, adjusting the time of traffic lights and setting waiting areas, etc., we got a more feasible traffic mitigation plan.

traffic congestion; differential equations; signal lights; waiting areas

2015-02-13

廊坊市科技局項目(2014011031)。

徐秋麗(1977- )，女，黑龍江青岡人，廊坊師范學院數學與信息科學學院講師，碩士，從事應用數學研究。

O29

A

2095-7602(2015)04-0012-05