廣義G-矩陣

馬培蘭

(伊犁師范學院數學與統計學院，新疆伊寧 835000)

廣義G-矩陣

馬培蘭

(伊犁師范學院數學與統計學院，新疆伊寧 835000)

本文從廣義G-矩陣的定義出發，利用矩陣的廣義Schur-補，討論了廣義G-矩陣的充要條件。

廣義逆矩陣；廣義G-矩陣；Schur-補

文獻[2]中定義了廣義G-矩陣,并討論了幾種特殊形式的G-矩陣.文獻[3-4]中對G-矩陣及廣義G-矩陣進行了進一步的討論.在文獻[5-6]中討論了矩陣的廣義Schur-補的最大最小秩.本文利用矩陣的廣義Schur-補的最大最小秩，從另一個角度討論了廣義G-矩陣的充要條件.

定義1.1[1]設矩陣A∈Rm×n，如果矩陣X滿足下列矩陣方程中的一個或幾個：(1)AXA=A；(2)XAX=X；(3)(AX)T=AX；(4)(XA)T=XA，則稱矩陣X∈Rn×m為矩陣A的廣義逆.

對于集合{1,2,3,4}的子集{i,j,…}，n×m矩陣X稱為矩陣A的{i,j,…}-逆.如果它滿足方程(i),(j),(k)，記為A(i,j,k).矩陣A的{i,j,…}-逆的全體構成的集合記為A{i,j,k}.

矩陣的{1}-逆也稱為g-逆，{1,3}-逆也稱為最小二乘g-逆.

1 引言

定義1.2[2]設矩陣A∈Rn×n，如果A非奇異并且存在非奇異對角矩陣D1，D2，使得(AT)-1=D1AD2，則稱A為G-矩陣.

定義1.3 設矩陣A∈Rmxn，如果存在非奇異對角矩陣D1∈Rm×m,D2∈Rn×n,使得A=D1(AT)+D2，則稱為廣義G-矩陣.

定義1.4 設矩陣A∈Rm×n,如果存在非奇異對角矩陣D1∈Rm×m,D2∈Rn×n,A(i,j,k)∈A{i,j,k},使得A=D1(AT)(i,j,k)D2,則稱A為廣義G(i,j,k)-矩陣.

(1)若A為非奇異矩陣，則A在M中的Schur補為SA=D-CA-1B，并且

rank(M)=rank(A)+rank(D-CA-1B).

2 關于廣義G-矩陣的結論

且rank(M)=rank(AT)+rank(A-D1(AT)-1D2)=rank(A)+rank(A-D1(AT)-1D2).

因此，矩陣A為G-矩陣

?A=D1(AT)-1D2?A-D1(AT)-1D2=0?rank(A-D1(AT)-1D2)=0

?rank(M)=rank(A)+rank(A-D1(AT)-1D2)=rank(A).

rank(A-D1(AT)+D2)

證明 由定義1.4知，A為廣義G(1)-矩陣時，存在非奇異對角矩陣D1∈Rm×m，D2∈Rn×n，A(1)∈A{1},使得A=D1(AT)(1)D2，即A-D1(AT)(1)D2=0.

而由引理1.5知

minrank(A-D1(AT)(1)D2)

因此，矩陣A為廣義G(1)-矩陣

定理2.4 設矩陣A∈Rm×n，則矩陣A為廣義G(1,2)-矩陣的充分必要條件是存在非奇異對角矩陣D1∈Rm×m，D2∈Rn×n，使得rank(A)+m+n+max{s1,s2}=0，其中

而由引理1.5知

minrank(A-D1A(1,2)D2)

=m+n+rank(A)+max{s1,s2}.

其中

因此，矩陣A為廣義G(1,2)-矩陣

?m+n+rank(A)+max{s1,s2}=0.

[1]A.Ben-Israel,T.N.E.Greville.GeneralizedInverse:TheoryandApplications[M].Seconded.,Springer-Verlag,NewYork,2002.

[2]G-matrix[J].LinearAlgebraAppl.,2012,436:731-741.

[3]MiroslavFiedler,ThomasL.Markham,MoreonG-matrices[J].LinearAlgebraAppl.,2013,438:231-234.

[4]MasayaMatsuura.AnoteongeneralizedG-matrices[J].LinearAlgebraAppl.,2012,436:3475-3479.

[5]YonggeTian.MoreonmaximalandminimalranksofSchurcomplementswithapplications[J].AppliedMathematicsandComputation,2004,152:675-692.

[6]YonggeTian.Upperandlowerboundsforranksofmatrixexpressionsusinggeneralizedinverses[J].LinearAlgebraAppl.,2002,355:187-214.

Generalized G-matrices

MA Pei-lan

(School Mathematics and Statistics，Yili Normal University，Yining Xinjiang 835000，China)

From the definition of generalized G-matrices, using the generalized Schur-complement discuss the the necessary and sufficient conditions for generalized G-matrices.

generalized inverse；generalized G-matrices；Schur-complement

2015-01-20

馬培蘭(1987-)，女，河南偃師人，伊犁師范學院數學與統計學院助教，碩士，從事計算數學研究。

O154

A

2095-7602(2015)04-0009-03