雙移民兩性分支過程的極限性質(zhì)

劉 宣

(福州大學(xué)陽(yáng)光學(xué)院基礎(chǔ)部，福建福州 350015)

雙移民兩性分支過程的極限性質(zhì)

劉 宣

(福州大學(xué)陽(yáng)光學(xué)院基礎(chǔ)部，福建福州 350015)

考慮同時(shí)帶個(gè)體移民和配對(duì)單元移民的兩性分支過程，稱為雙移民兩性分支過程。本文首先介紹這種兩性分支過程模型，然后討論過程的狀態(tài)性質(zhì)，在一定的條件下得到過程的正常返性，最后研究第n代每個(gè)配對(duì)單元平均增長(zhǎng)率的極限行為并利用馬氏鏈的相關(guān)結(jié)論給出過程的極限性質(zhì)。

兩性分支過程；移民；馬氏鏈；正常返

生物國(guó)普遍存在兩性關(guān)系.為了更好地研究此類物種在進(jìn)化過程中數(shù)量的變化規(guī)律，D.J.Daley在Galton-Watson分支過程的基礎(chǔ)上于20世紀(jì)60年代引入了兩性Galton-Watson分支過程[1].隨后，此模型獲得了廣泛關(guān)注和深入研究[2-7].由文獻(xiàn)[1]可知初始模型沒有考慮移民的情況，而現(xiàn)實(shí)中這種現(xiàn)象是普遍存在的.因此不少學(xué)者開始考慮帶有移民的兩性分支過程，如文獻(xiàn)[2-4]研究了只帶有個(gè)體移民的兩性分支過程，文獻(xiàn)[5-6]研究了只帶有配對(duì)單元移民的兩性分支過程，然而實(shí)際情況往往是個(gè)體移民和配對(duì)單元移民會(huì)同時(shí)發(fā)生，如人口在地區(qū)之間的遷移.為了更精確地描述移民的情況，本文提出了同時(shí)帶個(gè)體移民和配對(duì)單元移民的兩性分支過程，簡(jiǎn)稱雙移民兩性分支過程，模型如下：

Z0=N≥1,

(1)

Zn+1=L(Fn+1,Mn+1)+In+1,n=0,1,2,…,i=0,1,2，….

一般假定配對(duì)函數(shù)滿足上可加性，即對(duì)n≥2,有

主要結(jié)果及證明

設(shè)S為模型(1)的狀態(tài)空間.

引理1 對(duì)雙移民兩性分支過程，若P[L(f01,m01)=0]<1,P(I1=0)<1,則對(duì)任意的t∈S,存s∈S,s>t使得0可達(dá)s.

(x0,y0)=(ξ,η),(xn+1,yn+1)=(α,β)kn+(ξ,η),k0=0,kn+1=L(xn,yn)+γ.

故對(duì)任意的正整數(shù)n，0可達(dá)kn.

證明 由已知條件，可得

所以0∈S.由00,P(Zn+1=0)>0且存在正整數(shù)k0使得P(Zn=k0)>0.于是

所以

因此0為常返狀態(tài).又因?yàn)?/p>

所以0為此過程的正常返狀態(tài).

定理1 對(duì)雙移民兩性分支過程，若P[L(f01,m01)=0]<1,00,p00>0,則{Zn}n≥0是一不可約非周期馬爾科夫鏈.

證明 受文獻(xiàn)[2]啟發(fā)，首先證明對(duì)任意的t∈S,可一步到達(dá)0.因?yàn)?0,p00>0,由

可知對(duì)任意的t∈S,可一步到達(dá)0.然后證明若某一狀態(tài)t可達(dá)另一狀態(tài)u，則狀態(tài)0也可達(dá)狀態(tài)u.若t可達(dá)u，那么存在正整數(shù)n，使得P(Zn=u|Z0=t)>0.再由引理1知，存在s∈S,s>t,使得0可達(dá)s,另外有

綜上所述，可知狀態(tài)空間S僅由一本質(zhì)非周期類(0類)和一些非本質(zhì)狀態(tài)(一步可達(dá)0)構(gòu)成，故{Zn}n≥0是一不可約非周期馬爾科夫鏈.最后由引理2知，{Zn}n≥0是一不可約非周期正常返馬爾科夫鏈，即遍歷馬氏鏈.

定理2 對(duì)雙移民兩性分支過程，若P[L(f01,m01)=0]<1,00,p00>0,則{Zn}n≥0依分布收斂到一個(gè)取值為正的有限的隨機(jī)變量.

證明 由定理1和遍歷馬氏鏈的性質(zhì)即可證明.

證明 根據(jù)已知條件，由強(qiáng)大數(shù)定律知

由配對(duì)函數(shù)的上可加性知其是非降函數(shù)，類似文獻(xiàn)[7]中引理3的討論得到，

又因?yàn)?/p>

再由引理3知過程是正常返的，所以{Zn}n≥0依分布收斂到一個(gè)取值為正的有限的隨機(jī)變量.

[1]Daley,D.J.ExtinctionconditionsforcertainbisexualGalton-Watsonbranchingprocesses[J].Z.Wahrscheinlichkeitsth,1968(9):315-322.

[2]Gonzalez,M.,Molina,M.,Mota,M.LimitbehaviourforasubcriticalbisexualGalton-Watsonbranchingprocesswithinmigration[J].Statist.Probab.Lett,2000(49):19-24.

[3]LuZhunwei,ChenHongfang.LimitBehaviorforaClassofBisexualGalton-WastonBranchingProcesseswithImmingrationinRandomEnviromments[J].JournalofTaiyuanUniversityofTechnology(InChinese),2010,41(6):779-782.

[4]SongMingzhu.TheLimitPropertiesoftheBisexualbranchingprocesswithPopulation-sizedependentImmingrationinRandomEnvironments[J].ActaMathematicaeApplicataeSinica(ChineseSeries),2012,25(3):667-671.

[5]Gonzalez,M.,Molina,M.,Mota,M.OnthelimitbehaviourofasupercriticalbisexualGalton-Watsonbranchingprocesseswithimmigrationofmatingunits[J].StochasticAnal.Appl,2001(19):933-943.

[6]MaShixia,XingYongsheng.TheasymptoticpropertiesofsupercriticalbisexualGalton-Watsonbranchingprocesseswithimmigrationofmatingunits[J].ActaMathematicalScienti,2006,26B(4):603-609.

[7]Daley,D.J,Hull,D.M.andTaylor,J.M.BisexualGalton-Watsonbranchingprocessgewithsuperadditivematingfunctions[J].J.Appl.Prob,1986(23):585-600.

The Limit Properties of the Bisexual Branching Process with Two Kinds of Immigration

LIU Xuan

(Foundation Department,Fuzhou University Sunshine College, Fuzhou Fujian 350015, China)

In this paper,we consider a bisexual branching process with individual immigration and unit immigration called two types of immigration.First we introduce this bisexual Galton-Watson branching processes, then discuss the properties of its state space and obtained positive recurrent in some conditions. Finally thelimit behaviour of the mean growth rate per mating unit is studied and the limit properties for the process is investigated by using relevant conclusions of Markovchain.

bisexual branching process;immigration;markovchain;positive recurrent

2014-12-23

福建省教育廳中青年教育科研項(xiàng)目(JB13262)。

劉 宣(1982-)，男，湖南耒陽(yáng)人，福州大學(xué)陽(yáng)光學(xué)院基礎(chǔ)部講師，碩士，從事隨機(jī)過程研究。

O211

A

2095-7602(2015)04-0005-04