基于B-(C,α)-I型廣義凸多目標優(yōu)化問題的充分條件

李 娜，賀 莉

(長春工業(yè)大學基礎(chǔ)科學學院，吉林長春 130012)

基于B-(C,α)-I型廣義凸多目標優(yōu)化問題的充分條件

李 娜，賀 莉

(長春工業(yè)大學基礎(chǔ)科學學院，吉林長春 130012)

本文給出了B-(C,α)-I型廣義凸函數(shù)和偽擬、強偽擬、弱嚴格偽擬B-(C,α)-I型廣義凸函數(shù)的定義，討論了偽擬、強偽擬、弱嚴格偽擬B-(C,α)-I型廣義凸函數(shù)間的關(guān)系,并基于此探討了一類非光滑多目標優(yōu)化問題的有效解和弱有效解的最優(yōu)性充分條件。

B-(C,α)-Ⅰ型廣義凸函數(shù)；最優(yōu)性充分條件；多目標優(yōu)化

為了減弱對凸性的要求，許多學者推廣了眾多廣義凸函數(shù)類[1-5].Yuan[2]推廣了(F,α,ρ,d)廣義凸函數(shù)，給出了廣義凸函數(shù)(C,α,ρ,d)的定義.Yuan[3]定義了(C,α,ρ,d)-I型廣義凸函數(shù)，并給出了最優(yōu)性條件.

本文給出了B-(C,α)-I型廣義凸函數(shù)和偽擬、強偽擬、弱嚴格偽擬B-(C,α)-I型廣義凸函數(shù)的定義，并討論了它們之間的關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，我們探討了一類非光滑多目標優(yōu)化問題的有效解和弱有效解的最優(yōu)性充分條件.

本文考慮下面多目標優(yōu)化問題：

其中，X?Rn是非空開集，f:Rn→Rp,g:Rn→Rm,J(x)={j|gj(x)=0}.

1 預(yù)備知識

并記f在x處廣義次梯度為?f(x)={η∈Rn|f0(x;d)≥〈η,d〉,d∈Rn}.

定義3[3]設(shè)X是Rn中非空開集，若對任意固定的(x,y)∈Rn×Rn，?λ∈(0,1)，?z1,z2∈Rn,有C(x,y;λz1+(1-λ)z2)≤λC(x,y;z1)+(1-λ)C(x,y;z2)，則稱函數(shù)C:X×X×Rn→R在Rn上是關(guān)于第三個變量的凸泛函.

注 特殊地，若λ=0時，則C(x,y;λz)=0,z∈Rn.

本文采用下列記號：

α:X×X→R+{0},d:X×X→R+,u=(u1,u2,…，up),v=(v1,v2，…，vm)，

C(x,x0;α(x,x0)ξ):=(C(x,x0;α(x,x0)ξ1),…，C(x,x0;α(x,x0)ξp))T，

C(x,x0;α(x,x0)ζ):=(C(x,x0;α(x,x0)ζ1),…,C(x,x0;α(x,x0)ζm))T，

ξ∈?fi(x0),i∈{1,2,…,p},ζj∈?gj(x0),j∈{1,2，…，m}.

2 主要結(jié)果

定義4 若(f,g)在x0∈X處是局部李普希茲函數(shù)，對任意x∈X，有下列式子：

b1(x,x0)(f(x)-f(x0))C(x,x0;α(x,x0)ξ)+d2(x,x0)ρ(1).

(1)

-b2(x,x0)g(x0)C(x,x0;α(x,x0)ζ)+d2(x,x0)ρ(2).

(2)

成立，則稱(f,g)在x0∈X處是B-(C,α)-I型凸的.

若(f,g)在X的任意點為B-(C,α)-I型凸的，則稱(f,g)為X上的B-(C,a)-I型廣義凸函數(shù).

注 特別地，當b1(x,x0)=b2(x,x0)=1時，B-(C,α)-I型廣義凸函數(shù)退化為(C,α,ρ,d)-I型廣義凸函數(shù)，因此B-(C,α)-I型廣義凸函數(shù)擴大了凸函數(shù)的范圍.下面的數(shù)值例子進一步說明了這一點.

例1:設(shè)X=(-1,1]

易知，可行域X0=[0,1]，?f1(0)=[0,1]，?f2(0)=[0,2],?g(0)={0}，

令C(x,x0;α(x,x0)ξ)=|α(x,x0)ξ|(x+x0),C(x,x0;α(x,x0)ζ)=|α(x,x0)ζ|(x+x0),

因此，(f,g)在x0=0處不是(C,α,ρ,d)-I型廣義凸的.

定義5 若(f,g)在x0∈X處是局部李普希茲函數(shù)，且滿足下面式子：

b1(x,x0)(f(x)-f(x0))<0?C(x,x0;α(x,x0)ξ)+d2(x,x0)ρ(1)<0,

(3)

-b2(x,x0)g(x0)≦0?C(x,x0;α(x,x0)ζ)+d2(x,x0)ρ(2)≦0.

(4)

則稱(f,g)在x0∈X處是偽擬B-(C,α)-Ι型凸的.

定義6 若(f,g)在x0∈X處是局部李普希茲函數(shù)，且滿足下面式子：

b1(x,x0)(f(x)-f(x0))≤0?C(x,x0;α(x,x0)ξ)+d2(x,x0)ρ(1)<0,

(5)

-b2(x,x0)g(x0)≦0?C(x,x0;α(x,x0)ζ)+d2(x,x0)ρ(2)≦0.

(6)

則稱(f,g)在x0∈X處是弱嚴格偽擬B-(C,α)-I型凸的.

定義7 若(f,g)在x0∈X處是局部李普希茲函數(shù)，且滿足下面式子：

b1(x,x0)(f(x)-f(x0))≤0?C(x,x0;α(x,x0)ξ)+d2(x,x0)ρ(1)≤0,

(7)

-b2(x,x0)g(x0)≦0?C(x,x0;α(x,x0)ζ)+d2(x,x0)ρ(2)≦0.

(8)

則稱(f,g)在x0∈X處是強偽擬B-(C,α)-I型凸的.

注 由上述定義可知，如果(f,g)在x0∈X是強偽擬B-(C,α)-I型凸的，則一定為弱嚴格偽擬B-(C,α)-I型凸的；如果(f,g)在x0∈X是弱嚴格偽擬B-(C,α)-I型凸的，則一定為偽擬B-(C,α)-I型凸的，反之，則不成立.

基于上面討論的B-(C,α)-I型廣義凸函數(shù)，建立非光滑多目標規(guī)劃問題(MOP)的最優(yōu)性條件.

證明:假設(shè)x0不是(MOP)問題的有效解，那么存在x*∈X，使得

fi(x*)-fi(x0)≤0,i∈{1,2,…,p}，且至少存在一個i0∈{1,2，…，p}，使不等式嚴格成立.

因bk:X×X→R+，所以b1(x*,x0)(fi(x*)-fi(x0))≤0,i∈{1,2，…，p}，

-b2(x*,x0)gj(x0)≦0，j∈J，

注 將定理1中的凸性條件改為(f,g)在x0∈X是弱嚴格偽擬B-(C,α)-I型凸的，且u≥0,v≥0，充分性仍然成立.

定理2 設(shè)x0∈X是(MOP)問題的可行解，如果滿足:

證明:假設(shè)x0不是(MOP)問題弱有效解，那么存在x*∈X，使得

fi(x*)-fi(x0)<0,i∈{1,2，…，p},

因bk:X×X→R+,b1(x*,x0)(fi(x*)-fi(x0))<0,i∈{1,2，…，p}，

-b2(x*,x0)gj(x0))x0≦0，j∈J，

定理2其余的證明類似于定理1的證明.

注 將定理2中的條件(2)改為下列條件之一，充分性仍成立.

(i)(f,g)在x0∈X為強偽擬B-(C,α)-I型凸的，且u>0，v≥0；

(ii)(f,g)在x0∈X為弱嚴格偽擬B-(C,α)-I型凸的.

[1]Hanson,M.A.,andMond,B.Necessaryandsufficientconditionsinconditionsinconstrainedoptimization[J].Math.Program.,1987(37):51-58.

[2]Yuan,D.H.,Liu,X.L.,Chinchuluun,A.,andPardalos,P.M.Nondifferentiableminimaxfractionalprogrammingproblemswith(C;a;r;d)-convexity[J].J.Optim.TheoryAppl.,2006,129(1):185-199.

[3]Yuan,D.H.,Liu,X.L.,Chinchuluun,A.,andPardalos,P.M.OptimalityConditionsandDualityforMultiobjectiveProgrammingInvolving(C,α,ρ,d)type-IFunctions[J].J.Glob.Optim.,2006(583):73-87.

[4]Long,X.Optimalityconditionsanddualityfordifferentiablemultiobjectivefrac-tionalprogrammingproblemswith(C;a;r;d)-convexity[J].J.Optim.TheoryAppl.,2011,148(1):197-208.

[5]RekhaGupta,M.Srivastava.OptimalityanddualityfornonsmoothmultiobjectiveprogrammingusingG-typeIfunctions[J].AppliedMathematicsandComputation,2014(240):294-307.

[6]林銼云,董加禮.多目標優(yōu)化的方法與理論[M].吉林:吉林教育出版社,1992.

Optimality Conditions for a Multiobjective Programming Problem under GeneralizedB-(C,α)- typeIUnivex Functions

LI Na，HE Li

(School of Basic Science, Changchun University of Technology, Changchun Jilin 130012, China)

In this paper, we introduce the definition of a new generalized class ofB-(C,α)- typeIunivex functions, and pseudo- quasi, strong pseudo-quasi, weak strictly quasi-pseudoB-(C,α)- typeIunivex functions, discusse the relationship between them, and establish sufficient optimality conditions for a nonsmooth multiobjective programming.

B-(C,α)- typeIunivex functions; optimality conditions; multiobjective programming

2015-01-15

吉林省自然科學基金項目(20130101061JC)。

李 娜(1981-)，女，河南南陽人，長春工業(yè)大學基礎(chǔ)科學學院碩士研究生，從事最優(yōu)化理論與算法研究。

賀 莉(1970-)，女，吉林圖們?nèi)耍苯淌冢T士生導(dǎo)師，從事最優(yōu)化理論與算法研究。

O221

A

2095-7602(2015)04-0001-04