用泰勒級數計算連續隨機變量的均值和方差

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用泰勒級數計算連續隨機變量的均值和方差

宋 志 平

(包頭師范學院 數學科學學院，內蒙古 包頭014030)

摘要：本文給出了利用泰勒級數計算連續型隨機變量函數的均值和方差近似解的方法。

關鍵詞：泰勒級數；隨機變量；均值；方差

1引言與預備知識

隨機變量的均值反應的是隨機變量取值的平均水平，而方差則是反應隨機變量取值在其平均值附近的離散程度。現代實際生活中，越來越多的決策需要應用均值與方差的思想來對事件發生大小的可能性進行評估，通過計算和分析可以比較科學地得出各個方案的預期效果及出現偏差的大小，從而為我們決定要選擇的最佳方案。對于隨機變量函數的均值和方差在實際中的應用就更為廣泛。

一般“概率統計”教材中關于連續型隨機變量連續函數的均值和方差的計算都是以積分形式給出的，計算非常復雜。泰勒級數是數學分析中常用的簡化函數關系的工具，應用非常廣泛。本文將借助泰勒級數給出計算連續型隨機變量函數的均值和方差近似解的方法。

2隨機變量函數的均值和方差

2.1隨機變量的均值與方差

2.2隨機變量函數的均值、方差

一般情況下，隨機變量函數的均值和方差的計算應用如下定理，

可知Y=g(x)的概率密度為

其中(α，β)是g的值域，h(y)是g(x)的反函數。于是，

同樣，可計算隨機變量函數Y的方差

證明略。

此定理可推廣到多維隨機變量函數的情況。例如：設Z=g(x,y)是隨機變量X、Y的連續函數，若二維連續型隨機變量(X,Y)的概率密度為 f(x,y)，則

這里要求右邊的積分絕對收斂。

3問題的產生

從該定理可知，計算函數的均值和方差需要事先已知自變量X的概率密度函數，而此時如果隨機變量的函數比較復雜，往往不能簡單地把函數代入積分式而得出答案。在客觀實際中，經常遇到自變量X 的概率密度函數未知而其均值及方差已知的情形，如果再利用上述定理計算隨機變量函數的均值和方差就相當的困難。而在數理統計中，總體的分布往往是未知的或者是含有未知參數的，但我們可以根據抽取的樣本觀測值來估計其均值和方差。如下：

設E(X)=μ，D(X)=σ2，樣本觀測值為X1,X2,…,Xn，則有：

這樣，自然會提出問題：在已知自變量的均值及方差的條件下，能否求出函數的均值和方差呢？

4利用泰勒級數計算函數的均值和方差

4.1泰勒級數

如果函數f(x)在點x=x0處存在直至n+1階的連續導數，則

如果在(*)中抹去余項Rn(x)，那么f在x0附近可用(*)式右邊的多項式來近似代替，如果函數f在x=x0處存在任意階的導數，我們稱形式為：

的級數為函數 f 在點x0的泰勒級數。

4.2一維隨機變量函數的均值和方差

設一維隨機變量X的均值E(X)=μ，方差D(X)=σ2。Y=f(X)是連續函數。

將函數Y=f(X)在x=μ 處展開為二階泰勒級數：

其中R2(x)為二階泰勒級數的余項。兩端取均值，并結合均值的性質，

在這里忽略E(R2)，則得：

(1)

得：E(Y)≈f(μ)

同理：將函數Y=f(X)在x=μ 處展開為一階泰勒級數：

其中R1(x)為一階泰勒級數的余項。兩端取方差，并結合方差的性質，則：

(2)

在實際問題中應用公式(1)、(2)，可以快速地計算出隨機變量函數的均值和方差的近似解。

例1：已知：X~N(0,1) ， Y=f(X)=sin2x ，求隨機變量函數Y的E(Y)和D(Y)。

E(Y)≈1，D(Y)≈0。

此公式在實際中應用更為方便。

例2：已知某零件斷面半徑 r 的均值為μr=10mm，標準差為σr=0.5mm。求斷面面積A的均值及標準差。

根據(1)式，可知：

且根據(2)式，可知：

得：σA=√D(A)=31.4 (mm2)。

所以，斷面面積A的均值為314.79mm2，標準差為31.4mm2。

4.3多維隨機變量函數的均值和方差

設n維隨機變量X1,X2,…,Xn的均值E(Xi)=μi，方差D(Xi)=σi2(i=1,2,…,n)。Y=f(X1,X2,…,Xn)是連續函數且具有二階連續偏導數。 將函數Y=f(X1,X2,…,Xn)在X1=μ1,X2=μ2,…,Xn=μn，處展開為n元函數的二階泰勒級數：

其中R2(X1,X2,…,Xn)是二階泰勒級數的余項。

如果X1,X2,…,Xn兩兩相互獨立，忽略余項R2，兩邊取均值，得Y的均值

(3)

若各D(Xi)的值很小，則

E(Y)≈f(μ1,μ2,…,μn)

(4)

同樣，將函數Y=f(X1,X2,…,Xn)在X1=μ1,X2=μ2,…,Xn=μn，處展開為n元函數的一階泰勒級數：

Y=f(X1,X2,…,Xn)

其中R1(X1,X2,…,Xn)是一階泰勒級數的余項。

如果X1,X2,…,Xn兩兩相互獨立，忽略余項R1，兩邊取方差，得Y的方差

(5)

例3、 設隨機變量X和Y都服從正態分布，Z=XeY是X和Y的連續函數。已知μX=5.420，μY=-0.254，且σX=0.06，σY=0.01。求Z的均值E(Z)和方差D(Z)。

分析：如果直接利用隨機變量函數的均值和方差公式來計算E(Z)和D(Z)，將要計算以下兩個復雜積分：

由(3)式得：

=e2yσX2+x2e2y·σY2=e2μY·σX2+μX2e2μY·σY2= 0.0039。

則得D(Y)=σY2

則標準差為：

所以，應力的均值為20MPa，標準差為2.561MPa。

5結論

通過以上的論述和實例論證，可以看出：將隨機變量的函數在其均值處用泰勒級數展開，略去高次項后，可以計算出隨機變量函數的均值和方差。這種計算方法將隨機變量函數的均值和方差的復雜積分運算巧妙地轉化為求導運算，給出了均值和方差的近似計算公式，使均值和方差的計算變得簡單易行，給實際中更好地應用均值和方差帶來很大方便。

該近似計算的方法，有一定的誤差。其誤差大小要由隨機變量函數的函數關系而定。對于函數關系為線性函數和二次函數的，由于其二階以上各階導數都為0，故沒有舍入誤差，近似計算公式與嚴密計算公式是等價的。對于二次以上的高階函數，會存在舍入誤差，且誤差的大小由函數的非線性的強度而定。

〔參考文獻〕

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[5]同濟大學應用數學系.高等數學[M].第5版.下冊.北京：高等教育出版社.2006.

[6]華東師范大學數學系.數學分析[M].第3版.下冊.北京：高等教育出版社.2001.

Calculate the Mean and the Variance of Continuous Random Variable by Using Taylor`s Series

SONG Zhi-ping

(Faculty of Mathematics,Baotou Teachers College,Baotou 014030)

Abstract:In this article,approximate solutions for the mean and the variance of continuous random variable and complex functions are obtained by using Taylorsseries.

Key words:Taylorsseries;random variable;the mean;the variance

中圖分類號：O173

文獻標識碼：A

文章編號：1004-1869(2015)01-0011-04

作者簡介：宋志平(1972-),女，內蒙古包頭人，碩士，副教授，研究方向：應用數學。

收稿日期：2014-09-14